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%divers
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\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)}
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\newcommand\qcmdeux[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
(c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
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\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 & (c)~~#3 & (d)~~#4 \\
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\usetikzlibrary{hobby}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\hrulefill~\textsf{Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous
et un seul des deux exercices A ou B.}~\hrulefill
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1 [COMMUN] \dotfill{}(4 points)} %exo1c
\medskip
\textit{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une questionne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée}
\bigskip
Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par :\[ f(x)=\dfrac{\e^{2x}}{x}. \]
%
On donne l'expression de la dérivée seconde $f''$ de $f$, définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[ f''(x)=\dfrac{2\e^{2x}(2x^2-2x+1)}{x^3}. \]
%
\begin{enumerate}
\item La fonction $f'$, dérivée de $f$, est définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par :
\newcommand\espv{\vphantom{\dfrac{\e^{2x}(1+2x)}{x^2}}}
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[l]}}}
\pta{a}~~$f'(x)=2\e^{2x}\espv$ & \pta{b}~~$f'(x)=\dfrac{\e^{2x}(x-1)}{x^2}\espv$ \\
\pta{c}~~$f'(x)=\dfrac{\e^{2x}(2x-1)}{x^2}\espv$ & \pta{d}~~$f'(x)=\dfrac{\e^{2x}(1+2x)}{x^2}$ \\
\end{tblr}
\item La fonction $f$ :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[l]}}}
\pta{a}~~est décroissante sur $\intervOO{0}{+\infty}$ & \pta{b}~~est monotone sur $\intervOO{0}{+\infty}$ \\
\pta{c}~~admet un minimum en $\dfrac12$ & \pta{d}~~admet un maximum en $\dfrac12$ \\
\end{tblr}
\item La fonction $f$ admet pour limite en $+\infty$ :
\renewcommand\espv{\vphantom{\dfrac{\e^{2x}(1+2x)}{x^2}}}
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[l]}}}
\pta{a}~~$+\infty\espv$ & \pta{b}~~$0\espv$ \\
\pta{c}~~$1\espv$ & \pta{d}~~$\e^{2x}$ \\
\end{tblr}
\item La fonction $f$ est
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[l]}}}
\pta{a}~~est concave sur $\intervOO{0}{+\infty}$ & \pta{b}~~est convexe sur $\intervOO{0}{+\infty}$ \\
\pta{c}~~est concave sur $\intervOO{0}{\dfrac12}$ & \pta{d}~~est représentée par une courbe
admettant un point d'inflexion \\
\end{tblr}
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice 2 [COMMUN] \dotfill{}(5 points)} %exo5c
\medskip
Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que 5\,\% des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.
Un ingénieur a mis au point un test à appliquer aux pièces. Ce test a deux résultats possibles : « positif » ou bien « négatif ».
On applique ce test à une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne.
On note $p(E)$ la probabilité d'un événement $E$.
On considère les événements suivants :
\begin{itemize}
\item $D$ : « la pièce est défectueuse » ;
\item $T$ : « la pièce présente un test positif » ;
\item $\overline{D}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $D$ et $T$.
\end{itemize}
Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :
\begin{itemize}
\item la probabilité qu'une pièce présente un test positif sachant qu'elle défectueuse est égale à $0,98$ ;
\item la probabilité qu'une pièce présente un test négatif sachant qu'elle n'est pas défectueuse est égale à $0,97$.
\end{itemize}
\begin{center}
\textbf{Les parties I et II peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}
\begin{center}
\textbf{PARTIE I}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Traduire la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne soit défectueuse et présente un test positif.
\item Démontrer que : $p(T) = \num{0,0775}$.
\end{enumerate}
\item On appelle valeur prédictive positive du test la probabilité qu'une pièce soit défectueuse sachant que le test est positif. On considère que pour être efficace, un test doit avoir une valeur prédictive positive supérieure à $0,95$.
Calculer la valeur prédictive positive de ce test et préciser s'il est efficace.
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{PARTIE II}
\end{center}
On choisit un échantillon de 20 pièces dans la production de la chaîne, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon.
On rappelle que : $p(D) = 0,05$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de cette loi.
\item Calculer la probabilité que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse.
