% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex
\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
\usepackage[margin=2cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage{ProfLycee}
\RequirePackage[upright]{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb,amstext}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand\ttdefault{lmtt}
\usepackage{decimalcomma}
\usepackage{esvect}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{wrapstuff}
\usepackage{logoetalab}
\newcommand{\session}{2021}
\newcommand{\annee}{2021}
\newcommand{\serie}{Ge.}
\newcommand{\lieu}{Polynésie}
\newcommand{\jour}{2}
\newcommand{\mois}{Juin}
\newcommand{\numsujet}{2}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC \serie{} \annee{}] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\title{\nomfichier}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{ibrackets}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{bm}
\usepackage{tkz-euclide}
\usepackage{babel}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \lieu{} - Sujet \numsujet}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily 21-MATJ2PO1}
\rfoot{\scriptsize\sffamily - \thepage{}/{}\pageref{LastPage} -}
\setlength{\parindent}{0pt}
%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)}
\newcommand\intervOO[2]{\left]#1;#2\right[}
\newcommand\intervFF[2]{\left[#1;#2\right]}
\newcommand\intervOF[2]{\left]#1;#2\right]}
\newcommand\intervFO[2]{\left[#1;#2\right[}
\newcommand\R{\mathbb{R}}
\newcommand\N{\mathbb{N}}
\newcommand\e{\text{e}}
\newcommand\pta[1]{(#1)}
\newcommand\suiten[1][]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\usepackage{forest}
\forestset{
fleche/.style = {edge={thick}},
aproba/.style = {edge label = {node[above=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
bproba/.style = {edge label = {node[below=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids en-dessous
}
\newcommand\qcmdeux[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
(c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
}
\newcommand\qcm[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 & (c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
}
\usetikzlibrary{hobby}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\hrulefill~\textsf{Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous
et un seul des deux exercices A ou B.}~\hrulefill
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1 [COMMUN] \dotfill{}(5 points)} %exo1c
\medskip
On considère la suite $\suiten$ définie par $u_0 = \num{10000}$ et pour tout entier naturel $n$ : \[ u_{n+1}=0,95u_n+200. \]
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et vérifier que $u_2 = \num{9415}$.
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier $n$ : \[ u_n < \num{4000}. \]
\item On admet que la suite $\suiten$ est décroissante. Justifier qu’elle converge.
\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\suiten[v]$ définie par : $v_n=u_n-\num{4000}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $v_0$.
\item Démontrer que la suite $\suiten[v]$ est géométrique de raison égale à $0,95$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$ : \[ u_n = \num{4000} + \num{6000} \times 0,95^n. \]
\item Quelle est la limite de la suite $\suiten$ ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\item En 2020, une espèce animale comptait \num{10000} individus. L’évolution observée les années précédentes conduit à estimer qu’à partir de l’année 2021, cette population baissera de 5\,\% chaque début d’année.
Pour ralentir cette baisse, il a été décidé de réintroduire 200 individus à la fin de chaque année, à partir de 2021.
Une responsable d’une association soutenant cette stratégie affirme que : « l’espèce ne devrait pas s’éteindre, mais malheureusement, nous n’empêcherons pas une disparition de plus de la moitié de la population ».
Que pensez-vous de cette affirmation ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice 2 [COMMUN] \dotfill{}(5 points)} %exo2c
\medskip
Un test est mis au point pour détecter une maladie dans un pays.
Selon les autorités sanitaires de ce pays, 7\,\% des habitants sont infectés par cette maladie.
Parmi les individus infectés, 20\,\% sont déclarés négatifs.
Parmi les individus sains, 1\,\% sont déclarés positifs.
Une personne est choisie au hasard dans la population.
On note :
\begin{itemize}
\item $M$ l’évènement : « la personne est infectée par la maladie » ;
\item $T$ l’évènement : « le test est positif ».
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité pour que la personne soit infectée par la maladie et que son test soit positif ?
\item Montrer que la probabilité que son test soit positif est de \num{0,0653}.
\end{enumerate}
\item On sait que le test de la personne choisie est positif.
Quelle est la probabilité qu’elle soit infectée ?
On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.
\item On choisit dix personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d’assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre d’individus ayant un test positif parmi les dix personnes.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.
\item Déterminer la probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif.
On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\item Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu’au moins une de ces personnes ait un test positif, soit supérieure à 99\,\%.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice 3 [COMMUN] \dotfill{}(5 points)} %exo3c
\medskip
Dans l'espace, on considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête de longueur égale à 1.
On munit l'espace du repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\,\vect{AD},\,\vect{AE}\right)$.
