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fleche/.style = {edge={thick}},
aproba/.style = {edge label = {node[above=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
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\newcommand\qcmdeux[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
(c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
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\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\hrulefill~\textsf{Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous
et un seul des deux exercices A ou B.}~\hrulefill
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1 [COMMUN] \dotfill{}(5 points)} %exo1c
\medskip
\textit{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point.\\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.}
\begin{enumerate}
\item On considère les suites $\suiten$ et $\suiten[v]$ telles que, pour tout entier naturel $n$, \[ u_n=1-\left(\dfrac14\right)^n \text{ et } v_n = 1+\left(\dfrac14\right)^n. \]%
On considère de plus une suite $\suiten[w]$ qui, pour tout entier naturel $n$, vérifie $u_n \leqslant w_n \leqslant v_n$.
On peut affirmer que :
\qcmdeux{Les suites $\suiten$ et $\suiten[v]$ sont géométriques.}{La suite $\suiten[w]$ converge vers 1.}{La suite $\suiten$ est minorée par 1.}{La suite $\suiten[w]$ est croissante.}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=x\,\e^{x^2}$.
La fonction dérivée de $f$ est la fonction $f'$ définie sur $\R$ par :
\qcmdeux{$f'(x)=2x\e^{x^2}$}{$f'(x)=(1+2x)\e^{x^2}$}{$f'(x)=(1+2x^2)\e^{x^2}$}{$f'(x)=(2+x^2)\e^{x^2}$}
\item Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2-1}{2x^2-2x+1}$ ?
\qcm{$-1$}{0}{$\dfrac12$}{$+\infty$}
\item On considère une fonction $h$ continue sur l'intervalle $\intervFF{-1}{1}$ telle que : \[ h(-1)=0 \qquad h(0)=2 \qquad h(1)=0.\]%
On peut affirmer que :
\begin{enumerate}
\item La fonction $h$ est croissante sur l'intervalle $\intervFF{-1}{0}$.
\item La fonction $h$ est positive sur l'intervalle $\intervFF{-1}{1}$.
\item Il existe au-moins un nombre réel $a$ dans l'intervalle $\intervFF{0}{1}$ tel que $h(a)=1$.
\item L'équation $h(x)=1$ admet exactement deux solutions dans l'intervalle $\intervFF{-1}{1}$.
\end{enumerate}
\item On suppose que $g$ est une fonction dérivable sur l'intervalle $\intervFF{-4}{4}$.
On donne ci-dessous la représentation graphique \textbf{de sa dérivée $\bm{g'}$}.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,xmin=-4.5,xmax=4.5,xgrilles=1,ymin=-1.75,ymax=3.25,ygrilles=1]
\GrilleTikz[Affp=false]
\AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0]
\AxexTikz[Police=\small]{-4,-3,...,4} \AxeyTikz[Police=\small]{-1,0,...,3} ;
\draw[line width=1.5pt,red] (-4,0) to[curve through={(-3,2)..(-2,3)..(-1,2)..(0,0)..(1,-1)..(2,0)..(3,2.2)..(3.5,2.8)..(3.95,2.2)}] (4,2) ;
\draw (-3,2) node[above left,red,font=\large] {$\mathcal{C}_{g'}$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
On peut affirmer que :
\qcmdeux{$g$ admet un maximum en $-2$.}{$g$ est croissante sur l'intervalle $\intervFF{1}{2}$.}{$g$ est convexe sur l'intervalle $\intervFF{1}{2}$.}{$g$ admet un minimum en 0.}
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 2 [COMMUN] \dotfill{}(5 points)} %exo2c
\medskip
On considère le cube $ABCDEFGH$ de côté 1, le milieu $I$ de $[EF]$ et $J$ le symétrique de $E$ par rapport à $F$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.6cm,y=0.6cm]
\draw[thick] (0,0)--(5,0)--(5,5)--(0,5)--cycle ;
\draw[thick] (5,0)--(6.5,1.8)--(6.5,6.8)--(5,5)--cycle;
\draw[thick] (0,5)--(1.5,6.8)--(6.5,6.8);
\draw[thick,dashed] (0,0)--(1.5,1.8)--(6.5,1.8) (1.5,1.8)--(1.5,6.8);
\draw[thick,densely dotted] (5,5)--(10,5) ;
\foreach \Point/\Name/\Pos in {(0,0)/A/below left,(5,0)/B/below right,(6.5,1.8)/C/above right,(1.5,1.8)/D/above right,(0,5)/E/above left,(5,5)/F/above left,(6.5,6.8)/G/above right,(1.5,6.8)/H/above right,(2.5,5)/I/above right,(10,5)/J/above right}
\filldraw \Point circle(2pt) node[\Pos] {\Name} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormé $\left( A;\vect{AB},\,\vect{AD},\,\vect{AE} \right)$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
\item En déduire les coordonnées des vecteurs $\vect{DJ}$, $\vect{BI}$ et $\vect{BG}$.
