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\usepackage{forest}
\forestset{
fleche/.style = {edge={thick}},
aproba/.style = {edge label = {node[above=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
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}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\hrulefill~\textsf{Le candidat traite trois des \textbf{4 exercices} proposés.}~\hrulefill
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1 [Thème : probabilités]\dotfill(7 points)}
\medskip
Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord.
Dans l’état d’Oklahoma, aux États-Unis, 70\,\% des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose.
Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que :
\begin{itemize}
\item si le coyote est malade, le test est positif dans 97\,\% des cas ;
\item si le coyote n’est pas malade, le test est négatif dans 95\,\% des cas.
\end{itemize}
%
\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}
%
Des vétérinaires capturent un coyote d’Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l’ehrlichiose.
On considère les événements suivants :
\begin{itemize}
\item M : « le coyote est malade » ;
\item T : « le test du coyote est positif ».
\end{itemize}
On note $\overline{M}$ et $\overline{T}$ respectivement les événements contraires de $M$ et $T$.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation.
\begin{center}
\begin{forest} for tree = {grow'=0,math content,l=3cm,s sep=0.75cm},
[,name=Omega
[M , fleche , aproba=\ldots , name=A11
[T , fleche , aproba=\ldots , name=A21]
[\overline{T} , fleche , bproba=\ldots , name=A22]
]
[\overline{M} , fleche , bproba=\ldots , name=A12
[T , fleche , aproba=\ldots , name=A23]
[\overline{T} , fleche , bproba=\ldots , name=A24]
]
]
\end{forest}
\end{center}
\item Déterminer la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif.
\item Démontrer que la probabilité de T est égale à 0,694.
\item On appelle « valeur prédictive positive du test » la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif.
Calculer la valeur prédictive positive du test. On arrondira le résultat au millième.
\item
\begin{enumerate}
\item Par analogie avec la question précédente, proposer une définition de la « valeur prédictive négative du test », et calculer cette valeur en arrondissant au millième.
\item Comparer les valeurs prédictives positive et négative du test, et interpréter.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%
\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}
%
On rappelle que la probabilité qu’un coyote capturé au hasard présente un test positif est de $0,694$.
\begin{enumerate}
\item Lorsqu'on capture au hasard cinq coyotes, on assimile ce choix à un tirage avec remise.
On note X la variable aléatoire qui à un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard associe le nombre de coyotes dans cet échantillon ayant un test positif.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Justifier et préciser ses paramètres.
\item Calculer la probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif. On arrondira le résultat au centième.
\item Un vétérinaire affirme qu’il y a plus d’une chance sur deux qu’au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif : cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\item Pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d’un coyote présentant un test positif. Combien doivent-ils capturer de coyotes pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux présente un test positif soit supérieure à 0,99 ?
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
\section*{Exercice 2 [Thèmes : fonctions numériques et suites]\dotfill(7 points)}
\medskip
\textit{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.\\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.\\
Les six questions sont indépendantes.}
\smallskip
Pour les questions \textbf{1} à \textbf{3} ci-dessous, on considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$.
La \textbf{courbe de sa fonction dérivée} $f'$ est donnée ci-dessous. On admet que $f'$ admet un maximum en $-\dfrac32$ et que sa courbe coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left( -\dfrac12;0 \right)$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1.1cm,y=1.1cm,xmin=-5.25,xmax=1.25,xgrille=1,xgrilles=0.25,ymin=-2.75,ymax=1.5,ygrille=1,ygrilles=0.25]
\GrilleTikz \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0] \AxexTikz{-5,-4,-3,-2,-1,1} \AxeyTikz{-2,-1,1}
\draw (0,0) node[below left=2pt] {0} ;
\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ;
\draw[red,very thick,samples=250,domain=\xmin:\xmax] plot (\x,{(-2*\x-1)*exp(\x)}) ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\textbf{Question 1 :}
%
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item La fonction $f$ admet un maximum en $-\dfrac32$.
\item La fonction $f$ admet un maximum en $-\dfrac12$.
\item La fonction $f$ admet un minimum en $-\dfrac12$.
\item Au point d’abscisse $-1$, la courbe de la fonction $f$ admet une tangente horizontale.
\end{enumerate}
\textbf{Question 2 :}
%
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item La fonction $f$ est convexe sur $\left] -\infty ; -\dfrac32 \right[$.
\item La fonction $f$ est convexe sur $\left] -\infty ; -\dfrac12 \right[$.
\item La courbe $\mathcal{C}_f$ représentant la fonction $f$ n’admet pas de point d’inflexion.
\item La fonction $f$ est concave sur $\left] -\infty ; -\dfrac12 \right[$.
\end{enumerate}
\textbf{Question 3 :}
\smallskip
La dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$ vérifie :
%
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item $f''(x) \geqslant 0$ pour $x \in \left] -\infty ; -\dfrac12 \right[$.
