% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex \documentclass[french,a4paper,11pt]{article} \usepackage[margin=2cm,includeheadfoot]{geometry} \usepackage{ProfLycee} \RequirePackage[upright]{fourier} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand\ttdefault{lmtt} \usepackage{decimalcomma} \usepackage{esvect} \usepackage{tabularx} \usepackage{multicol} \usepackage{logoetalab} \newcommand{\session}{2021} \newcommand{\annee}{2021} \newcommand{\serie}{Ge.} \newcommand{\lieu}{Asie} \newcommand{\jour}{7} \newcommand{\mois}{Juin} \newcommand{\numsujet}{1} \newcommand{\nomfichier}{[BAC \serie{} \annee{}] \lieu{} (\mois{} \annee)} \title{\nomfichier} \usepackage{hyperref} \usepackage{lastpage} \usepackage{enumitem} \usepackage{ibrackets} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{bm} \usepackage{tkz-euclide} \usepackage{babel} \hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH} \lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session} \chead{\scriptsize\sffamily \lieu{} - Sujet \numsujet} \rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}} \lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]} \cfoot{\scriptsize\sffamily 21-MATJ1JA1} \rfoot{\scriptsize\sffamily - \thepage{}/{}\pageref{LastPage} -} \setlength{\parindent}{0pt} %divers \DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73} \newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)} \newcommand\Rijk{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)} \newcommand\intervOO[2]{\left]#1;#2\right[} \newcommand\intervFF[2]{\left[#1;#2\right]} \newcommand\intervOF[2]{\left]#1;#2\right]} \newcommand\intervFO[2]{\left[#1;#2\right[} \newcommand\R{\mathbb{R}} \newcommand\N{\mathbb{N}} \newcommand\e{\text{e}} \newcommand\pta[1]{(#1)} \newcommand\suiten[1][]{\left(#1_n\right)} \newcommand\vect[1]{\vv{#1}} \usepackage{forest} \forestset{ fleche/.style = {edge={thick}}, aproba/.style = {edge label = {node[above=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus bproba/.style = {edge label = {node[below=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids en-dessous } \newcommand\qcmdeux[4]{% \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}} (a)~~#1 & (b)~~#2 \\ (c)~~#3 & (d)~~#4 \\ \end{tblr} } \newcommand\qcm[4]{% \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}} (a)~~#1 & (b)~~#2 & (c)~~#3 & (d)~~#4 \\ \end{tblr} } \usetikzlibrary{hobby} \begin{document} \pagestyle{fancy} {\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~} \part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet} \vspace{0.25cm} \hrulefill~\textsf{Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous et un seul des deux exercices A ou B.}~\hrulefill \vspace{0.25cm} \section*{Exercice 1 [COMMUN] \dotfill{}(5 points)} %exo1c \medskip En 2020, une influenceuse sur les réseaux sociaux compte \num{1000}~abonnés à son profil. On modélise le nombre d'abonnés ainsi: chaque année, elle perd 10\,\%de ses abonnés auxquels s'ajoutent $250$ nouveaux abonnés. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'abonnés à son profil en l'année $(2020 + n)$, suivant cette modélisation. Ainsi $u_0 = \num{1000}$. \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$. \item Justifier que pour tout entier naturel $n,$, $u_{n+1} = 0,9u_n + 250$. \item La fonction \textsf{Python} nommée \og suite \fg{} est définie ci-dessous. Dans le contexte de l'exercice, interpréter la valeur renvoyée par \texttt{suite(10)}. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center} def suite(n) : u = 1000 for i in range(n) : u = 0,9*u + 250 return u \end{CodePythonLstAlt} \item \begin{enumerate} \item Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant \num{2500}$. \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. \item Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \end{enumerate} \item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v_n = u_n - \num{2500}$ pour tout entier naturel $n$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$ et de terme initial $v_0 = \num{- 1500}$. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que : \[u_n = - \num{1500} \times 0,9^n + \num{2500}.