On considère le point $M$ tel que $\vect{BM} = \dfrac{1}{3}\vect{BH}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
%axes
\draw[line width=1.25pt,->] (0,0)--(0,5) node[above] {$z$} ;
\draw[line width=1.25pt,->] (0,0)--(4.5,-1.55) node[below right] {$y$} ;
\draw[line width=1.25pt,->] (0,0)--(-4,-2) node[below left] {$x$} ;
%cube
\draw[line width=2pt,line join=bevel] (-2.4,-1.2)--(0.5,-2.2)--(2.9,-1)--(2.9,2.4)--(0,3.4)--(-2.4,2.2)--cycle; %BCDHEF
\draw[line width=2pt,line join=bevel] (-2.4,2.2)--(0.5,1.2)--(2.9,2.4) (0.5,1.2)--(0.5,-2.2) ;%FGH & GC
%divers
\draw[dashed,line width=1.5pt] (-2.4,-1.2)--(2.9,2.4) ;
\filldraw (-0.65,-0.0113) circle[radius=2pt] ;
%labels
\foreach \Point/\Nom/\Pos in {(-0.65,0.093)/M/above left,(-2.4,-1.2)/B/below,(0.5,-2.2)/C/below,(2.9,-1)/D/below,(2.9,2.4)/H/right,(0,3.4)/E/above right,(-2.4,2.2)/F/left,(0,0)/A/below,(0.5,1.2)/G/above}%
\draw \Point node[\Pos] {\Nom} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner les coordonnées des points $B$, $D$, $E$, $G$ et $H$.
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $EGD$ ? Justifier la réponse.
\item On admet que l'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{4}c^2$.
Montrer que l'aire du triangle $EGD$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\end{enumerate}
\item Démontrer que les coordonnées de $M$ sont $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}~; ~\dfrac{1}{3}\right)$.
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que le vecteur $\vect{n}(-1;1;1)$ est normal au plan $(EGD)$.
\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(EGD)$ est : $- x + y + z - 1 = 0$.
\item Soit $\mathcal{D}$ la droite orthogonale au plan $(EGD)$ et passant par le point $M$.
Montrer qu'une représentation paramétrique de cette droite est : \[ \mathcal{D} \: : \: \begin{dcases} x=\dfrac{2}{3} - t \\ y=\dfrac{1}{3} + t \\ z = \dfrac{1}{3} + t \end{dcases},\:t\in\R. \]
\end{enumerate}
\item Le cube $ABCDEFGH$ est représenté ci-dessus selon une vue qui permet de mieux percevoir la pyramide $GEDM$, en gris sur la figure :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line join=bevel]
%axes
\draw[line width=1.25pt,->] (0,0)--(-6,1) node[left] {$y$} ;
\draw[line width=1.25pt,->] (0,0)--(0,6) node[above] {$y$} ;
\draw[line width=1.25pt,->] (0,0)--(1.8,2) node[above right] {$x$} ;
%points
\tkzDefPoint(0,0){A}\tkzDefPoint(1.2,1.333){B}\tkzDefPoint(-4,0.667){D}\tkzDefPoint(-0.5,2.7){M}
\begin{scope}[shift=(D)]\tkzDefPoint(1.2,1.333){C}\end{scope}
\begin{scope}[shift=(A)]\tkzDefPoint(0,4){E}\end{scope}
\begin{scope}[shift=(D)]\tkzDefPoint(0,4){H}\end{scope}
\begin{scope}[shift=(C)]\tkzDefPoint(0,4){G}\end{scope}
\begin{scope}[shift=(B)]\tkzDefPoint(0,4){F}\end{scope}
%tracés
\tkzDrawPolygon[lightgray!75,fill=lightgray!75,line width=1pt](D,M,E)
\tkzDrawPolygon[lightgray,fill=lightgray,line width=1pt](D,G,E)
\tkzDrawSegments[black,line width=2pt,densely dashed](D,G G,M M,E D,M)
\tkzDrawSegments[gray,densely dashed,line width=1.75pt](D,C C,B C,G)
%points&labels&cube
\tkzDrawPoints[size=4](A,B,C,D,E,F,G,H,M)
\tkzDrawSegments[black,line width=2pt](D,E E,G)
\tkzDrawPolygon[gray,line width=1.75pt](A,D,H,E)
\tkzDrawPolygon[gray,line width=1.75pt](A,B,F,E)
\tkzDrawPolygon[gray,line width=1.75pt](E,F,G,H)
\tkzLabelPoints[left](H,G,C)
\tkzLabelPoints[right](E,F,B)
\tkzLabelPoints[below](M,D,A)
\end{tikzpicture}
\end{center}
Le but de cette question est de calculer le volume de la pyramide $GEDM$.
\begin{enumerate}
\item Soit K, le pied de la hauteur de la pyramide $GEDM$ issue du point $M$.
Démontrer que les coordonnées du point $K$ sont $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}\right)$.
\item En déduire le volume de la pyramide $GEDM$.
\emph{On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'une pyramide est donné par la formule }
\emph{$\mathcal{V} = \dfrac{b \times h}{3}$ où $b$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice [AU CHOIX] \dotfill{}(5 points)} %exo4
\medskip
\textit{Le candidat doit traiter \textbf{un seul des deux exercices} A ou B. \\ Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.\\ Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.}
\medskip
\section*{Exercice A \dotfill{}(5 points)} %exo4a
\medskip
\begin{tblr}{width=13cm,colspec={X[l]},vlines}
\hline
\textbf{Principaux domaines abordés :} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Fonction exponentielle, convexité, dérivation} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Équations différentielles} \\
\hline
\end{tblr}
\medskip
Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.
