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\title{\nomfichier}
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%divers
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\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
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\forestset{
fleche/.style = {edge={thick}},
aproba/.style = {edge label = {node[above=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
bproba/.style = {edge label = {node[below=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids en-dessous
}
\newcommand\qcmdeux[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
(c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
}
\newcommand\qcm[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 & (c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
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\usetikzlibrary{hobby}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\hrulefill~\textsf{Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous
et un seul des deux exercices A ou B.}~\hrulefill
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1 [COMMUN] \dotfill{}(4 points)} %exo1c
\medskip
\textit{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une questionne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée}
\bigskip
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\Rijk$.
On considère :
%
\begin{itemize}
\item la droite $\mathcal{D}$ passant par les points $A(1;1;-2)$ et $B(-1;3;2)$ ;
\item La droite $\mathcal{D}'$ de représentation paramétrique $\begin{dcases} x=-4+3t \\ y=6-3t \\z=8-6t \end{dcases}$ avec $t \in \R$ ;
\item le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x+m\,y-2z+7=0$ où $m$ est un nombre réel.
\end{itemize}
\bigskip
\textbf{Question 1 :} Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\mathcal{D}'$ ?
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[l]}}}
\pta{a}~~$M_1(-1;3;-2)$ & \pta{b}~~$M_2(11;-9;-22)$ & \pta{c}~~$M_3(-7;9;2)$ & \pta{d}~~$M_4(-2;3;4)$
\end{tblr}
\bigskip
\textbf{Question 2 :} Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}'$ est :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[l]}}}
\pta{a}~~$\vect{u_1} \begin{pmatrix}-4\\6\\8\end{pmatrix}$ & \pta{b}~~$\vect{u_2} \begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}$ & \pta{c}~~$\vect{u_3} \begin{pmatrix}3\\-3\\-6\end{pmatrix}$ & \pta{d}~~$\vect{u_4} \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$
\end{tblr}
\bigskip
\textbf{Question 3 :} Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[l]}}}
\pta{a}~~sécantes & \pta{b}~~strictement parallèles & \pta{c}~~non coplanaires & \pta{d}~~confondues
\end{tblr}
\bigskip
\textbf{Question 4 :} La valeur du réel $m$ pour laquelle la droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ est
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[l]}}}
\pta{a}~~$m=-1$ & \pta{b}~~$m=1$ & \pta{c}~~$m=5$ & \pta{d}~~$m=-2$
\end{tblr}
\newpage
\section*{Exercice 2 [COMMUN] \dotfill{}(6 points)} %exo2c
\medskip
Dans cet exercice, les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au
millième.
La leucose féline est une maladie touchant les chats ; elle est provoquée par un virus.
Dans un grand centre vétérinaire, on estime à 40\,\% la proportion de chats porteurs de la maladie.
On réalise un test de dépistage de la maladie parmi les chats présents dans ce centre vétérinaire.
Ce test possède les caractéristiques suivantes :
\begin{itemize}
\item lorsque le chat est porteur de la maladie, son test est positif dans 90\,\% des cas ;
\item lorsque le chat n’est pas porteur de la maladie, son test est négatif dans 85\,\% des cas.
\end{itemize}
On choisit un chat au hasard dans le centre vétérinaire et on considère les événements suivants :
\begin{itemize}
\item M : « Le chat est porteur de la maladie » ;
\item T : « Le test du chat est positif » ;
\item $\overline{M}$ et $\overline{T}$ désignent les événements contraires des événements M et T respectivement.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un arbre pondéré.
\item Calculer la probabilité que le chat soit porteur de la maladie et que son test soit positif.
\item Montrer que la probabilité que le test du chat soit positif est égale à $0,45$.
\item On choisit un chat parmi ceux dont le test est positif. Calculer la probabilité qu’il soit porteur de la maladie.
