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%divers
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\hrulefill~\textsf{Le candidat traite trois des \textbf{4 exercices} proposés.}~\hrulefill
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1 [Thèmes : fonctions, suites]\dotfill(7 points)} %exo1
\medskip
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : \[ g(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x +1}.\]
La courbe représentative de la fonction $ g$ admet pour asymptote en $+ \infty$ la droite d'équation :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[l,m]}}}
\pta{a}~~$x = 2$ ; & \pta{b}~~$y = 2$ ; & \pta{c}~~$y = 0$ ; & \pta{d}~~$x = - 1$\\
\end{tblr}
\item On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$. On appelle $\mathcal{C}$ sa représentation graphique.
On désigne par $f''$ la dérivée seconde de $f$.
On a représenté sur le graphique ci-dessous la courbe de $f''$, notée
$\mathcal{C}''$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.8cm,y=0.8cm,xmin=-7,xmax=3,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-6,ymax=4,ygrille=1,ygrilles=0.5]
\GrilleTikz \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0]
\AxexTikz[AffGrad=false]{-6,-5,...,2} \AxeyTikz[AffGrad=false]{-5,-4,...,3}
\draw (1,-4pt) node[below,font=\small] {1} ;
\draw (2,-4pt) node[below,font=\small] {2} ;
\draw (0,0) node[below left,font=\small] {0} ;
\draw (-1,-4pt) node[below,font=\small] {$-1$} ;
\draw (-4pt,1) node[left,font=\small] {1} ;
\draw (-5,0.25) node[above left,red,font=\large] {$\mathcal{C}''$} ;
\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ;
\draw[very thick,red,samples=250,domain=-7:2.25] plot (\x,{(\x+1)*(\x-2)*exp(\x)}) ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[l,m]}}}
\pta{a}~~$\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion ; & \pta{b}~~$f$ est convexe sur l'intervalle $[-1;2 ]$ ; \\
\pta{c}~~$f$ est convexe sur $]-\infty;-1$] et sur $[2;+ \infty[$ ; & \pta{d}~~$f$ est convexe sur $\R$ \\
\end{tblr}
\item On donne la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac12 u_n + 1$.
La suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 2$, est :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[l,m]}}}
\pta{a}~~arithmétique de raison $- 2$ ; & \pta{b}~~géométrique de raison $- 2$ ; \\
\pta{c}~~arithmétique de raison 1 ; & \pta{d}~~géométrique de raison $\dfrac12$. \\
\end{tblr}
\item On considère une suite $\left(u_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel, on a : \[1 + \left(\dfrac14\right)^n \leqslant u_n \leqslant 2 - \dfrac{n}{n+1}.\]
%
On peut affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[l,m]}}}
\pta{a}~~converge vers 2 ; & \pta{b}~~converge vers 1 ; \\
\pta{c}~~diverge vers $+ \infty$ ; & \pta{d}~~n'a pas de limite. \\
\end{tblr}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = x^2 \ln x$.
Une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ est définie par :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[l,m]}}}
\pta{a}~~$F(x) = \dfrac13 x^3 \left(\ln x - \dfrac13 \right)$ ; & \pta{b}~~$F(x) = \dfrac13 x^3 (\ln x - 1)$ ; \\
\pta{c}~~$F(x) = \dfrac13 x^2$ ; & \pta{d}~~$F(x) = \dfrac13 x^2 (\ln x - 1)$. \\
\end{tblr}
\item Pour tout réel $x$, l’expression $2 + \dfrac{3\text{e}^{-x} - 5}{\text{e}^{-x} + 1}$ est égale à :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[l,m]}}}
\pta{a}~~$\dfrac{5 - 3\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$ ; & \pta{b}~~$\dfrac{5 + 3\text{e}^x}{1 - \text{e}^x}$ ; \\
\pta{c}~~$\dfrac{5 + 3\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$ ; & \pta{d}~~$\dfrac{5 - 3\text{e}^x}{1 - \text{e}^x}$. \\
\end{tblr}
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 2 [Thèmes : probabilités]\dotfill(7 points)} %exo2
\medskip
Un hôtel situé à proximité d'un site touristique dédié à la préhistoire propose deux visites dans les environs, celle d'un musée et celle d'une grotte.
\medskip
Une étude a montré que 70\,\% des clients de l'hôtel visitent le musée. De plus, parmi les clients visitant le musée, 60\,\% visitent la grotte.
Cette étude montre aussi que 6\,\% des clients de l'hôtel ne font aucune visite.
On interroge au hasard un client de l'hôtel et on note :
\begin{itemize}
\item $M$ l'évènement : \og le client visite le musée \fg{} ;
\item $G$ l'évènement : \og le client visite la grotte \fg.
\end{itemize}
On note $\overline{M}$ l'évènement contraire de $M$,\: $\overline{G}$ l'évènement contraire de $G$, et pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ la probabilité de $E$.