\item $f''(x) \geqslant 0$ pour $x \in [-2;-1]$.
\item $f''\left(\frac{-3}{2}\right)=0$.
\item $f''(-3)=0$.
\end{enumerate}
\textbf{Question 4 :} :
\smallskip
On considère trois suites $\suiten$, $\suiten[v]$ et $\suiten[w]$.
On sait que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$ et de plus : $\lim_{n \to +\infty} u_n=1$ et $\lim_{n \to +\infty} w_n=3$.
On peut alors affirmer que :
%
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item La suite $\suiten[v]$ converge.
\item Si la suite $\suiten$ est croissante alors la suite $\suiten[v]$ est minorée par $u_0$.
\item $1 \leqslant v_0 \leqslant 3$.
\item La suite $\suiten[v]$ diverge.
\end{enumerate}
\textbf{Question 5 :}
\smallskip
On considère une suite $\suiten$ telle que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{n}$.
On peut alors affirmer que :
%
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item La suite $\suiten$ diverge.
\item La suite $\suiten$ converge.
\item $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$.
\item $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1$.
\end{enumerate}
\textbf{Question 6 :}
\smallskip
On considère $\suiten$ une suite réelle telle que pour tout entier naturel $n$, on a : $n < u_n < n + 1$.
On peut affirmer que :
%
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Il existe un entier naturel $N$ tel que $u_N$ est un entier.
\item La suite $\suiten$ est croissante.
\item La suite $\suiten$ est convergente.
\item La suite $\suiten$ n'a pas de limite.
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 3 [Thème : géométrie dans l’espace]\dotfill(7 points)}
\medskip
\medskip
On considère un cube $ABCDEFGH$ et on appelle $K$ le milieu du segment $[BC]$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line join=bevel]
\PaveTikz[Aff=false,Cube,Largeur=4,Angle=58,Fuite=0.7]
\coordinate (K) at ($(B)!0.5!(C)$) ;
\draw[draw=none,fill=lightgray!50,opacity=0.66] (E)--(G)--(K)--cycle ;
\PaveTikz[Aff,Cube,Largeur=4,Epaisseur={thick},Angle=58,Fuite=0.7]
\draw (K) node[below right] {K} ;
\draw[thick] (K)--(F) (E)--(G) (G)--(K);
\draw[dashed,thick] (K)--(E) ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
On se place dans le repère $\left( A\,;\,\vect{AB}\,,\,\vect{AD}\,,\,\vect{AE}\right)$ et on considère le tétraèdre $EFGK$.
On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : \[\mathcal{V} = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h\] où $\mathcal{B}$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
\begin{enumerate}
\item Préciser les coordonnées des points $E$, $F$, $G$ et $K$.
\item Montrer que le vecteur $\vect{n} \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(EGK)$.
\item Démontrer que le plan $(EGK)$ admet pour équation cartésienne : $2x - 2y + z - 1 = 0$.
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan $(EGK)$ passant par $F$.
\item Montrer que le projeté orthogonal $L$ de $F$ sur le plan $(EGK)$ a pour coordonnées $\left( \frac59;\frac49;\frac79 \right)$.
\item Justifier que la longueur $LF$ est égale à $\dfrac23$.
\item Calculer l’aire du triangle $EFG$. En déduire que le volume du tétraèdre $EFGK$ est égal à $\dfrac16$.
\item Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $EGK$.
\item On considère les points $P$ milieu du segment $[EG]$, $M$ milieu du segment $[EK]$ et $N$ milieu du segment $[GK]$. Déterminer le volume du tétraèdre $FPMN$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 4 [Thèmes : fonctions numériques, fonction exponentielle]\dotfill(7 points)}
\begin{center}
\textbf{Partie A : études de deux fonctions}
\end{center}
On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par : \[ f(x)=0,06(-x^2+13,7x) \text{ et } g(x)=(-0,15x + 2,2)\e^{0,2x} - 2,2.\]
%
On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables et on note $f'$ et $g'$ leurs fonctions dérivées respectives.
\begin{enumerate}
\item On donne le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[]{$x$/1,$f(x)$/2}{$0$,${6,85}$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/$0$,+/$f({6,85})$,-/$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Justifier la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Justifier les variations de la fonction $f$.
\item Résoudre l’équation $f(x)=0$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $]0;+\infty[$ on a : $g'(x)=(-0,03x + 0,29)\e^{0,2x}$
\item Étudier les variations de la fonction $g$ et dresser son tableau de variations sur $]0;+\infty[$.
Préciser une valeur approchée à $10^{-2}$ près du maximum de $g$.
