% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex
\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
\usepackage[margin=2cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage{ProfLycee}
\RequirePackage[upright]{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb,amstext}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand\ttdefault{lmtt}
\usepackage{decimalcomma}
\usepackage{esvect}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{wrapstuff}
\usepackage{logoetalab}
\newcommand{\session}{2021}
\newcommand{\annee}{2021}
\newcommand{\serie}{Ge.}
\newcommand{\lieu}{Amérique du Nord}
\newcommand{\jour}{26}
\newcommand{\mois}{Mai}
\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC \serie{} \annee{}] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\title{\nomfichier}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{ibrackets}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{bm}
\usepackage{tkz-euclide}
\usepackage{babel}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \lieu{} - Sujet \numsujet}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily 21-MATJ1AN1}
\rfoot{\scriptsize\sffamily - \thepage{}/{}\pageref{LastPage} -}
\setlength{\parindent}{0pt}
%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)}
\newcommand\intervOO[2]{\left]#1;#2\right[}
\newcommand\intervFF[2]{\left[#1;#2\right]}
\newcommand\intervOF[2]{\left]#1;#2\right]}
\newcommand\intervFO[2]{\left[#1;#2\right[}
\newcommand\R{\mathbb{R}}
\newcommand\N{\mathbb{N}}
\newcommand\e{\text{e}}
\newcommand\pta[1]{(#1)}
\newcommand\suiten[1][]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\usepackage{forest}
\forestset{
fleche/.style = {edge={thick}},
aproba/.style = {edge label = {node[above=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
bproba/.style = {edge label = {node[below=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids en-dessous
}
\newcommand\qcmdeux[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
(c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
}
\newcommand\qcm[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 & (c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
}
\usetikzlibrary{hobby}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\hrulefill~\textsf{Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous
et un seul des deux exercices A ou B.}~\hrulefill
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1 [COMMUN] \dotfill{}(5 points)} %exo1c
\medskip
\textit{Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à $10^{-3}$.}
\medskip
Un laboratoire pharmaceutique vient d’élaborer un nouveau test anti-dopage.
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :
\begin{itemize}
\item si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est $0,98$ (sensibilité du test) ;
\item si un athlète n’est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est $0,995$ (spécificité du test).
\end{itemize}
On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des participants à une compétition d’athlétisme. On note $D$ l’événement « l’athlète est dopé » et $P$ l’événement « le test est positif ». On admet que la probabilité de l’événement $D$ est égale à $0,08$.
\begin{enumerate}
\item Traduire la situation sous la forme d’un arbre pondéré.
\item Démontrer que $P(T)=0,083$.
\item
\begin{enumerate}
\item Sachant qu’un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité qu’il soit dopé ?
\item Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de l’événement « un athlète présentant un test positif est dopé » est supérieure ou égale à $0,95$.
Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu’un athlète contrôlé présente un test positif est $0,103$.
\begin{enumerate}
\item Dans cette question 1., on suppose que les organisateurs décident de contrôler 5 athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d’athlètes présentant un test positif parmi les 5 athlètes contrôlés.
\begin{enumerate}
\item Donner la loi suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres.
\item Calculer l’espérance $\mathbb{E}(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
\item Quelle est la probabilité qu’au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif ?
\end{enumerate}
\item Combien d’athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l’événement « au moins un athlète contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à $0,75$ ? Justifier.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice 2 [COMMUN] \dotfill{}(5 points)} %exo2c
\medskip
Un biologiste s’intéresse à l’évolution de la population d’une espèce animale sur une île du Pacifique.
Au début de l’année 2020, cette population comptait 600 individus. On considère que l’espèce sera menacée
d’extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus.
\smallskip
Le biologiste modélise le nombre d’individus par la suite $\suiten$ définie par :\[ \begin{dcases} u_0 = 600 \\ u_{n+1}=0,75u_n \big( 1-0,15u_n \big) \end{dcases} \] %
où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre d’individus, en milliers, au début de l’année $2020+n$.
\begin{enumerate}
\item Estimer, selon ce modèle, le nombre d’individus présents sur l’île au début de l’année 2021 puis au début de l’année 2022.