\] \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \item Écrire un programme qui permet de déterminer en quelle année le nombre d'abonnés dépassera \num{2200}. Déterminer cette année. \end{enumerate} \newpage \section*{Exercice 2 [COMMUN] \dotfill{}(5 points)} %exo2c \medskip On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête 8~cm et de centre $\Omega$. \smallskip Les points $P$, $Q$ et $R$ sont définis par $\vect{{AP}} = \dfrac{3}{4}\vect{{AB}}$ ; $\vect{{AQ}} = \dfrac{3}{4}\vect{{AE}}$ et $\vect{{FR}} = \dfrac{1}{4}\vect{{FG}}$. \smallskip On se place dans le repère orthonormé $\left({A};\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)$ avec : $\vect{\imath} = \dfrac{1}{8}\vect{{AB}}$ ; $\vect{\jmath}= \dfrac{1}{8}\vect{{AD}}$ et $\vect{k} = \dfrac{1}{8}\vect{{AE}}$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=0.85cm,y=0.85cm,line width=1pt,line join=bevel,>=latex] %arêtes \draw (0,1.7)--(6.5,0)--(6.5,7.2)--(0,8.9)--cycle ; %BCGF \draw (6.5,0)--(10,2.6)--(10,9.8)--(6.5,7.2)--cycle ; %CDHG \draw (10,9.8)--(3.5,11.5)--(0,8.9) ; %HEF \draw[dashed] (0,1.7)--(3.5,4.3)--(3.5,11.5) ; %BAE \draw[dashed] (3.5,4.3)--(10,2.6) ; %AD \draw[dashed] (3.5,4.3)--(6.5,7.2) ; %AG \draw[dashed] (3.5,11.5)--(6.5,0) ; %EC %vecteurs \draw[->,line width=1.25pt] (3.5,4.3)--(3.0625,3.975) ; \draw[->,line width=1.25pt] (3.5,4.3)--(4.3125,4.0875) ; \draw[->,line width=1.25pt] (3.5,4.3)--(3.5,5.2) ; %labels simples \foreach \Point/\Nom/\Pos in {(0,1.7)/B/below,(6.5,0)/C/below,(6.5,7.2)/G/above,(0,8.9)/F/above,(10,2.6)/D/right,(10,9.8)/H/above,(3.5,11.5)/E/above,(3.5,4.3)/A/below} \draw \Point node[\Pos] {\Nom} ; %labels "dot" \foreach \Point/\Nom/\Pos in {(5,5.73)/$\Omega$/right,(0.88,2.35)/P/above,(3.5,9.7)/Q/left,(1.625,8.475)/R/above} \filldraw \Point circle[radius=2pt] node[\Pos] {\Nom} ; %labels vecteurs \foreach \Vecteur/\Nom/\Pos in {(3.0625,3.975)/$\vect{\imath}$/above,(4.3125,4.0875)/$\vect{\jmath}$/above,(3.5,5.2)/$\vect{k}$/left} \draw \Vecteur node[\Pos] {\Nom} ; \end{tikzpicture} \end{center} \textbf{Partie I} \begin{enumerate} \item Dans ce repère, on admet que les coordonnées du point $R$ sont $(8;2;8)$. Donner les coordonnées des points $P$ et $Q$. \item Montrer que le vecteur $\vect{n}(1;-5;1)$ est un vecteur normal au plan $(PQR)$. \item Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est $x - 5y + z - 6 = 0$. \end{enumerate} \textbf{Partie II} \medskip On note $L$ le projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan $(PQR)$. \begin{enumerate} \item Justifier que les coordonnées du point $\Omega$ sont $(4;4;4)$. \item Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ perpendiculaire au plan $(PQR)$ et passant par $\Omega$. \item Montrer que les coordonnées du point $L$ sont $\left(\dfrac{14}{3}; \dfrac{2}{3};\dfrac{14}{3}\right)$ \item Calculer la distance du point $\Omega$ au plan $(PQR)$. \end{enumerate} \newpage \section*{Exercice 3 [COMMUN] \dotfill{}(5 points)} %exo3c \medskip Un sac contient les huit lettres suivantes: A B C D E F G H (2 voyelles et 6 consonnes). Un jeu consiste à tirer simultanément au hasard deux lettres dans ce sac. On gagne si le tirage est constitué d'une voyelle \textbf{et} d'une consonne. \begin{enumerate} \item Un joueur extrait simultanément deux lettres du sac. \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de tirages possibles. \item Déterminer la probabilité que le joueur gagne à ce jeu. \end{enumerate} \end{enumerate} Les questions 2. et 3. de cet exercice sont indépendantes. Pour la suite de l'exercice, on admet que la probabilité que le joueur gagne est égale à $\dfrac{3}{7}$. \begin{enumerate}[resume] \item Pour jouer, le joueur doit payer $k$ euros, $k$ désignant un entier naturel non nul. Si le joueur gagne, il remporte la somme de $10$ euros, sinon il ne remporte rien. On note $G$ la variable aléatoire égale au gain algébrique d'un joueur (c'est-à-dire la somme remportée à laquelle on soustrait la somme payée). \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $G$. \item Quelle doit être la valeur maximale de la somme payée au départ pour que le jeu reste favorable au joueur ? \end{enumerate} \item Dix joueurs font chacun une partie. Les lettres tirées sont remises dans le sac après chaque partie. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de joueurs gagnants. \begin{enumerate} \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres. \item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'il y ait exactement quatre joueurs gagnants. \item Calculer $P(X \geqslant 5)$ en arrondissant à $10^{-3}$. Donner une interprétation du résultat obtenu. \item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant 0,9$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \section*{Exercice [AU CHOIX] \dotfill{}(5 points)} %exo4 \medskip \textit{Le candidat doit traiter \textbf{un seul des deux exercices} A ou B. \\ Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.\\ Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.