\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution non nulle et déterminer, à $10^{-2}$ près, une valeur approchée de cette solution.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{Partie B : trajectoires d’une balle de golf}
\end{center}
Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club » de golf.
On souhaite exploiter les fonctions $f$ et $g$ étudiées en \textbf{Partie A} pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d'une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat.
\smallskip
On admettra ici que $13,7$ est la valeur qui annule la fonction $f$ et une approximation de la valeur qui annule la fonction $g$.
On donne ci-dessous les représentations graphiques de $f$ et $g$ sur l’intervalle $[0;{13,7}]$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,xmin=-1,xmax=15,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-1,ymax=4,ygrille=1,ygrilles=0.5]
\GrilleTikz \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0] \AxexTikz{1} \AxeyTikz{1}
\draw (0,0) node[below left=2pt] {0} ;
\draw (13.7,0) node[below=2pt] {$13,7$} ;
\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ;
\draw[ultra thick,domain=0:13.7,samples=500] plot (\x,{0.06*(-\x*\x+13.7*\x)}) ;
\draw[very thick,darkgray,domain=0:13.7,samples=500] plot (\x,{(-0.15*\x+2.2)*exp(0.2*\x)-2.2}) ;
\draw (1.75,1.75) node[font=\Large] {$\mathcal{C}_f$} ;
\draw[darkgray] (12.9,2) node[font=\Large] {$\mathcal{C}_g$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
Pour $x$ représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe, (avec \mbox{$0 \leqslant x \leqslant 13,7$}), $f(x)$ (ou $g(x)$ selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards (1 yard correspond à environ 0,914 mètre).
On appelle « angle de décollage » de la balle, l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la courbe ($\mathcal{C}_f$ ou $\mathcal{C}_g$ selon le modèle) en son point d’abscisse 0. Une mesure de l’angle de décollage de la balle est un nombre réel $d$ tel que $\tan(d)$ est égal au coefficient directeur de cette tangente.
De même, on appelle « angle d’atterrissage » de la balle, l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente
à la courbe ($\mathcal{C}_f$ ou $\mathcal{C}_g$ selon le modèle) en son point d’abscisse $13,7$. Une mesure de l’angle d’atterrissage de la balle est un nombre réel $a$ tel que $\tan(a)$ est égal à l’opposé du coefficient directeur de cette tangente.
Tous les angles sont mesurés en degré.
\begin{center}
\begin{tblr}{hlines,vlines,width=0.97\linewidth,colspec={X[c,m]X[c,m]}}
Le schéma illustre les angles de décollage et d’atterrissage associés à la courbe $\mathcal{C}_f$. & Le schéma illustre les angles de décollage et d’atterrissage associés à la courbe $\mathcal{C}_g$. \\
{%
\begin{tikzpicture}[x=0.45cm,y=0.45cm,xmin=-1,xmax=15,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-1,ymax=4,ygrille=1,ygrilles=0.5]
\coordinate (A) at (0,0) ; \coordinate (B) at (1,0) ; \coordinate (C) at (1,0.822) ; \coordinate (D) at (12.7,0.822) ; \coordinate (E) at (13.7,0) ;
\GrilleTikz
\tkzMarkAngle[thick,mark=none,darkgray,size=1](B,A,C)
\tkzFillAngle[mark=none,fill=gray!50,opacity=50,size=1](B,A,C)
\tkzMarkAngle[thick,mark=none,darkgray,size=1](D,E,B)
\tkzFillAngle[mark=none,fill=gray!50,opacity=50,size=1](D,E,B)
\AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0]
%\axextikz{} \axeytikz{1}
\draw (0,0) node[above left=2pt] {0} ;
\draw (13.7,0) node[above right] {$13,7$} ;
\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ;
\draw[very thick,gray,domain=0:13.7,samples=500] plot (\x,{0.06*(-\x*\x+13.7*\x)}) ;
\draw[thick,domain=-1:5,samples=2] plot (\x,{0.822*\x}) ;
\draw[thick,domain=8:15,samples=2] plot (\x,{-0.822*(\x-13.7)}) ;
\draw ({0.5*39.42}:1.5) node[font=\scriptsize] {$d$} ;
\draw ($(E)+({180-0.5*39.42}:1.5)$) node[font=\scriptsize] {$a$} ;
\end{tikzpicture}%
}
&
{%
\begin{tikzpicture}[x=0.45cm,y=0.45cm,xmin=-1,xmax=15,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-1,ymax=4,ygrille=1,ygrilles=0.5]
\coordinate (A) at (0,0) ; \coordinate (B) at (1,0) ; \coordinate (C) at (1,0.29) ; \coordinate (D) at (12.7,1.87) ; \coordinate (E) at (13.7,0) ;
\GrilleTikz
\draw[thick,darkgray](B)--(C) ;
\tkzFillAngle[mark=none,fill=gray!50,opacity=50,size=1](B,A,C)
\tkzMarkAngle[thick,mark=none,darkgray,size=1](D,E,B)
\tkzFillAngle[mark=none,fill=gray!50,opacity=50,size=1](D,E,B)
\AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0]
%\axextikz{} \axeytikz{1}
\draw (0,0) node[above left=2pt] {0} ;
\draw (13.7,0) node[above right] {$13,7$} ;
\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ;
\draw[very thick,gray,domain=0:13.7,samples=500] plot (\x,{(-0.15*\x+2.2)*exp(0.2*\x)-2.2}) ;
\draw[thick,domain=-1:15,samples=2] plot (\x,{0.29*\x}) ;
\draw[thick,domain=10:15,samples=2] plot (\x,{-1.87*(\x-13.7)}) ;
\draw ({0.5*16.17}:2) node[font=\scriptsize] {$d$} ;
\draw ($(E)+({180-62*0.5}:1.5)$) node[font=\scriptsize] {$a$} ;
\end{tikzpicture}
} \\
\end{tblr}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item \textit{Première modélisation} : on rappelle qu’ici, l’unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $f(x)$ la hauteur correspondante de la balle.
