% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex
\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
\usepackage[margin=2cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage{ProfLycee}
\RequirePackage[upright]{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb,amstext}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand\ttdefault{lmtt}
\usepackage{decimalcomma}
\usepackage{esvect}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{logoetalab}
\newcommand{\session}{2021}
\newcommand{\annee}{2021}
\newcommand{\serie}{Ge.}
\newcommand{\lieu}{Asie}
\newcommand{\jour}{7}
\newcommand{\mois}{Juin}
\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC \serie{} \annee{}] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\title{\nomfichier}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{ibrackets}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{bm}
\usepackage{tkz-euclide}
\usepackage{babel}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \lieu{} - Sujet \numsujet}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily 21-MATJ1JA1}
\rfoot{\scriptsize\sffamily - \thepage{}/{}\pageref{LastPage} -}
\setlength{\parindent}{0pt}
%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)}
\newcommand\intervOO[2]{\left]#1;#2\right[}
\newcommand\intervFF[2]{\left[#1;#2\right]}
\newcommand\intervOF[2]{\left]#1;#2\right]}
\newcommand\intervFO[2]{\left[#1;#2\right[}
\newcommand\R{\mathbb{R}}
\newcommand\N{\mathbb{N}}
\newcommand\e{\text{e}}
\newcommand\pta[1]{(#1)}
\newcommand\suiten[1][]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\usepackage{forest}
\forestset{
fleche/.style = {edge={thick}},
aproba/.style = {edge label = {node[above=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
bproba/.style = {edge label = {node[below=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids en-dessous
}
\newcommand\qcmdeux[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
(c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
}
\newcommand\qcm[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 & (c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
}
\usetikzlibrary{hobby}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\hrulefill~\textsf{Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous
et un seul des deux exercices A ou B.}~\hrulefill
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1 [COMMUN] \dotfill{}(5 points)} %exo1c
\medskip
En 2020, une influenceuse sur les réseaux sociaux compte \num{1000}~abonnés à son profil. On modélise le nombre d'abonnés ainsi: chaque année, elle perd 10\,\%de ses abonnés auxquels s'ajoutent $250$ nouveaux abonnés.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'abonnés à son profil en l'année $(2020 + n)$, suivant cette modélisation. Ainsi $u_0 = \num{1000}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\item Justifier que pour tout entier naturel $n,$, $u_{n+1} = 0,9u_n + 250$.
\item La fonction \textsf{Python} nommée \og suite \fg{} est définie ci-dessous. Dans le contexte de l'exercice, interpréter la valeur renvoyée par \texttt{suite(10)}.
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center}
def suite(n) :
u = 1000
for i in range(n) :
u = 0,9*u + 250
return u
\end{CodePythonLstAlt}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant \num{2500}$.
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
\item Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\end{enumerate}
\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v_n = u_n - \num{2500}$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$ et de terme initial $v_0 = \num{- 1500}$.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que : \[u_n = - \num{1500} \times 0,9^n + \num{2500}.\]
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\item Écrire un programme qui permet de déterminer en quelle année le nombre d'abonnés dépassera \num{2200}.
Déterminer cette année.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice 2 [COMMUN] \dotfill{}(5 points)} %exo2c
\medskip
On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête 8~cm et de centre $\Omega$.
\smallskip
Les points $P$, $Q$ et $R$ sont définis par $\vect{{AP}} = \dfrac{3}{4}\vect{{AB}}$ ; $\vect{{AQ}} = \dfrac{3}{4}\vect{{AE}}$ et $\vect{{FR}} = \dfrac{1}{4}\vect{{FG}}$.