Ainsi, d'après l'énoncé, on a : $p\left(\overline{M} \cap \overline{G}\right) = 0,06$.
\begin{wrapstuff}[r,leftsep=1.5em,rightsep=1em]
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[]
\tikzstyle{etiquette}=[pos=0.55,sloped,fill=white]
\def\DistanceInterNiveaux{2.5}
\def\DistanceInterFeuilles{1}
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.15)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(2.3)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1.25)*\DistanceInterFeuilles}
\coordinate (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) ;
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$M$};
\node[noeud] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$G$};
\node[noeud] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{G}$};
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{M}$};
\node[noeud] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$G$};
\node[noeud] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{G}$};
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette,above] {$\ldots$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette,above] {$\ldots$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette,below] {$\ldots$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette,below] {$\ldots$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette,above] {$\ldots$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette,below] {$\ldots$};
\end{tikzpicture}
\end{wrapstuff}
%
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right) = 0,2$, où $p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right)$ désigne la probabilité que le client interrogé
ne visite pas la grotte sachant qu'il ne visite pas le musée.
\item L'arbre pondéré ci-contre modélise la situation. Recopier et compléter cet arbre en indiquant sur chaque branche la probabilité associée.
\item Quelle est la probabilité de l'évènement \og le client visite la grotte et ne visite pas le musée \fg{} ?
\item Montrer que $p(G) = 0,66$.
\end{enumerate}
\item Le responsable de l'hôtel affirme que parmi les clients qui visitent la grotte, plus de la moitié visitent également le musée. Cette affirmation est-elle exacte ?
\item Les tarifs pour les visites sont les suivants:
\begin{itemize}
\item visite du musée : 12 euros;
\item visite de la grotte : 5 euros.
\end{itemize}
On considère la variable aléatoire $T$ qui modélise la somme dépensée par un client de l'hôtel pour ces visites.
\begin{enumerate}
\item Donner la loi de probabilité de $T$. On présentera les résultats sous la forme d'un tableau.
\item Calculer l'espérance mathématique de $T$.
\item Pour des questions de rentabilité, le responsable de l'hôtel estime que le montant moyen des recettes des visites doit être supérieur à $700$~euros par jour.
Déterminer le nombre moyen de clients par journée permettant d'atteindre cet objectif.
\end{enumerate}
\item Pour augmenter les recettes, le responsable souhaite que l'espérance de la variable aléatoire modélisant la somme dépensée par un client de l'hôtel pour ces visites passe à 15 euros, sans modifier le prix de visite du musée qui demeure à $12$ euros.
Quel prix faut-il fixer pour la visite de la grotte afin d'atteindre cet objectif ? (On admettra que l'augmentation du prix d'entrée de la grotte ne modifie pas la fréquentation des deux sites).
\item On choisit au hasard $100$ clients de l'hôtel, en assimilant ce choix à un tirage avec remise.
Quelle est la probabilité qu'au moins les trois quarts de ces clients aient visité la grotte à l'occasion de leur séjour à l'hôtel ?
On donnera une valeur du résultat à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 3 [Thèmes : fonctions logarithmes et exponentielles, suites]\dotfill(7 points)} %exo3
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1;+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{\ln x}{x},\] où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
%
\begin{enumerate}
\item Donner la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[1;+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x \geqslant 1$, $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.
\item Justifier le tableau de signes suivant, donnant le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/0.8,$f'(x)$/0.8}{$1$,$\e$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item Soit $k$ un nombre réel positif ou nul.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, si $0 \leqslant k \leqslant \dfrac{1}{\text{e}}$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution sur l'intervalle $[1;\text{e}]$.
\item Si $k > \dfrac{1}{\text{e}}$, l'équation $f(x) = k$ admet-elle des solutions sur l'intervalle $[1;+\infty[$ ?
Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\medskip
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : \[g(x) = \text{e}^{\frac{x}{4}}.\]
%
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ :
\hfill$u_{n+1} = \text{e}^{\frac{u_n}{4}}$ c'est-à-dire : $u_{n+1} = g\left(u_n\right)$.\hfill~
%
\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $g$ est croissante sur $\R$.
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \text{e}$.
\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\end{enumerate}
On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et on admet que $f$ est solution de l'équation : \[\text{e}^{\frac{x}{4}} = x.\]
%
\begin{enumerate}[resume]
\item En déduire que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = \dfrac14$, où $f$ est la fonction étudiée dans
la \textbf{partie A}.
\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 4 [Thèmes : géométrie dans l'espace]\dotfill(7 points)} %exo4
\medskip
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\Rijk$, on considère les points \[A(-1;-1;3),\qquad B(1;1;2),\qquad C(1;-1;7).\]
%
On considère également la droite $\Delta$ passant par les points $D(-1;6;8)$ et $E(11;- 9;2)$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Vérifier que la droite $\Delta$ admet pour représentation paramétrique : \[ \begin{dcases} x=-1+4t \\ y = \phantom{-}6 - 5t \text{~~avec } t \in \R. \\ z = \phantom{-}8 - 2t \end{dcases}\]
\item Préciser une représentation paramétrique de la droite $\Delta'$ parallèle à $\Delta$ et passant par l'origine O du repère.
\item Le point F$(1,36;-1,7;-0,7)$ appartient-il à la droite $\Delta'$ ?
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que les points A, B et C définissent un plan.
\item Montrer que la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan (ABC).
\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est: $4x - Sy - 2z + 5 = 0$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que le point $G(7;-4;4)$ appartient à la droite $\Delta$.
\item Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(ABC)$.
\item En déduire que la distance du point $G$ au plan $(ABC)$ est égale à $3\sqrt 5$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
\item Calculer le volume $V$ du tétraèdre $ABCG$.
\emph{On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule $V = \dfrac13 \times B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondant à cette base.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}