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%divers
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\newcommand\qcmdeux[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
(c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
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\newcommand\qcm[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 & (c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
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\usetikzlibrary{hobby}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\hrulefill~\textsf{Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous
et un seul des deux exercices A ou B.}~\hrulefill
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1 [COMMUN] \dotfill{}(4 points)} %exo1c
\medskip
\textit{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une questionne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée}
\bigskip
\textbf{\underline{Question 1 :}}
On considère la fonction $g$ définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par $g(x)=x^2+2x-\dfrac{2}{x}$.
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d’abscisse 1 est :
\medskip
\begin{tblr}{hlines,vlines,width=\linewidth,colspec={*{2}{X[l]}}}
\pta{a}~~$y=7(x-1)$ & \pta{c}~~$y=7x+7$ \\
\pta{b}~~$y=x-1$ & \pta{d}~~$y=x+1$
\end{tblr}
\bigskip
\textbf{\underline{Question 2 :}}
\medskip
On considère la suite $\suiten[v]$ définie sur $\N$ par $v_n = \dfrac{3n}{n+2}$. On cherche à déterminer la limite de $v_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
\medskip
\newcommand\espv{\vphantom{\dfrac32}}
\begin{tblr}{hlines,vlines,width=\linewidth,colspec={*{2}{X[l,m]}}}
\pta{a}~~$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 1\espv$ & \pta{c}~~$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = \dfrac32$ \\
\pta{b}~~$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 3\espv$ & \pta{d}~~On ne peut pas la déterminer$\espv$
\end{tblr}
\bigskip
\textbf{\underline{Question 3 :}}
\medskip
Dans une urne il y a 6 boules noires et 4 boules rouges. On effectue successivement 10 tirages aléatoires avec remise. Quelle est la probabilité (à $10^{-4}$ près) d’avoir 4 boules noires et 6 boules rouges ?
\medskip
\begin{tblr}{hlines,vlines,width=\linewidth,colspec={*{2}{X[l,m]}}}
\pta{a}~~$0,1662$ & \pta{c}~~$0,115$ \\
\pta{b}~~$0,4$ & \pta{d}~~$0,8886$
\end{tblr}
\bigskip
\textbf{\underline{Question 4 :}}
\medskip
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3\e^x-x$.
\medskip
\begin{tblr}{hlines,vlines,width=\linewidth,colspec={*{2}{X[l,m]}}}
\pta{a}~~$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=3$ & \pta{c}~~$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$ \\
\pta{b}~~$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$ & \pta{d}~~On ne peut pas déterminer la limite de $f$ en $+\infty$
\end{tblr}
\bigskip
\textbf{\underline{Question 5 :}}
\medskip
Un code inconnu est constitué de 8 signes. Chaque signe peut être une lettre ou un chiffre. Il y a donc 36 signes utilisables pour chacune des positions.
Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde.
En combien de temps au maximum le logiciel peut-il découvrir le code ?
\medskip
\begin{tblr}{hlines,vlines,width=\linewidth,colspec={*{2}{X[l,m]}}}
\pta{a}~~environ $0,3$ seconde & \pta{c}~~environ 3 heures \\
\pta{b}~~environ 8 heures & \pta{d}~~environ 470 heures
\end{tblr}
\newpage
\section*{Exercice 2 [COMMUN] \dotfill{}(5 points)} %exo2c
\medskip
Au 1\up{er} janvier 2020, la centrale solaire de Big Sun possédait \num{10560} panneaux solaires. On observe, chaque année, que 2\,\% des panneaux se sont détériorés et nécessitent d’être retirés tandis que 250 nouveaux panneaux solaires sont installés.
\medskip
\textbf{\underline{Partie A} - Modélisation à l’aide d’une suite}
\medskip
On modélise l’évolution du nombre de panneaux solaires par la suite $\suiten$ définie par $u_0=\num{10560}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,98u_n+250$, où $u_n$ est le nombre de panneaux solaires au 1\up{er} janvier de l’année $2020+n$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Expliquer en quoi cette modélisation correspond à la situation étudiée.
