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%divers
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\hrulefill~\textsf{Le candidat traite trois des \textbf{4 exercices} proposés.}~\hrulefill
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1 [Thèmes : fonctions, suites]\dotfill(7 points)} %exo1
\medskip
Cette exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie est dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par $g(x) = \ln \left(x^2 + x + 1\right)$.
Pour tout nombre réel $x$ strictement positif :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~$g'(x) = \dfrac{1}{2x + 1}$&(b)~~$g'(x) = \dfrac{1}{x^2 + x + 1}$\\
(c)~~$g'(x) = \ln (2x + 1)$&(d)~~$g'(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$
\end{tblr}
\item La fonction $x \mapsto \ln (x)$ admet pour primitive sur $\intervOO{0}{+\infty}$ la fonction :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]X[l]X[l]}}
(a)~~$x \mapsto \ln (x)$&(b)~~$x \mapsto \dfrac{1}{x}$&(c)~~$x \mapsto x \ln (x) - x$&(d)~~$x \mapsto \dfrac{\ln (x)}{x}$
\end{tblr}
\item On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie pour tout $n$ dans $\N$ par $a_n = \dfrac{1 - 3^n}{1 + 2^n}$.
La limite de la suite $\left(a_n\right)$ est égale à :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]X[l]X[l]}}
(a)~~$- \infty$&(b)~~$-1$&(c)~~$1$&(d)~~$+\infty$
\end{tblr}
\item On considère une fonction $f$ définie est dérivable sur $\intervFF{-2}{2}$. Le tableau de variations de la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2~;~2]$ est donné par :
%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,$f$/2}{$-2$,$-1$,$0$,$2$}
\tkzTabVar{+/$1$,R/,-/$-2$,+/$-1$}
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
%
La fonction $f$ est :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~ convexe sur $\intervFF{-2}{-1}$ &(b)~~ concave sur $\intervFF{0}{1}$\\
(c)~~ convexe sur$\intervFF{-1}{2}$&(d)~~concave sur $\intervFF{-2}{0}$
\end{tblr}
\pagebreak
\item On donne ci-dessus la courbe représentative de la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervFF{-2}{4}$.
%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,xmin=-2,xmax=4,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-3,ymax=3,ygrille=1,ygrilles=0.5]
\GrilleTikz \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0]
\AxexTikz[Police=\small]{-2,-1,...,3} \AxeyTikz[Police=\small]{-3,-2,...,2}
\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ;
\draw[samples=250,domain=\xmin:\xmax,very thick,blue] plot (\x,{0.5*\x*\x*\x - 1.5*\x*\x + 1}) ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
%
Par lecture graphique de la courbe de $f'$, déterminer l'affirmation correcte pour $f$ :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~$f$ est décroissante sur $\intervFF{0}{2}$&(b)~~$f$ est décroissante sur $\intervFF{-1}{0}$\\
(c)~~$f$ admet un maximum en 1 sur $\intervFF{0}{2}$&(d)~~$f$ admet un maximum en 3 sur $\intervFF{2}{4}$
\end{tblr}
\item Une action est cotée à 57\,€. Sa valeur augmente de 3\,\% tous les mois.
La fonction \textsf{Python} \texttt{seuil()} qui renvoie le nombre de mois à attendre pour que sa valeur dépasse 200\,€ est :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~&(b)~~
\end{tblr}
\begin{minipage}{0.49\linewidth}
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=0.95\linewidth]{}
def seuil() :
m = 0
v = 57
while v < 200 :
m = m+1
v = v*1.03
return m
\end{CodePythonLstAlt}
\end{minipage}\hfill~
\begin{minipage}{0.49\linewidth}
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=0.95\linewidth]{}
def seuil() :
m = 0
v = 57
while v > 200 :
m = m+1
v = v*1.03
return m
\end{CodePythonLstAlt}
\end{minipage}
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(c)~~&(d)~~
\end{tblr}
\begin{minipage}{0.49\linewidth}
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=0.95\linewidth]{}
def seuil() :
v = 57
for i in range(200):
v = v*1.03
return v
\end{CodePythonLstAlt}
\end{minipage}\hfill~
\begin{minipage}{0.49\linewidth}
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=0.95\linewidth]{}
def seuil() :
m = 0
v = 57
if v < 200 :
m = m+1
else :
v = v*1.03
return m
\end{CodePythonLstAlt}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 2 [Thèmes : probabilités]\dotfill(7 points)} %exo2
\medskip
Selon les autorités sanitaires d'un pays, 7\,\% des habitants sont affectés par une certaine maladie.