Selon ce modèle :
\begin{enumerate}
\item Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
\item Vérifier que $f'(0) = 0,822$.
\item Donner une mesure en degré de l’angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
\item Quelle propriété graphique de la courbe $\mathcal{C}_f$ permet de justifier que les angles de décollage et d’atterrissage de la balle sont égaux ?
\end{enumerate}
\item \textit{Seconde modélisation} : on rappelle qu’ici, l’unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $g(x)$ la hauteur correspondante de la balle.
Selon ce modèle :
\begin{enumerate}
\item Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
\end{enumerate}
On précise que $g'(0) = 0,29$ et $g'(13,7) \approx -1,87$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Donner une mesure en degré de l’angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
\item Justifier que 62 est une valeur approchée, arrondie à l’unité près, d’une mesure en degré de l’angle d’atterrissage de la balle.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Tableau} : extrait d’une feuille de calcul donnant une mesure en degré d’un angle quand on connait sa tangente :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tabnumlinewidth{0.6cm}
\tableur*[5]{A/2.15cm,B/1.25cm,C/1.25cm,D/1.25cm,E/1.25cm,F/1.25cm,G/1.25cm,H/1.25cm,I/1.25cm,J/1.25cm,K/1.25cm,L/1.25cm,M/1.25cm}
%1ère salve
\celtxt*[align=center,width=1.7cm]{A}{1}{tan($\theta$)}
\foreach \COL/\i in {B/0.815,C/0.816,D/0.817,E/0.818,F/0.819,G/0.82,H/0.821,I/0.822,J/0.823,K/0.824,L/0.825,M/0.826} {\celtxt*[align=center,width=1.2cm]{\COL}{1}{$\num{\i}$}}
\celtxt*[align=center,width=2.05cm]{A}{2}{$\theta$ en degrés}
\foreach \COL/\i in {B/39.18,C/39.21,D/39.25,E/39.28,F/39.32,G/39.35,H/39.39,I/39.42,J/39.45,K/39.49,L/39.52,M/39.56} {\celtxt*[align=center,width=1.2cm]{\COL}{2}{$\num{\i}$}}
%2ème salve
\celtxt*[align=center,width=1.7cm]{A}{4}{tan($\theta$)}
\foreach \COL/\i in {B/0.285,C/0.286,D/0.287,E/0.288,F/0.289,G/0.29,H/0.291,I/0.292,J/0.293,K/0.294,L/0.295,M/0.296} {\celtxt*[align=center,width=1.2cm]{\COL}{4}{$\num{\i}$}}
\celtxt*[align=center,width=2.05cm]{A}{5}{$\theta$ en degrés}
\foreach \COL/\i in {B/15.91,C/15.96,D/16.01,E/16.07,F/16.12,G/16.17,H/16.23,I/16.28,J/16.33,K/16.38,L/16.44,M/16.49} {\celtxt*[align=center,width=1.2cm]{\COL}{5}{$\num{\i}$}}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\pagebreak
\begin{center}
\textbf{Partie C : interrogation des modèles}
\end{center}
À partir d’un grand nombre d’observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants :
\begin{center}
\begin{tblr}{hlines,vlines,width=0.95\linewidth,colspec={X[c]X[c]X[c]X[c]},cells={font=\sffamily}}
Angle de décollage en degré & Hauteur maximale en yard & Angle d’atterrissage en degré & Distance horizontale en yard au point de chute \\
\textbf{24} & \textbf{32} & \textbf{52} & \textbf{137}
\end{tblr}
\end{center}
Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel ? La réponse sera justifiée
\end{document}