\end{enumerate}
\item On choisit dans le centre vétérinaire un échantillon de 20 chats au hasard. On admet que l’on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de chats présentant un test positif dans
l’échantillon choisi.
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant, la loi suivie par la variable aléatoire $X$.
\item Calculer la probabilité qu’il y ait dans l’échantillon exactement 5 chats présentant un test positif.
\item Calculer la probabilité qu’il y ait dans l’échantillon au plus 8 chats présentant un test positif.
\item Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, on choisit un échantillon de $n$ chats dans le centre, qu’on assimile encore à un tirage avec remise. On note $p_n$ la probabilité qu’il y ait au moins un chat présentant un test positif dans cet échantillon.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $p_n = 1 - 0,55^n$.
\item Décrire le rôle du programme ci-contre écrit en langage \textsf{Python}, dans lequel la variable \texttt{n} est un entier naturel et la variable \texttt{P} un nombre réel.
%
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center}
def seuil() :
n = 0
P = 0
while P < 0.99 :
n = n+1
P = 1-0.55**n
return n
\end{CodePythonLstAlt}
\item Déterminer, en précisant la méthode employée, la valeur renvoyée par ce programme.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice 3 [COMMUN] \dotfill{}(5 points)} %exo3c
\medskip
On considère la suite $\suiten$ définie par : $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, \[ u_{n+1}=\dfrac{4u_n}{u_n+4}. \]
\begin{enumerate}
\item La copie d’écran ci-dessous présente les valeurs, calculées à l’aide d’un tableur, des
termes de la suite $\suiten$ pour $n$ variant de 0 à 12, ainsi que celles du quotient $\dfrac{4}{u_n}$ (avec, pour les valeurs de $u_n$, affichage de deux chiffres pour les parties décimales).
\begin{center}
%TABLEUR
\begin{tikzpicture}
\tableur*[14]{A/2cm,B/2cm,C/2cm}
\celtxt*[align=center]{A}{1}{$n$}
\celtxt*[align=center]{B}{1}{$u_n$}
\celtxtmulti{C}{1}{1.75cm}{$\nicefrac{4}{u_n}$}
\foreach \A in {2,3,...,14}{%
\FPeval{nba}{clip(\A-2)}
\celtxt*[align=center]{A}{\A}{$\nba$}
}
\foreach \C in {2,3,...,14}{%
\FPeval{nbc}{clip(\C+2)}
\celtxt*[align=center]{C}{\C}{$\nbc$}
}
\foreach \B/\val in {2/{1,00},3/{0,80},4/{0,67},5/{0,57},6/{0,50},7/{0,44},8/{0,40},9/{0,36},10/{0,33},11/{0,29},12/{0,27},13/{0,27},14/{0,25}}{%
\celtxt*[align=center]{B}{\B}{$\val$}}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\smallskip
À l’aide de ces valeurs, conjecturer l’expression de $\dfrac{4}{u_n}$ en fonction de $n$.
\smallskip
Le but de cet exercice est de démontrer cette conjecture (question 5.), et d’en déduire la limite de la suite $\suiten$ (question 6.).
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n > 0$.
\item Démontrer que la suite $\suiten$ est décroissante.
\item Que peut-on conclure des questions 2. et 3. concernant la suite $\suiten$ ?
\item On considère la suite $\suiten[v]$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = \dfrac{4}{u_n}$.
Démontrer que $\suiten[v]$ est une suite arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.
En déduire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
En déduire la limite de la suite $\suiten$.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice [AU CHOIX] \dotfill{}(5 points)} %exo4
\medskip
\textit{Le candidat doit traiter \textbf{un seul des deux exercices} A ou B. \\ Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.\\ Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.}
\medskip
\section*{Exercice A \dotfill{}(5 points)} %exo4a
\medskip
\begin{tblr}{width=13cm,colspec={X[l]},vlines}
\hline
\textbf{Principaux domaines abordés :} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Fonction logarithme} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Dérivation} \\
\hline
\end{tblr}
\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie I}
\end{center}
On désigne par $h$ la fonction définie sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[ h(x)=1+\dfrac{\ln(x)}{x^2}. \]
On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$ et on note $h'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
\item Déterminez les limites de $h$ en $0$ et en $+\infty$.