\item On souhaite savoir au bout de combien d’années le nombre de panneaux solaires sera strictement supérieur à \num{12000}. À l’aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
\item Recopier et compléter le programme en \textsf{Python} ci-dessous de sorte que la valeur cherchée à la question précédente soit stockée dans la variable \texttt{n} à l’issue de l’exécution de ce dernier.
%
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center}
u = 10560
n = 0
while ......... :
u = .......
n = .......
\end{CodePythonLstAlt}
\end{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \leqslant \num{12500}$.
\item Démontrer que la suite $\suiten$ est croissante.
\item En déduire que la suite $\suiten$ converge. Il n’est pas demandé, ici, de calculer sa limite.
\item On définit la suite $\suiten[v]$ par $v_n=u_n-\num{12500}$, pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\suiten[v]$ est une suite géométrique de raison 0,98 dont on précisera le premier terme.
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $\suiten$. Interpréter ce résultat dans le contexte du modèle.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{\underline{Partie B} - Modélisation à l’aide d’une fonction}
\medskip
Une modélisation plus précise a permis d’estimer le nombre de panneaux solaires de la centrale à l’aide de la fonction $f$ définie pour tout $x \in \intervFO{0}{+\infty}$ par $f(x)=\num{12500}-500\e^{-0,02x+1,4}$, où $x$ représente le nombre d’années écoulées depuis le 1\up{er} janvier 2020.
\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item En utilisant ce modèle, déterminer au bout de combien d’années le nombre de panneaux solaires dépassera \num{12000}.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice 3 [COMMUN] \dotfill{}(5 points)} %exo3c
\medskip
$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le centre de la face $ADHE$ et $J$ est un point du segment $[CG]$.
Il existe donc $a \in \intervFF{0}{1}$ tel que $\vect{CJ} = a \vect{CG}$.
On note $(d)$ la droite passant par $I$ et parallèle à $(FJ)$.
On note $K$ et $L$ les points d’intersection de la droite $(d)$ et des droites $(AE)$ et $(DH)$.
On se place dans le repère $\big(A;\vect{AB},\,\vect{AD},\,\vect{AE}\big)$.
\medskip
\textbf{\underline{Partie A :}} Dans cette partie $a=\dfrac23$
\smallskip
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,font=\small]
\tkzDefPoint(0,0){A}\tkzDefPoint(4,0){B}\tkzDefPoint(0,4){E}\tkzDefPoint(4,4){F}
\begin{scope}[shift=(A)]\tkzDefPoint(2,1.6){D}\end{scope}
\begin{scope}[shift=(B)]\tkzDefPoint(2,1.6){C}\end{scope}
\begin{scope}[shift=(E)]\tkzDefPoint(2,1.6){H}\end{scope}
\begin{scope}[shift=(F)]\tkzDefPoint(2,1.6){G}\end{scope}
\begin{scope}[shift=(A)]\tkzDefPoint(0,2.667){K}\end{scope}
\begin{scope}[shift=(C)]\tkzDefPoint(0,2.667){J}\end{scope}
\begin{scope}[shift=(C)]\tkzDefPoint(0,1.333){P}\end{scope}
\begin{scope}[shift=(D)]\tkzDefPoint(0,1.333){L}\end{scope}
\tkzDefMidPoint(A,H) \tkzGetPoint{I}
\tkzInterLL(K,L)(C,G) \tkzGetPoint{W}
\tkzDefLine[parallel=through W](K,L) \tkzGetPoint{W'}
\tkzDrawLine[line width=1pt](W,W')
\tkzDefLine[parallel=through K](L,K) \tkzGetPoint{K'}
\tkzDrawLine[line width=1pt](K,K')
\tkzDrawSegment[line width=1pt,dashed](K,W)
\tkzDrawPolygon[line width=1pt,brown,fill=brown!25](K,L,J,F)
\tkzDrawPolygon[line width=1pt](A,B,F,E)
\tkzDrawPolygon[line width=1pt](B,C,G,F)
\tkzDrawPolygon[line width=1pt](E,F,G,H)
\tkzDrawSegment[line width=1pt,dashed](A,D)
\tkzDrawSegment[line width=1pt,dashed](D,C)
\tkzDrawSegment[line width=1pt,dashed](H,D)
\tkzMarkSegments[mark=||,size=4pt](C,P P,J J,G)
\tkzDrawPoints[fill=blue,size=3.5](A,B,E,F,C,D,G,H,I,J,K,L,P)
\tkzLabelPoints[left](D)
\tkzLabelPoints[above left](K)
\tkzLabelPoints[below right](L)
\tkzLabelPoints[right](C,P,J)
\tkzLabelPoints[above](G,H,E,F)
\tkzLabelPoints[below](I,A,B)
\draw(-1.5,2.25) node{$(d)$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points $F$, $I$ et $J$.