On donnera un résultat arrondi au centième.
\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat obtenu.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice 3 [COMMUN] \dotfill{}(6 points)} %exo6c
\medskip
Cécile a invité des amis à déjeuner sur sa terrasse. Elle a prévu en dessert un assortiment de gâteaux individuels qu'elle a achetés surgelés.
Elle sort les gâteaux du congélateur à $-19$\textcelsius{} et les apporte sur la terrasse où la température ambiante est de $15$\textcelsius.
Au bout de 10 minutes, la température des gâteaux est de $1,3$\textcelsius.
\begin{center}
\textbf{I -- Premier modèle}
\end{center}
On suppose pue la vitesse de décongélation est constante, c'est-à-dire que l'augmentation de la température des gâteaux est la même minute après minute.
\smallskip
Selon ce modèle, déterminer quelle serait la température des gâteaux 25 minutes après leur sortie du congélateur.
\smallskip
Ce modèle semble-t-il pertinent ?
\begin{center}
\textbf{II -- Second modèle}
\end{center}
On note $T_n$ la température des gâteaux, en degré Celsius, au bout de $n$ minutes après leur sortie du congélateur ; ainsi $T_0 = -19$.
\smallskip
On admet que pour modéliser l'évolution de la température, on doit avoir la relation suivante :
\smallskip
\hfill~pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1}-T_n = -0,06 \times (T_n-25)$\hfill~
\begin{enumerate}
\item Justifier pue,pour tout entier naturel $n$, on a : $T_{n+1} = 0,94T_n + 1,5$.
\item Calculer $T_1$ et $T_2$. On donnera des valeurs arrondies au dixième.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_n < 25$.
En revenant à fa situation étudiée, ce résultat était-il prévisible ?
\item Étudier le sens de variation de la suite $\suiten[T]$.
\item Démontrer que la suite $\suiten[T]$ est convergente.
\item On pose, pour tout entier naturel $n$, $U_n = T_n - 25$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\suiten[U]$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $U_0$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $T_n = 14 \times 0,94^n + 25$.
\item En déduire la limite de la suite $\suiten[T]$. Interpréter ce résultat dans le contexte de la situation étudiée.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Le fabricant conseille de consommer les gâteaux au bout d'une demi-heure à température ambiante après leur sortie du congélateur. Quelle est alors la température atteinte par les gâteaux ? On donnera une valeur arrondie à l'entier le plus proche.
\item Cécile est une habituée de ces gâteaux, qu'elle aime déguster lorsqu'ils sont encore frais, à la température de $10$\textcelsius{}. Donner un encadrement entre deux entiers consécutifs du temps en minutes après lequel Cécile doit déguster son gâteau.
\item Le programme suivant, écrit en langage \textsf{Python}, doit renvoyer après son exécution le plus petite valeur de l'entier $n$ pour laquelle $T_n \geqslant 10$.
\smallskip
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center}
def seuil() :
n = 0
T = ......
while T....... :
T = ......
n = n+1
return n
\end{CodePythonLstAlt}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
Recopier ce programme sur la copie et compléter les lignes incomplètes afin que le programme renvoie la valeur attendue.
\end{minipage}\hfill~
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice [AU CHOIX] \dotfill{}(5 points)} %exo4
\medskip
\textit{Le candidat doit traiter \textbf{un seul des deux exercices} A ou B. \\ Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.\\ Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.}
\medskip
\section*{Exercice A \dotfill{}(5 points)} %exo4a
\medskip
\begin{tblr}{width=13cm,colspec={X[l]},vlines}
\hline
\textbf{Principaux domaines abordés :} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Géométrie dans l'espace rapporté à un repère orthonormé} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Orthogonalité dans l'espace} \\
\hline
\end{tblr}
\bigskip
Dans un repère orthonormé $\Rijk$, on considère :
%
\begin{itemize}
\item le point $A$ de coordonnées $(1;3;2)$ ;
\item le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ ;
\item la droite $d$ passant par l'origine $O$ du repère et admettant pour vecteur directeur $\vect{u}$.
\end{itemize}
Le but de cet exercice est de déterminer le point de $d$ le plus proche du point $A$ et d'étudier quelques propriétés de ce point.