\item Montrer que $\vect{DJ}$ est un vecteur normal au plan $(BGI)$.
\item Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(BGI)$ est : $2x-y+z-2=0$.
\end{enumerate}
\item On note $d$ la droite passant par $F$ et orthogonale au plan $(BGI)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
\item On considère le point $L$ de coordonnées $\left(\dfrac23;\dfrac16;\dfrac56\right)$.
Montrer que le point $L$ est le point d'intersection de la droite $d$ et du plan $(BGI)$.
\end{enumerate}
\item On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'une pyramide est donné par la formule \[ \mathcal{V}=\dfrac13 \times \mathcal{B} \times h \] où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée à cette base.
\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de la pyramide $FBGI$.
\item En déduire l'aire du triangle $BGI$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
\section*{Exercice 3 [COMMUN] \dotfill{}(5 points)} %exo3c
\medskip
Pour préparer l’examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation :
\begin{itemize}
\item la formation avec conduite accompagnée ;
\item la formation traditionnelle.
\end{itemize}
On considère un groupe de 300 personnes venant de réussir l’examen du permis de conduire. Dans ce groupe :
\begin{itemize}
\item 75 personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée ; parmi elles, 50 ont réussi l’examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.
\item 225 personnes se sont présentées à l’examen suite à une formation traditionnelle ; parmi elles, 100 ont réussi l’examen à la première présentation, 75 à la deuxième et 50 à la troisième présentation.
\end{itemize}
On interroge au hasard une personne du groupe considéré.
On considère les événements suivants :
\begin{itemize}
\item $A$ : « la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée » ;
\item $R_1$ : « la personne a réussi l’examen à la première présentation » ;
\item $R_2$ : « la personne a réussi l’examen à la deuxième présentation » ;
\item $R_3$ : « la personne a réussi l’examen à la troisième présentation ».
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Modéliser la situation par un arbre pondéré.
\textit{Dans les questions suivantes, les probabilités demandées seront données sous forme d’une fraction irréductible.}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite
accompagnée et réussi l’examen à sa deuxième présentation.
\item Montrer que la probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation est égale à $\dfrac13$.
\item La personne interrogée a réussi l’examen à sa deuxième présentation. Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée ?
\end{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s’est présentée à l’examen jusqu'à sa réussite.
Ainsi, $\left\lbrace X=1 \right\rbrace$ correspond à l’événement $R_1$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
\item Calculer l’espérance de cette variable aléatoire. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
\end{enumerate}
\item On choisit, successivement et de façon indépendante, $n$ personnes parmi les 300 du groupe étudié, où $n$ est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de $n$ personnes parmi les 300 personnes du groupe.
On admet que la probabilité de l’événement $R_3$ est égale à $\dfrac16$.
\begin{enumerate}
\item Dans le contexte de cette question, préciser un événement dont la probabilité est égale à \mbox{$1-\left(\dfrac56\right)^n$}.
On considère la fonction \textsf{Python} \texttt{seuil} ci-dessous, où \texttt{p} est un nombre réel appartenant à l'intervalle $\intervOO{0}{1}$.
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=6cm]{center}
def seuil(p) :
n = 1
while 1-(5/6)**n <= p :
n = n + 1
return n
\end{CodePythonLstAlt}
\item Quelle est la valeur renvoyée par la commande \texttt{seuil(0.9)} ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice [AU CHOIX] \dotfill{}(5 points)} %exo4
\medskip
\textit{Le candidat doit traiter \textbf{un seul des deux exercices} A ou B. \\ Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.\\ Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.}
\medskip
\section*{Exercice A \dotfill{}(5 points)} %exo4A
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}
\hline
\textbf{\textbf{\textit{Principaux domaines abordés}}} \\
\hspace{1cm}Logarithme \\
\hspace{1cm}Dérivation, convexité, limites \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :
\begin{itemize}
\item[$-$] la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ ;
\item[$-$] la tangente $T_A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ de coordonnées $\left(\tfrac{1}{\e};\e\right)$ ;
\item[$-$] la tangente $T_B$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ de coordonnées $(1;2)$.
\end{itemize}
La droite $T_A$ est parallèle à l’axe des abscisses. La droite $T_B$ coupe l’axe des abscisses au point
de coordonnées $(3;0)$ et l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;3)$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=2cm,y=2cm,xmin=0,xmax=7.5,xgrille=0.5,xgrilles=0.5,ymin=-1,ymax=3.5,ygrille=0.5,ygrilles=0.5]
\GrilleTikz[Affp=false]
\AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0,Labelx=$x$,PosLabelx=above left,Labely=$y$,PosLabely=below right] ;
\AxexTikz[Police=\small]{0,0.5,...,7} ;
\AxeyTikz[Police=\small]{-0.5,0,...,3} ;
\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ;
\draw[line width=1.25pt,red,samples=250,domain=0.1:7.5] plot (\x,{(2+ln(\x))/\x}) ;
\draw[line width=1pt,blue] (0,2.718)--(7.5,2.718);
\draw (6.5,2.718) node[below,blue,font=\large] {$T_A$} ;
\draw[line width=1pt,purple] (0,3)--(4,-1);
\draw (2.25,0.75) node[below,purple,font=\large] {$T_B$} ;
\draw (5.25,0.7) node[below,red,font=\large] {$\mathcal{C}_f$} ;
\foreach \Point/\Name/\Pos in {(0.368,2.718)/A/above right,(1,2)/B/above right}
\filldraw \Point circle(3pt) node[\Pos] {\Name} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
\medskip
\textbf{Partie I}
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement les valeurs de $f' \left( \dfrac{1}{\e}\right)$ et de $f'(1)$.