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de $\intervOO{0}{+\infty}$, $h'(x)=\dfrac{1-2\ln(x)}{x^3}$.
\item En déduire les variations de la fonction $h$ sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.
\item Montrer que l’équation $h(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à $\intervOO{0}{+\infty}$ et vérifier que : $\dfrac12 < \alpha < 1$.
\item Déterminer le signe de $h(x)$ pour $x$ appartenant à $\intervOO{0}{+\infty}$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{Partie II}
\end{center}
On désigne par $f_1$ et $f_2$ les fonctions définies sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[ g_1(x)=x-1-\dfrac{\ln(x)}{x^2} \quad \text{ et } f_2(x)= x-2-\dfrac{2\ln(x)}{x^2}. \]
On note $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ les représentations graphiques respectives de $f_1$ et $f_2$ dans un repère $\Rij$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $\intervOO{0}{+\infty}$, on a : \[ f_1(x)-f_2(x) = h(x). \]
\item Déduire des résultats de la \textbf{Partie I} la position relative des courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$. On justifiera que leur unique point d’intersection a pour coordonnées $(\alpha;\alpha)$.
On rappelle que $\alpha$ est l’unique solution de l’équation $h(x)=0$.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice B \dotfill{}(5 points)} %exo4b
\medskip
\begin{tblr}{width=13cm,colspec={X[l]},vlines}
\hline
\textbf{Principaux domaines abordés :} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Fonction exponentielle} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Dérivation, convexité} \\
\hline
\end{tblr}
\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie I}
\end{center}
On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la \textbf{fonction dérivée} $f'$ d’une fonction $f$ dérivable sur $\R$.
À l’aide de cette courbe, conjecturer, en justifiant les réponses :
\begin{enumerate}
\item Le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
\item La convexité de la fonction $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1.25cm,y=1.25cm,xmin=-2,xmax=4,ymin=-2,ymax=4]
\AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0]
\foreach \x in {-1,0,1,2,3} \draw[line width=1.25pt] (\x,4pt) -- (\x,-4pt) node[below left] {$\num{\x}$} ;
\AxeyTikz{-1,1,2,3}
\draw[line width=1.25pt,->,>=latex] (0,0)--(0,1);
\draw[line width=1.25pt,->,>=latex] (0,0)--(1,0);
\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ;
\draw[red,very thick,samples=250,domain=\xmin:\xmax] plot (\x,{(-\x-1)*exp(-\x)}) ;
\draw[line width=1.25pt,fill=white] (0.5,1.75) rectangle (3.5,2.75) node[midway,font=\scriptsize] {\parbox{3.5cm}{Courbe représentant la \textbf{dérivée} $f'$ de la fonction $f$.}} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\textbf{Partie II}
\end{center}
On admet que la fonction $f$ mentionnée dans la \textbf{Partie I} est définie sur $\R$ par : \[ f(x)=(x+2)\e^{-x}. \]
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\Rij$.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$, et on note $f'$ et $f''$ les fonctions dérivées première et seconde de $f$ respectivement.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, \[ f(x)=\dfrac{x}{\e^x}+2\e^{-x}. \]
En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l’on précisera.
On admet que $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=(-x-1)\e^{-x}$.
\item Étudier les variations sur $\R$ de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations.
\item Montrer que l’équation$f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\intervFF{-2}{1}$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}
\item Déterminer, pour tout nombre réel $x$, l’expression de $f''(x)$ et étudier la convexité de la fonction $f$. Que représente pour la courbe $\mathcal{C}$ son point $A$ d’abscisse $0$ ?
\end{enumerate}
\end{document}