\smallskip
On se place dans le repère orthonormé $\left({A};\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)$ avec : $\vect{\imath} = \dfrac{1}{8}\vect{{AB}}$ ; $\vect{\jmath}= \dfrac{1}{8}\vect{{AD}}$ et $\vect{k} = \dfrac{1}{8}\vect{{AE}}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.85cm,y=0.85cm,line width=1pt,line join=bevel,>=latex]
%arêtes
\draw (0,1.7)--(6.5,0)--(6.5,7.2)--(0,8.9)--cycle ; %BCGF
\draw (6.5,0)--(10,2.6)--(10,9.8)--(6.5,7.2)--cycle ; %CDHG
\draw (10,9.8)--(3.5,11.5)--(0,8.9) ; %HEF
\draw[dashed] (0,1.7)--(3.5,4.3)--(3.5,11.5) ; %BAE
\draw[dashed] (3.5,4.3)--(10,2.6) ; %AD
\draw[dashed] (3.5,4.3)--(6.5,7.2) ; %AG
\draw[dashed] (3.5,11.5)--(6.5,0) ; %EC
%vecteurs
\draw[->,line width=1.25pt] (3.5,4.3)--(3.0625,3.975) ;
\draw[->,line width=1.25pt] (3.5,4.3)--(4.3125,4.0875) ;
\draw[->,line width=1.25pt] (3.5,4.3)--(3.5,5.2) ;
%labels simples
\foreach \Point/\Nom/\Pos in {(0,1.7)/B/below,(6.5,0)/C/below,(6.5,7.2)/G/above,(0,8.9)/F/above,(10,2.6)/D/right,(10,9.8)/H/above,(3.5,11.5)/E/above,(3.5,4.3)/A/below}
\draw \Point node[\Pos] {\Nom} ;
%labels "dot"
\foreach \Point/\Nom/\Pos in {(5,5.73)/$\Omega$/right,(0.88,2.35)/P/above,(3.5,9.7)/Q/left,(1.625,8.475)/R/above}
\filldraw \Point circle[radius=2pt] node[\Pos] {\Nom} ;
%labels vecteurs
\foreach \Vecteur/\Nom/\Pos in {(3.0625,3.975)/$\vect{\imath}$/above,(4.3125,4.0875)/$\vect{\jmath}$/above,(3.5,5.2)/$\vect{k}$/left}
\draw \Vecteur node[\Pos] {\Nom} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\textbf{Partie I}
\begin{enumerate}
\item Dans ce repère, on admet que les coordonnées du point $R$ sont $(8;2;8)$.
Donner les coordonnées des points $P$ et $Q$.
\item Montrer que le vecteur $\vect{n}(1;-5;1)$ est un vecteur normal au plan $(PQR)$.
\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est $x - 5y + z - 6 = 0$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie II}
\medskip
On note $L$ le projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan $(PQR)$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que les coordonnées du point $\Omega$ sont $(4;4;4)$.
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ perpendiculaire au plan $(PQR)$ et passant par $\Omega$.
\item Montrer que les coordonnées du point $L$ sont $\left(\dfrac{14}{3}; \dfrac{2}{3};\dfrac{14}{3}\right)$
\item Calculer la distance du point $\Omega$ au plan $(PQR)$.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice 3 [COMMUN] \dotfill{}(5 points)} %exo3c
\medskip
Un sac contient les huit lettres suivantes: A B C D E F G H (2 voyelles et 6 consonnes).
Un jeu consiste à tirer simultanément au hasard deux lettres dans ce sac.
On gagne si le tirage est constitué d'une voyelle \textbf{et} d'une consonne.
\begin{enumerate}
\item Un joueur extrait simultanément deux lettres du sac.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de tirages possibles.
\item Déterminer la probabilité que le joueur gagne à ce jeu.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Les questions 2. et 3. de cet exercice sont indépendantes.
Pour la suite de l'exercice, on admet que la probabilité que le joueur gagne est égale à $\dfrac{3}{7}$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Pour jouer, le joueur doit payer $k$ euros, $k$ désignant un entier naturel non nul.
Si le joueur gagne, il remporte la somme de $10$ euros, sinon il ne remporte rien.
On note $G$ la variable aléatoire égale au gain algébrique d'un joueur (c'est-à-dire la somme remportée à laquelle on soustrait la somme payée).
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $G$.
\item Quelle doit être la valeur maximale de la somme payée au départ pour que le jeu reste
favorable au joueur ?
\end{enumerate}
\item Dix joueurs font chacun une partie. Les lettres tirées sont remises dans le sac après chaque partie.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de joueurs gagnants.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
\item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'il y ait exactement quatre joueurs gagnants.
\item Calculer $P(X \geqslant 5)$ en arrondissant à $10^{-3}$. Donner une interprétation du résultat obtenu.