\item En déduire une équation de la droite $T_B$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie II}
\medskip
On suppose maintenant que la fonction $f$ est définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x)=\dfrac{2+\ln(x)}{x}. \]%
\begin{enumerate}
\item Par le calcul, montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par les points $A$ et $B$ et qu’elle coupe l’axe des abscisses en un point unique que l’on précisera.
\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0^+$, et la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
\item Montrer que, pour tout $x \in \intervOO{0}{+\infty}$, \[ f'(x)=\dfrac{-1-\ln(x)}{x^2}.\]
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$.
\item On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$.
On admet que, pour tout $x \in \intervOO{0}{+\infty}$, \[ f''(x)=\dfrac{1+2\ln(x)}{x^3}. \]
Déterminer le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe.
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice B \dotfill{}(5 points)} %exo4B
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}
\hline
\textbf{\textbf{\textit{Principaux domaines abordés}}} \\
\hspace{1cm}Équations différentielles \\
\hspace{1cm}Fonction exponentielle ; suites \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de 225°C.
On s’intéresse à l’évolution de la température d’une baguette après sa sortie du four.
On admet qu’on peut modéliser cette évolution à l’aide d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$. Dans cette modélisation, $f(t)$ représente la température en degré Celsius de la baguette au bout de la durée $t$, exprimée en heure, après la sortie du four.
Ainsi, $f(0,5)$ représente la température d’une baguette une demi-heure après la sortie du four.
Dans tout l’exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à 25°C.
On admet alors que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $y'+6y = 150$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Préciser la valeur de $f(0)$.
\item Résoudre l’équation différentielle $y'+ 6y = 150$.
\item En déduire que pour tout réel $t \geqslant 0$, on a $f(t)= 200\e^{-6t}+25$.
\end{enumerate}
\item Par expérience, on observe que la température d’une baguette sortant du four :
\begin{itemize}
\item décroît ;
\item tend à se stabiliser à la température ambiante.
\end{itemize}
La fonction $f$ fournit-elle un modèle en accord avec ces observations ?
\item Montrer que l’équation $f(t)=40$ admet une unique solution dans $\intervFO{0}{+\infty}$.
\medskip
Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à 40°C. On note $T_0$ le temps d’attente minimal entre la sortie du four d’une baguette et sa mise en rayon.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=5cm,y=0.025cm,xmin=0,xmax=2.2,xgrille=0.1,xgrilles=0.1,ymin=0,ymax=240,ygrille=20,ygrilles=20]
\GrilleTikz[Affp=false]
\AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0,Labelx=$t$,PosLabelx=above,Labely=$y$,PosLabely=right] ;
\AxexTikz[Police=\small]{0,0.5,1,1.5,2} ;
\AxeyTikz[Police=\small]{0,20,...,220} ;
\draw (0,230) node[right,font=\small\sffamily] {Température en degré Celsius} ;
\draw (2.2,-15) node[below left,font=\small\sffamily] {Durée en heure} ;
\draw[line width=1.25pt,red,samples=250,domain=0:2.2] plot (\x,{200*exp(-6*\x)+25}) ;
\draw (0.3,60) node[above right,font=\large,red] {$\mathcal{C}_f$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Avec la précision permise par le graphique, lire $T_0$. On donnera une valeur approchée de $T_0$ sous forme d’un nombre entier de minutes.
\item On s’intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d’une baguette à sa sortie du four.
Ainsi, pour un entier naturel $n$, $D_n$ désigne la diminution de température en degré Celsius d’une baguette entre la $n$-ième et la $(n+1)$-ième minute après sa sortie du four.
On admet que, pour tout entier naturel $n$ : \[ D_n=f\left(\dfrac{n}{60}\right) - f\left(\dfrac{n+1}{60}\right).\]
\begin{enumerate}
\item Vérifier que 19 est une valeur approchée de $D_0$ à 0,1 près, et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
\item Vérifier que l’on a, pour tout entier naturel $n$ : $D_n = 200\e^{-0,1n}(1 - \e^{-0,1})$.
En déduire le sens de variation de la suite $\suiten[D]$, puis la limite de la suite $\suiten[D]$.
Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l’exercice ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}