} \medskip \section*{Exercice A \dotfill{}(5 points)} %exo4a \medskip \begin{tblr}{width=13cm,colspec={X[l]},vlines} \hline \textbf{Principaux domaines abordés :} \\ \hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Convexité} \\ \hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Fonction ln} \\ \hline \end{tblr} \bigskip \textbf{Partie I : lectures graphiques} \medskip $f$ désigne une fonction définie et dérivable sur $\R$. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=0.9cm,y=3cm,xmin=-7,xmax=7,ymin=-0.8,ymax=1.2,xgrille=1,ygrille=0.2] \GrilleTikz[Affs=false] \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0] \AxexTikz[Police=\small]{-7,-6,...,6} \AxeyTikz[Police=\small]{1} \draw[line width=1.25pt,red,domain=\xmin:\xmax,samples=2000] plot (\x,{(2*\x+1)/(\x*\x+\x+2.5)}); \draw (0,1) node[above,red] {Courbe de la fonction dérivée $f'$} ; \end{tikzpicture} \end{center} \emph{Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes} \begin{enumerate} \item Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction $f$ en $O$. \item \begin{enumerate} \item Donner les variations de la fonction dérivée $f'$. \item En déduire un intervalle sur lequel $f$ est convexe. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie II : étude de fonction} \medskip La fonction $f$ est définie sur $\R$ par \[f(x) = \ln \left(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\right).\] \begin{enumerate} \item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. \item Déterminer une expression $f'(x)$ de la fonction dérivée de $f$ pour tout $x \in \R$. \item En déduire le tableau des variations de $f$. On veillera à placer les limites dans ce tableau. \item \begin{enumerate} \item Justifier que l'équation $f(x) = 2$ a une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2};+ \infty\right[$. \item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près. \end{enumerate} \item La fonction $f'$ est dérivable sur $\R$. On admet que, pour tout $x \in \R$, $f''(x) = \dfrac{-2x^2 - 2x + 4}{\left(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\right)^2}$. Déterminer le nombre de points d'inflexion de la courbe représentative de $f$. \end{enumerate} \newpage \section*{Exercice B \dotfill{}(5 points)} %exo4b \medskip \begin{tblr}{width=13cm,colspec={X[l]},vlines} \hline \textbf{Principaux domaines abordés :} \\ \hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Étude de fonction, fonction exponentielle} \\ \hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Équations différentielles} \\ \hline \end{tblr} \bigskip \textbf{Partie I} \medskip Considérons l'équation différentielle \[y'= -0,4y + 0,4\] % où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0; + \infty[$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une solution particulière constante de cette équation différentielle. \item En déduire l'ensemble des solutions de cette équation différentielle. \item Déterminer la fonction $g$, solution de cette équation différentielle, qui vérifie $g(0) = 10$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie II} \medskip Soit $p$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0;+ \infty[$ par \[p(t) = \dfrac{1}{g(t)} = \dfrac{1}{1 + 9\e^{-0,4t}}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $p$ en $+ \infty$. \item Montrer que $p'(t) = \dfrac{3,6\e^{-0,4t}}{ \left(1 + 9\e^{-0,4t}\right)^2}$ pour tout $t \in [0;+ \infty[$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $p(t) = \dfrac{1}{2}$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;+ \infty[$. \item Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près à l'aide d'une calculatrice. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie III} \begin{enumerate} \item $p$ désigne la fonction de la partie II. Vérifier que $p$ est solution de l'équation différentielle $y' = 0,4y(1 - y)$ avec la condition initiale \mbox{$y(0) = \dfrac{1}{10}$} où $y$ désigne une fonction définie et dérivable sur $[0; + \infty[$. \item Dans un pays en voie de développement, en l'année 2020, 10\,\% des écoles ont accès à internet. Une politique volontariste d'équipement est mise en œuvre et on s'intéresse à l'évolution de la proportion des écoles ayant accès à internet. On note $t$ le temps écoulé, exprimé en année, depuis l'année 2020. La proportion des écoles ayant accès à internet à l'instant $t$ est modélisée par $p(t)$. Interpréter dans ce contexte la limite de la question \textbf{II.}1. puis la valeur approchée de $\alpha$ de la question \textbf{II.}3.\pta{b} ainsi que la valeur $p(0)$. \end{enumerate} \end{document}