Dans ce pays, un test est mis au point pour détecter cette maladie. Ce test a les caractéristiques suivantes :
%
\begin{itemize}
\item pour les individus malades, le test donne un résultat négatif dans $20 \,\%$ des cas ;
\item pour les individus sains, le test donne un résultat positif dans $1\,\%$ des cas.
\end{itemize}
%
Une personne est choisie au hasard dans la population et testée.
On considère les évènements suivants :
%
\begin{itemize}
\item $M$ \og la personne est malade \fg{} ;
\item $T$ \og le test est positif \fg{}.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement $M \cap T$. On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.
\item Démontrer que la probabilité que le test de la personne choisie au hasard soit positif, et de \num{0,0653}.
\item Dans un contexte de dépistage de la maladie, est-il plus pertinent de connaître $P_M(T)$ ou $P_T(M)$ ?
\item On considère dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif.
Quelle est la probabilité qu'elle soit malade ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
\item On choisit des personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d'assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'individus ayant un test positif parmi les 10 personnes.
\begin{enumerate}
\item Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
\item Déterminer la probabilité pour qu'exactement deux personnes aient un test positif. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\item Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu'au moins l'une d'entre elle ait un test positif, soit supérieur à $99\,\%$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 3 [Thèmes : suites]\dotfill(7 points)} %exo3
\medskip
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer les termes $u_1$, $u_2$ et $u_3$. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
\item Recopier le script \textsf{Python} ci-dessous et compléter les lignes 3 et 6 pour que \texttt{liste(k)} prenne un paramètre un entier naturel \texttt{k} et renvoie la liste des premières valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ de $u_0$ ou à $u_k$.
\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=8cm]{center}
def liste(k):
L = []
u = ...
for i in range(0, k+1) :
L.append(u)
u = ...
return(L)
\end{CodePythonLstAlt}
\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est strictement positif.
Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
\item Déterminer la valeur de sa limite.
\item
\begin{enumerate}
\item Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Démontrer par récurrence la conjecture précédente.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 4 [Thèmes : géométrie dans le plan et dans l'espace]\dotfill(7 points)} %exo4
\medskip
L'espace est rapporté un repère orthonormal où l'on considère :
%
\begin{itemize}
\item les points $A(2;-1;0)$, $B(1;0;-3)$, $C(6;6;1)$ et $E(1;2;4)$ ;
\item le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - y - z + 4 = 0$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
\item Calculer le produit scalaire $\vect{BA} \cdot \vect{BC}$ puis les longueurs $BA$ et $BC$.
\item En déduire la mesure en degrés de l'angle $\widehat{ABC}$ arrondie au degré.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est parallèle au plan $(ABC)$.
\item En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan $(ABC)$ et passant par le point $E$.
\item Démontrer que le projeté orthogonal $H$ du point $E$ sur le plan $(ABC)$ à à pour coordonnées $\left(4~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)$.
\end{enumerate}
\item On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\mathcal{V} = \dfrac13 \mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur de la pyramide associée à cette base.
Calculer l'aire du triangle $ABC$ puis démontrer que le volume de la pyramide à $ABCE$ est égal à $16,5$ unités de volume.
\end{enumerate}
\end{document}