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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\hrulefill~\textsf{Le candidat traite trois des \textbf{4 exercices} proposés.}~\hrulefill
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1 [Thème : Probabilités]\dotfill(7 points)} %exo1
\medskip
\textit{Les résultats seront arrondis si besoin à $10^{-4}$ près.}
\medskip
Une étude statistique réalisée dans une entreprise fournit les informations suivantes :
\begin{itemize}
\item 48\,\% des salariés sont des femmes. Parmi elles, $16,5$\,\% exercent une profession de cadre ;
\item 52\,\% des salariés sont des hommes. Parmi eux, $21,5$\,\% exercent une profession de cadre.
\end{itemize}
On choisit une personne au hasard parmi les salariés.
On considère les événements suivants :
\begin{itemize}
\item F : « la personne choisie est une femme »;
\item C : « la personne choisie exerce une profession de cadre ».
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\item Calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme qui exerce une profession de cadre.
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité que la personne choisie exerce une profession de cadre est égale à $0,191$.
\item Les événements F et C sont-ils indépendants ? Justifier.
\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité de $F$ sachant $C$, notée $P_C(F)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item On choisit au hasard un échantillon de 15 salariés. Le grand nombre de salariés dans l'entreprise permet d'assimiler ce choix à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de cadres au sein de l'échantillon de 15 salariés.
On rappelle que la probabilité qu'un salarié choisi au hasard soit un cadre est égale à $0,191$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que l'échantillon contienne au plus 1 cadre.
\item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$.
\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel.
On considère dans cette question un échantillon de $n$ salariés.
Quelle doit être la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu'il y ait au moins un cadre au sein de l'échantillon soit supérieure ou égale à $0,99$ ?
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 2 [Thème : Géométrie dans l'espace]\dotfill(7 points)} %exo2
\medskip
On considère le cube $ABCDEFGH$ de côté 1 représenté ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line join=bevel]
\PaveTikz[Cube,Largeur=6,Aff]
\end{tikzpicture}
\end{center}
On munit l'espace du repère orthonormé $\left( A;\vect{AB};\vect{AC};\vect{AE} \right)$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que les droites $(AH)$ et $(ED)$ sont perpendiculaires.
\item Justifier que la droite $(GH)$ est orthogonale au plan $(EDH)$.
\item En déduire que la droite $(ED)$ est orthogonale au plan $(AGH)$.
\end{enumerate}
\item Donner les coordonnées du vecteur $\vect{ED}$.
Déduire de la question 1.(c) qu'une équation cartésienne du plan $(AGH)$ est :\[y-z=0.\]
\item On désigne par $L$ le point de coordonnées $\left(-\frac23;1;0)\right)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EL)$.
\item Déterminer l'intersection de la droite $(EL)$ et du plan $(AGH)$.
\item Démontrer que le projeté orthogonal de $L$ sur le plan $(AGH)$ est le point $K$ de coordonnées \mbox{$\left(\frac23;\frac12;\frac12\right)$}.
\item Montrer que la distance du point $L$ au plan $(AGH)$ est égale à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
\item Déterminer le volume du tétraèdre $LAGH$.
On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule : \[ \mathcal{V}=\dfrac13 \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}. \]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 3 [Thèmes : Fonctions, suites]\dotfill(7 points)} %exo3
\medskip
\textit{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x^{1000}+x$.
On peut affirmer que :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]}}
(a)~~la fonction $g$ est concave sur $\R$.\\
(b)~~la fonction $g$ est convexe sur $\R$.\\
(c)~~la fonction $g$ possède exactement un point d'inflexion.\\
(d)~~la fonction $g$ possède exactement deux points d'inflexion.
\end{tblr}
%
\item On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f'$ sa fonction dérivée.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$.
On note $\Gamma$ la courbe représentative de $f'$.
On a tracé ci-dessous la courbe $\Gamma$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,xmin=-1.75,xmax=3.25,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-1.75,ymax=1.5,ygrille=1,ygrilles=0.5]
\GrilleTikz \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0]
\AxexTikz{-1,1,2,3} \AxeyTikz{-1,1}
\draw (0,0) node[below left=2pt] {0} ;
\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ;
\draw[very thick,blue,domain=\xmin:\xmax,samples=500] plot (\x,{(\x+1)*exp(-\x)}) ;
\draw[blue] (1.75,0.75) node[font=\large] {$\Gamma$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
On note $T$ la tangente à la \textbf{courbe} $\bm{\mathcal{C}}$ au point d'abscisse $0$.