\end{enumerate}
Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $\intervFF{0}{1}$ par $f(x)=0,75x(1-0,15x)$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $\intervFF{0}{1}$ et dresser son tableau de variations.
\item Résoudre dans l’intervalle $\intervFF{0}{1}$ l’équation $f(x)=x$.
\end{enumerate}
On remarquera pour la suite de l’exercice que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f \big(u_n\big)$.
\begin{enumerate}[resume]
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1$.
\item En déduire que la suite $\suiten$ est convergente.
\item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\suiten$.
\end{enumerate}
\item Le biologiste a l’intuition que l’espèce sera tôt ou tard menacée d’extinction.
\begin{enumerate}
\item Justifier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
\item Le biologiste a programmé en langage \textsf{Python} la fonction \texttt{menace()} ci-dessous :
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=10cm]{center}
def menace():
u = 0.6
n = 0
while u > 0.02 :
u = 0.75*u*(1-0.15*u)
n = n+1
return n
\end{CodePythonLstAlt}
Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction \texttt{menace()}.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice 3 [COMMUN] \dotfill{}(5 points)} %exo3c
\medskip
\textbf{Les questions 1. à 5. de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\medskip
On considère un cube $ABCDEFGH$. Le point $I$ est le milieu du segment $[EF]$, le point $J$ est le milieu du segment $[BC]$ et le point $K$ est le milieu du segment $[AE]$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,font=\small]
\tkzDefPoint(0,0){A}\tkzDefPoint(4,-0.5){B}\tkzDefPoint(0,4.0311){E}\tkzDefPoint(4,3.5311){F}
\begin{scope}[shift=(A)]\tkzDefPoint(1.5,1){D}\end{scope}
\begin{scope}[shift=(B)]\tkzDefPoint(1.5,1){C}\end{scope}
\begin{scope}[shift=(E)]\tkzDefPoint(1.5,1){H}\end{scope}
\begin{scope}[shift=(F)]\tkzDefPoint(1.5,1){G}\end{scope}
\tkzDefMidPoint(A,E) \tkzGetPoint{K}
\tkzDefMidPoint(E,F) \tkzGetPoint{I}
\tkzDefMidPoint(B,C) \tkzGetPoint{J}
\tkzDrawPolygon[gray,fill=lightgray!15,line width=1pt](A,B,F,E)
\tkzDrawPolygon[gray,fill=lightgray!15,line width=1pt](B,C,G,F)
\tkzDrawPolygon[gray,fill=lightgray!15,line width=1pt](E,F,G,H)
\tkzDrawSegment[gray,line width=1pt,dashed](A,D)
\tkzDrawSegment[gray,line width=1pt,dashed](D,C)
\tkzDrawSegment[gray,line width=1pt,dashed](H,D)
\tkzDrawSegment[line width=1.5pt,densely dashed](K,H)
\tkzDrawSegment[line width=1.5pt](A,I)
\tkzDrawSegment[line width=1.5pt,densely dashed](I,J)
\tkzDrawPoints[size=4](A,B,E,F,C,D,G,H,K,I,J)
\tkzLabelPoints[left](A,E,K)
\tkzLabelPoints[right](G,C)
\tkzLabelPoints[above](F,H,I)
\tkzLabelPoints[above right](D)
\tkzLabelPoints[below right](B,J)
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Les droites $(AI)$ et $(KH)$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé $\left( A;\vect{AB},\,\vect{AD},\,\vect{AE} \right)$.
\begin{enumerate}[resume]
\item
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
\item Montrer que les vecteurs $\vect{IJ}$, $\vect{AE}$ et $\vect{AC}$ sont coplanaires.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
On considère le plan $\mathcal{P}$ d’équation $x+3y-2z+2=0$ ainsi que les droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques ci-dessous : \[ d_1 \: : \: \begin{dcases} x = 8+t \\ y=8-2t \\ z=-2+3t \end{dcases}, \: t \in \R \quad \text{ et } \quad d_2 \: : \: \begin{dcases} x = 4+t \\ y=1+t \\ z=8+2t \end{dcases}, \: t \in \R. \]
\begin{enumerate}[resume]
\item Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
\item Montrer que la droite $d_2$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$.