\smallskip
On pourra s'appuyer sur la figure ci-dessous pour raisonner au fur et à mesure des questions.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1.5cm,y=1.2cm,>=stealth',font=\large]
\clip (-2,-3.15) rectangle (4,2.5) ;
\draw[thick,->] (-2,0)--(4,0) ; \draw[thick,->] (0,-3.5)--(0,3) ;
\draw[very thick,->] (0,0)--(0,1) node[left] {$\vect{k}$}; ;
\draw[thick] (0,0)--(-125:4) ;
\draw[very thick,->] (0,0)--(-125:1.1) node[left] {$\vect{\imath}$};
\draw[thick,fill=white] (0,0)--(2.25,1.5)--(2.4,-0.8)--(0.75,-1.5)--cycle ;
\draw[thick,red,samples=2,domain=-2:4] plot (\x,{-2*\x}) ;
\draw[red] (1.65,-3) node[above] {$d$} ;
\draw[very thick,->,densely dashed] (0,0)--(1,0) node[above] {$\vect{\jmath}$};
\draw[thick,densely dashed] (1,0)--(2.3,0) ;
\draw[thick] (2.25,1.5)--(0.75,-1.5);
\draw[thick,densely dashed] (0,0)--(2.4,-0.8);
\draw[very thick,->] (0,0)--(0.35,-0.7) node[right] {$\vect{u}$};
\foreach \Point/\Nom/\Pos in {(0,0)/O/below left,(2.25,1.5)/A/above,(2.4,-0.8)/{A'}/below,(0.75,-1.5)/{M_0}/left}%
\filldraw \Point circle[radius=2pt] node[\Pos] {$\Nom$} ;
\foreach \x in {-1,2,3} \draw[thick] (\x,3pt)--(\x,-3pt) ;
\foreach \y in {-3,-2,-1,2} \draw[thick] (3pt,\y)--(-3pt,\y) ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
\item Soit $t$ un nombre réel quelconque, et $M$ un point de la droite $d$, le point $M$ ayant pour coordonnées $(t;t;0)$.
\begin{enumerate}
\item On note $AM$ la distance entre les points $A$ et $M$. Démontrer que : \[ AM^2 = 2t^2-8t+14. \]
\item Démontrer que le point $M_0$ de coordonnées $(2;2;0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel la distance $AM$ est minimale. On admettra que la distance $AM$ est minimale lorsque son carré $AM^2$ est minimal.
\end{enumerate}
\item Démontrer que les droites $\big(AM_0\big)$ et $d$ sont orthogonales.
\item On appelle $A'$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan d'équation cartésienne $z = 0$. Le point $A'$ admet donc pour coordonnées $(1;3;0)$.
Démontrer que le point $M_0$ est le point du plan $\big(AA'M_0\big)$ le plus proche du point $O$, origine du repère.
\item Calculer le volume de la pyramide $OM_0A'A$.
On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par : $\mathcal{V} = \dfrac13 \mathcal{B} h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice B \dotfill{}(5 points)} %exo4b
\medskip
\begin{tblr}{width=13cm,colspec={X[l]},vlines}
\hline
\textbf{Principaux domaines abordés :} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Équations différentielles} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Fonction exponentielle} \\
\hline
\end{tblr}
\bigskip
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y' = y + 2x\e^{x}$.
\smallskip
On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'ensemble $\R$ des nombres réels qui sont solutions de cette équation.
\begin{enumerate}
\item Soit u la fonction définie sur $\R$ par $u(x) = x^2\e^x$. On admet que $u$ est dérivable et on note $u'$ sa fonction dérivée. Démontrer que $u$ est une solution particulière de $(E)$.
\item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par : \[ g(x)=f(x)-u(x). \]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que si la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ alors la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle : $y' = y$.
On admet que la réciproque de cette propriété est également vraie.
\item À l'aide de la résolution de l'équation différentielle $y' = y$, résoudre l'équation différentielle $(E)$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Étude de la fonction} \boldmath$u$\unboldmath
\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $u'(x)$ pour $x$ variant dans $\R$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $u$ sur $\R$ (les limites ne sont pas demandées).
\item Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $u$ est concave.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}