On peut affirmer que la tangente $T$ est parallèle à la droite d'équation :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~$y=x$&(b)~~$y=0$\\
(c)~~$y=1$&(d)~~$x=0$
\end{tblr}
%
\item On considère la suite $\suiten$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}$.
On peut affirmer que la suite $\suiten$ est :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~majorée et non minorée.&(b)~~minorée et non majorée.\\
(c)~~bornée.&(d)~~non majorée et non minorée.
\end{tblr}
%
\item Soit $k$ un nombre réel non nul.
Soit $\suiten[v]$ une suite définie pour tout entier naturel $n$.
On suppose que $v_0=k$ et que pour tout $n$, on a $v_n \times v_{n+1} < 0$.
On peut affirmer que $v_{10}$ est :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~positif.&(b)~~négatif.\\
(c)~~du signe de $k$.&(d)~~du signe de $-k$.
\end{tblr}
%
\item On considère la suite $\suiten[w]$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ w_{n+1}=2w_n-4 \text{ et } w_2=8. \]%
On peut affirmer que :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~$w_0=0$.&(b)~~$w_0=5$.\\
(c)~~$w_0=10$.&(d)~~Il n'est pas possible de calculer $w_0$.
\end{tblr}
%
\item On considère la suite $\suiten[a]$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ a_{n+1}=\dfrac{\e^n}{\e^n+1}a_n \text{ et } a_0=1. \]%
On peut affirmer que :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~la suite $\suiten[a]$ est strictement croissante.&(b)~~la suite $\suiten[a]$ est strictement décroissante.\\
(c)~~la suite $\suiten[a]$ n'est pas monotone.&(d)~~la suite $\suiten[a]$ est constante.
\end{tblr}
%
\item Une cellule se reproduit en se divisant en deux cellules identiques, qui se divisent à leur tour, et ainsi de suite. On appelle temps de génération le temps nécessaire pour qu'une cellule donnée se divise en deux cellules. On a mis en culture 1 cellule. Au bout de 4 heures, il y a environ 4\,000 cellules.
On peut affirmer que le temps de génération est environ égal à :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~moins d'une minute.&(b)~~12 minutes.\\
(c)~~20 minutes.&(d)~~1 heure.
\end{tblr}
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 4 [Thèmes : Fonctions exponentielle et logarithme, suites]\dotfill(7 points)} %exo4
\textbf{\large Partie A}
\medskip
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de $\intervOF{0}{1}$ par : \[ f(x)=\e^{-x} + \ln(x). \]
%
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $0$.
\item On admet que $f$ est dérivable sur $\intervOF{0}{1}$. On note $f'$ sa fonction dérivée.
Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $\intervOF{0}{1}$, on a : \[ f'(x)=\dfrac{1-x\,\e^{-x}}{x}. \]
\item Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $\intervOF{0}{1}$, on a $x\,\e^{-x}<1$.
En déduire le tableau de variation de $f$ sur $\intervOF{0}{1}$.
\item Démontrer qu'il existe un unique réel $\ell$ appartenant à $\intervOF{0}{1}$ tel que $f\big(\ell\big) = \ell$.
\end{enumerate}
\textbf{\large Partie B}
%
\begin{enumerate}
\item On définit deux suites $\suiten[a]$ et $\suiten[b]$ par : \[ \begin{dcases} a_0=\tfrac{1}{10} \\ b_0 = 1 \end{dcases} \text{ et, pour tout entier naturel }n \text{, } \begin{dcases} a_{n+1}=\e^{-b_n} \\ b_{n+1}=\e^{-a_n} \end{dcases}. \]
\begin{enumerate}
\item Calculer $a_1$ et $b_1$. On donnera des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.
\item On considère ci-dessous la fonction \texttt{termes}, écrite en langage \textsf{Python}.
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center}
def termes(n) :
a = 1/10
b = 1
for k in range(0, n) :
c = ...
b = ...
a = c
return(a,b)
\end{CodePythonLstAlt}
\end{enumerate}
\item Recopier et compléter sans justifier le cadre ci-dessus de telle sorte que la fonction \texttt{termes} calcule les termes des suites $\suiten[a]$ et $\suiten[b]$.
\item On rappelle que la fonction $x \mapsto e^{-x}$ est décroissante sur $\R$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[ 0 < a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n \leqslant 1. \]%
\item En déduire que les suites $\suiten[a]$ et $\suiten[b]$ sont convergentes.
\end{enumerate}
\item On note $A$ la limite de $\suiten[a]$ et $B$ la limite de $\suiten[b]$.
On admet que A et B appartiennent à l'intervalle $\intervOF{0}{1}$,et que $A=\e^{-B}$ et $B=\e^{-A}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f(A) =0$.
\item Déterminer $A - B$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}