\item Montrer que le point $L(4;0;3)$ est le projeté orthogonal du point $M(5;3;1)$ sur le plan $\mathcal{P}$.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice [AU CHOIX] \dotfill{}(5 points)} %exo4
\medskip
\textit{Le candidat doit traiter \textbf{un seul des deux exercices} A ou B. \\ Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.\\ Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.}
\medskip
\section*{Exercice A \dotfill{}(5 points)} %exo4a
\medskip
\begin{tblr}{width=11cm,colspec={X[l]},vlines}
\hline
\textbf{Principaux domaines abordés :} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Fonction exponentielle} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Convexité} \\
\hline
\end{tblr}
\bigskip
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On justifiera chaque réponse.
\medskip
\textbf{Affirmation 1 :} Pour tous réels $a$ et $b$, $\left(\e^{a+b}\right)^2 = \e^{2a} + \e^{2b}$.
\bigskip
\textbf{Affirmation 2 : } Dans le plan muni d’un repère, la tangente au point $A$ d’abscisse $0$ à la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2+(3-x)\e^{x}$ admet pour équation réduite $y=2x+1$.
\bigskip
\textbf{Affirmation 3 : } $\lim_{x \to +\infty} \e^{2x} - \e^{x} + \dfrac{3}{x} = 0$
\bigskip
\textbf{Affirmation 4 : } L’équation $1 - x + \e^{-x} = 0$ admet une seule solution appartenant à l’intervalle $\intervFF{0}{2}$
\bigskip
\textbf{Affirmation 5 : } La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x^2-5x+\e^x$ est convexe.
\newpage
\section*{Exercice B \dotfill{}(5 points)} %exo4b
\medskip
\begin{tblr}{width=11cm,colspec={X[l]},vlines}
\hline
\textbf{Principaux domaines abordés :} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Fonction logarithme népérien} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Convexité} \\
\hline
\end{tblr}
\bigskip
Dans le plan muni d’un repère, on considère ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d’une fonction $f$, deux fois dérivable sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale $\mathcal{T}$ au point $A(1;4)$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1.2cm,y=1.2cm,xmin=0,xmax=9,xgrilles=0.2,ymin=-1,ymax=5,ygrilles=0.2]
\GrilleTikz
\AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0] \AxexTikz{1,2,...,8} \AxeyTikz{-1,0,...,4}
\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ;
\draw[blue,line width=1.25pt] (0,4) -- (\xmax,4) ;
\draw[blue] (8,4) node[above right,font=\Large] {$\mathcal{T}$} ;
\draw[red,line width=1.25pt,domain=0.05:\xmax,samples=250] plot (\x,{(4+4*ln(\x))/\x}) ;
\draw[red] (0.35,-0.25) node[below right,font=\Large] {$\mathcal{C}_f$} ;
\draw (1,4) node[above,font=\large] {$A$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Préciser les valeurs $f(1)$ et $f'(1)$.
\end{enumerate}
On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x)=\dfrac{a+b\,\ln(x)}{x} \text{ où } a \text{ et } b \text{ sont deux nombres réels.} \]
\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a : \[ f'(x)=\dfrac{b-a-b \, \ln(x)}{x^2}. \]
\item En déduire les valeurs des réels $a$ et $b$.
\end{enumerate}
Dans la suite de l’exercice, on admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x)=\dfrac{4+4\,\ln(x)}{x}. \]
\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
\item Déterminer le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a : \[ f''(x)=\dfrac{-4+8\,\ln(x)}{x^3}. \]
\item Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède un unique point d’inflexion $B$ dont on précisera les coordonnées.
\end{enumerate}
\end{document}