\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant 0,9$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice [AU CHOIX] \dotfill{}(5 points)} %exo4
\medskip
\textit{Le candidat doit traiter \textbf{un seul des deux exercices} A ou B. \\ Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.\\ Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.}
\medskip
\section*{Exercice A \dotfill{}(5 points)} %exo4a
\medskip
\begin{tblr}{width=13cm,colspec={X[l]},vlines}
\hline
\textbf{Principaux domaines abordés :} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Convexité} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Fonction ln} \\
\hline
\end{tblr}
\bigskip
\textbf{Partie I : lectures graphiques}
\medskip
$f$ désigne une fonction définie et dérivable sur $\R$.
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.9cm,y=3cm,xmin=-7,xmax=7,ymin=-0.8,ymax=1.2,xgrille=1,ygrille=0.2]
\GrilleTikz[Affs=false]
\AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0]
\AxexTikz[Police=\small]{-7,-6,...,6} \AxeyTikz[Police=\small]{1}
\draw[line width=1.25pt,red,domain=\xmin:\xmax,samples=2000] plot (\x,{(2*\x+1)/(\x*\x+\x+2.5)});
\draw (0,1) node[above,red] {Courbe de la fonction dérivée $f'$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\emph{Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction $f$ en $O$.
\item
\begin{enumerate}
\item Donner les variations de la fonction dérivée $f'$.
\item En déduire un intervalle sur lequel $f$ est convexe.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie II : étude de fonction}
\medskip
La fonction $f$ est définie sur $\R$ par \[f(x) = \ln \left(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\right).\]
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\item Déterminer une expression $f'(x)$ de la fonction dérivée de $f$ pour tout $x \in \R$.
\item En déduire le tableau des variations de $f$. On veillera à placer les limites dans ce tableau.
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que l'équation $f(x) = 2$ a une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2};+ \infty\right[$.
\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}
\item La fonction $f'$ est dérivable sur $\R$. On admet que, pour tout $x \in \R$, $f''(x) = \dfrac{-2x^2 - 2x + 4}{\left(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\right)^2}$.
Déterminer le nombre de points d'inflexion de la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice B \dotfill{}(5 points)} %exo4b
\medskip
\begin{tblr}{width=13cm,colspec={X[l]},vlines}
\hline
\textbf{Principaux domaines abordés :} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Étude de fonction, fonction exponentielle} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Équations différentielles} \\
\hline
\end{tblr}
\bigskip
\textbf{Partie I}
\medskip
Considérons l'équation différentielle \[y'= -0,4y + 0,4\] %
où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0; + \infty[$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer une solution particulière constante de cette équation différentielle.
\item En déduire l'ensemble des solutions de cette équation différentielle.
\item Déterminer la fonction $g$, solution de cette équation différentielle, qui vérifie $g(0) = 10$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie II}
\medskip
Soit $p$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0;+ \infty[$ par \[p(t) = \dfrac{1}{g(t)} = \dfrac{1}{1 + 9\e^{-0,4t}}.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $p$ en $+ \infty$.
\item Montrer que $p'(t) = \dfrac{3,6\e^{-0,4t}}{ \left(1 + 9\e^{-0,4t}\right)^2}$ pour tout $t \in [0;+ \infty[$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $p(t) = \dfrac{1}{2}$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;+ \infty[$.
\item Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près à l'aide d'une calculatrice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie III}
\begin{enumerate}
\item $p$ désigne la fonction de la partie II.
Vérifier que $p$ est solution de l'équation différentielle $y' = 0,4y(1 - y)$ avec la condition initiale \mbox{$y(0) = \dfrac{1}{10}$} où $y$ désigne une fonction définie et dérivable sur $[0; + \infty[$.
\item Dans un pays en voie de développement, en l'année 2020, 10\,\% des écoles ont accès à internet.
Une politique volontariste d'équipement est mise en œuvre et on s'intéresse à l'évolution de la proportion des écoles ayant accès à internet.
On note $t$ le temps écoulé, exprimé en année, depuis l'année 2020.
La proportion des écoles ayant accès à internet à l'instant $t$ est modélisée par $p(t)$.
Interpréter dans ce contexte la limite de la question \textbf{II.}1. puis la valeur approchée de $\alpha$ de la question \textbf{II.}3.\pta{b} ainsi que la valeur $p(0)$.
\end{enumerate}
\end{document}