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que le point de coordonnées $\left(0;0;\dfrac23\right)$ est le point $K$.
\item Déterminer les coordonnées du point $L$, intersection des droites $(d)$ et $(DH)$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le quadrilatère $FJLK$ est un parallélogramme.
\item Démontrer que le quadrilatère $FJLK$ est un losange.
\item Le quadrilatère $FJLK$ est-il un carré ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{\underline{Partie B :} Cas général}
\medskip
On admet que les coordonnées des points $K$ et $L$ sont : $K\left(0;0;1-\dfrac{a}{2}\right)$ et $L\left(0;1;\dfrac{a}{2}\right)$.
On rappelle que $a \in \intervFF{0}{1}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées de $J$ en fonction de $a$.
\item Montrer que le quadrilatère $FJLK$ est un parallélogramme.
\item Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère $FJLK $soit un losange ? Justifier.
\item Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère $FJLK$ soit un carré ? Justifier.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice [AU CHOIX] \dotfill{}(5 points)} %exo4
\medskip
\textit{Le candidat doit traiter \textbf{un seul des deux exercices} A ou B. \\ Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.\\ Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.}
\medskip
\section*{Exercice A \dotfill{}(5 points)} %exo4a
\medskip
\begin{tblr}{width=13cm,colspec={X[l]},vlines}
\hline
\textbf{Principaux domaines abordés :} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Variables aléatoires} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Fonction ln} \\
\hline
\end{tblr}
\bigskip
\textbf{\underline{Partie A} :}
\medskip
Dans un pays, une maladie touche la population avec une probabilité de $0,05$. On possède un test de dépistage de cette maladie.
On considère un échantillon de $n$ personnes ($n \geqslant 20$) prises au hasard dans la population assimilé à un tirage avec remise.
On teste l’échantillon suivant cette méthode : on mélange le sang de ces $n$ individus, on teste le mélange. Si le test est positif, on effectue une analyse individuelle de chaque personne.
Soit $X_n$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’analyses effectuées.
\begin{enumerate}
\item Montrer $X_n$ prend les valeurs 1 et $(n+1)$.
\item
\begin{enumerate}
\item Prouver que $P(X_n=1)=0,95^n$.
\item Établir la loi de $X_n$ en recopiant sur la copie et en complétant le tableau suivant :
%
\begin{center}
\begin{tblr}{hlines,vlines,width=7.5cm,colspec={X[c]X[c]X[c]}}
$x_i$ & $1$ & $n+1$ \\
$P(X_n=x_i)$ & & \\
\end{tblr}
\end{center}
\end{enumerate}
\item Que représente l’espérance de $X_n$ dans le cadre de l’expérience ?
Montrer que $\mathbb{E}\left(X_n\right) = n+1 - n \times 0,95^n$.