\medskip
On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormé, une portion de la courbe
représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1.25cm,y=1.25cm,xmin=-3,xmax=4,ymin=-1,ymax=4]
\GrilleTikz
\AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0,Labelx=$x$,PosLabelx=below,PosLabely=left,Labely=$y$]
\AxexTikz{-3,-2,-1,1,2,3} \AxeyTikz{-1,1,2,3}
\draw (-4pt,-4pt) node[below left] {$0$} ;
\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ;
\draw[red,line width=1.5pt,domain=-2.25:3.5,samples=250] plot (\x,{(\x+2)*exp(-\x)}) ;
\draw[blue,dotted,line width=1.5pt,domain=-1.5:2.5,samples=2] plot (\x,{-\x+2}) ;
\filldraw (0,2) circle[radius=2pt] node[above right] {$A$} (2,0) circle[radius=2pt] node[above right] {$B$} ;
\draw[red] (-2,2) node[above right,font=\Large] {$\mathcal{C}$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
On considère les points $A(0;2)$ et $B(2;0)$.
\begin{center}\textbf{Partie 1}\end{center}
Sachant que la courbe $\mathcal{C}$ passe par $A$ et que la droite $(AB)$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$, donner par lecture graphique :
\begin{enumerate}
\item La valeur de $f(0)$ et celle de $f'(0)$.
\item Un intervalle sur lequel la fonction $f$ semble convexe.
\end{enumerate}
\begin{center}\textbf{Partie 2}\end{center}
On note $(E)$ l'équation différentielle \[y' = -y + \text{e}^{-x}.\]
%
On admet que $g$ : $ x \mapsto x\e^{-x}$ est une solution particulière de $(E)$.
\begin{enumerate}
\item Donner toutes les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $(H)$ : $y' = -y$.
\item En déduire toutes les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $(E)$.
\item Sachant que la fonction $f$ est la solution particulière de $(E)$ qui vérifie $f(0) = 2$, déterminer une expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}
\begin{center}\textbf{Partie 3}\end{center}
On admet que pour tout nombre réel $x$, $f(x) = (x + 2)\e^{-x}$.
\begin{enumerate}
\item On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x \in \R$, $f'(x) = (-x - 1) \e^{-x}$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x \in \R$ et dresser le tableau des variations de $f$ sur $\R$.
On ne précisera ni la limite de $f$ en $- \infty$ ni la limite de $f$ en $+ \infty$.
On calculera la valeur exacte de l'extremum de $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}
\item On rappelle que $f''$ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Calculer pour tout $x \in \R$, $f''(x)$.
\item Peut-on affirmer que $f$ est convexe sur l'intervalle $[0;+\infty[$?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice B \dotfill{}(5 points)} %exo4b
\medskip
\begin{tblr}{width=13cm,colspec={X[l]},vlines}
\hline
\textbf{Principaux domaines abordés :} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Fonction logarithme népérien} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Dérivation} \\
\hline
\end{tblr}
\medskip
Cet exercice est composé de deux parties.
\medskip
Certains résultats de la première partie seront utilisés dans la deuxième.
\begin{center}\textbf{Partie 1 : Étude d'une fonction auxiliaire}\end{center}
Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1;4]$ par : \[f(x) = - 30x + 50 + 35\ln (x).\]
\begin{enumerate}
\item On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[1;4]$, montrer que : \[f'(x) = \dfrac{35- 30x}{x}.\]
\item Dresser le tableau de signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[1;4]$.
\item En déduire les variations de $f$ sur ce même intervalle.
\end{enumerate}
\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle $[1;4]$ puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
\item Dresser le tableau de signe de $f(x)$ pour $x \in [1;4]$.
\end{enumerate}
\begin{center}\textbf{Partie 2 : Optimisation}\end{center}
Une entreprise vend du jus de fruits. Pour $x$ milliers de litres vendus, avec $x$ nombre réel de l'intervalle $[1;4]$, l'analyse des ventes conduit à modéliser le bénéfice $B(x)$ par l'expression donnée en milliers d'euros par : \[B(x) = - 15x^2 + 15x +35x \ln (x).\]
\begin{enumerate}
\item D'après le modèle, calculer le bénéfice réalisé par l'entreprise lorsqu'elle vend \num{2500}~litres de jus de fruits.
On donnera une valeur approchée à l'euro près de ce bénéfice.
\item Pour tout $x$ de l'intervalle $[1;4]$, montrer que $B'(x) = f(x)$ où $B'$ désigne la fonction dérivée de $B$.
\item
\begin{enumerate}
\item À l'aide des résultats de la \textbf{partie 1}, donner les variations de la fonction $B$ sur l'intervalle $[1;4]$.
\item En déduire la quantité de jus de fruits, au litre près, que l'entreprise doit vendre afin de réaliser un bénéfice maximal.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}