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{\underline{Partie B} :}
\smallskip
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\intervFO{20}{+\infty}$ par $f(x)=\ln(x)+x\,\ln(0,95)$.
Montrer que $f$ est décroissante sur $\intervFO{20}{+\infty}$.
\item On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$. Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.
\item Montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\intervFO{20}{+\infty}$.
Donner un encadrement à $0,1$ près de cette solution.
\item En déduire le signe de $f$ sur $\intervFO{20}{+\infty}$.
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{\underline{Partie C} :}
\medskip
On cherche à comparer deux types de dépistages. La première méthode est décrite dans la \textbf{partie A}, la seconde, plus classique, consiste à tester tous les individus.
La première méthode permet de diminuer le nombre d’analyses dès que $\mathbb{E}\left(X_n\right) < n$.
\smallskip
En utilisant la \textbf{partie B}, montrer que la première méthode diminue le nombre d’analyses pour des échantillons comportant 87 personnes maximum.
\newpage
\section*{Exercice B \dotfill{}(5 points)} %exo4b
\medskip
\begin{tblr}{width=13cm,colspec={X[l]},vlines}
\hline
\textbf{Principaux domaines abordés :} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Équations différentielles} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Fonction exponentielle} \\
\hline
\end{tblr}
\bigskip
\textbf{\underline{Partie A} : Détermination d’une fonction \boldmath$f$\unboldmath{} et résolution d’une équation différentielle}
\medskip
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[ f(x)=\e^x+ax+b\e^{-x} \]%
où $a$ et $b$ sont des nombres réels que l’on propose de déterminer dans cette partie.
\smallskip
Dans le plan muni d’un repère d’origine $O$, on a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$, représentant la fonction $f$, et la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.8cm,y=0.8cm,xmin=-2.5,xmax=3.5,xgrilles=0.2,ymin=-0.5,ymax=6.5,ygrilles=0.2]
\GrilleTikz
\AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0]
\AxexTikz[Police=\small]{-2,-1,1,2,3} \AxeyTikz[Police=\small]{1,2,...,6} ;
\draw (0,0) node[below left,font=\small] {0} ;
\clip (\xmin,\ymin)rectangle(\xmax,\ymax);
\draw[line width=1.25pt,red,samples=250,domain=\xmin:\xmax] plot (\x,{exp(\x)-\x+2*exp(-\x)}) ;
\draw[line width=1.25pt,blue,samples=250,domain=\xmin:\xmax] plot (\x,{-2*\x+3}) ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
\item En utilisant l’expression de la fonction $f$, exprimer $f(0)$ en fonction de $b$ et en déduire la valeur de $b$.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
\item Donner, pour tout réel $x$, l’expression de $f'(x)$.
\item Exprimer $f'(0)$ en fonction de $a$.
\item En utilisant les questions précédentes, déterminer $a$, puis en déduire l’expression de $f(x)$.
\end{enumerate}
\item On considère l’équation différentielle : \[ (E) \quad : \quad y'+y=2\e^{x}-x-1. \]
\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par : \[ g(x)=\e^x-x+2\e^{-x} \]%
est solution de l’équation $(E)$.
\item Résoudre l’équation différentielle $y'+y=0$.
\item En déduire toutes les solutions de l’équation $(E)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\textbf{\underline{Partie B} : Étude de la fonction} $\bm{g}$ \textbf{sur} $\bm{{\intervFO{1}{+\infty}}}$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout réel $x$, on a : \[ \e^{2x}-\e^x-2=\big(\e^x-2\big)\big(\e^x+1\big). \]
\item En déduire une expression factorisée de $g'(x)$, pour tout réel $x$.
\item On admettra que, pour tout $x \in \intervFO{1}{+\infty}$, $\e^x-2 > 0$.
Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\intervFO{1}{+\infty}$.
\end{enumerate}
\end{document}