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\forestset{
fleche/.style = {edge={thick}},
aproba/.style = {edge label = {node[above=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
bproba/.style = {edge label = {node[below=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids en-dessous
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\hrulefill~\textsf{Le candidat traite trois des \textbf{4 exercices} proposés.}~\hrulefill
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1 [Thème : Probabilités, indépendance]\dotfill(7 points)}
\medskip
Lors d'une kermesse, un organisateur de jeux dispose, d'une part, d'une roue comportant quatre cases blanches et huit cases rouges et, d'autre part, d'un sac contenant cinq jetons portant les numéros 1, 2, 3, 4 et 5.
Le jeu consiste à faire tourner la roue, chaque case ayant la même probabilité d'être obtenue, puis à extraire un ou deux jetons du sac selon la règle suivante :
\begin{itemize}
\item si la case obtenue par la roue est blanche, alors le joueur extrait un jeton du sac ;
\item si la case obtenue par la roue est rouge, alors le joueur extrait successivement et sans remise deux jetons du sac.
\end{itemize}
Le joueur gagne si le ou les jetons tirés portent tous un numéro impair.
\begin{enumerate}
\item Un joueur fait une partie et on note $B$ l'évènement \og la case obtenue est blanche \fg,
$R$ l'évènement \og la case obtenue est rouge\fg{} et $G$ l'évènement \og le joueur gagne la partie \fg.
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de la probabilité conditionnelle $P_B(G)$.
\item On admettra que la probabilité de tirer, successivement et sans remise, deux jetons avec des numéros impairs est égale à $0,3$.
Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant:
\begin{center}
\begin{forest}
for tree = {grow'=0,math content,l=3cm,s sep=0.5cm},
fleche/.style = {edge={thick}},
[,
[B , fleche
[G , fleche]
[\overline{G} , fleche]
]
[R , fleche
[G , fleche]
[\overline{G} , fleche]
]
]
\end{forest}
\end{center}
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que $P(G) = 0,4$.
\item Un joueur gagne la partie.
Quelle est la probabilité qu'il ait obtenu une case blanche en lançant la roue?
\end{enumerate}
\item Les évènements $B$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.
\item Un même joueur fait dix parties. Les jetons tirés sont remis dans le sac après chaque partie.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
\item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, que le joueur gagne exactement trois parties sur les dix parties jouées.
\item Calculer $P (X \geqslant 4)$ arrondie à $10^{-3}$ près.
Donner une interprétation du résultat obtenu.
\end{enumerate}
\item Un joueur fait $n$ parties et on note $p_n$ la probabilité de l'évènement \og le joueur gagne au moins une partie \fg.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $p_n = 1 - 0,6^n$.
\item Déterminer la plus petite valeur de l'entier $n$ pour laquelle la probabilité de gagner au moins une partie est supérieure ou égale à $0,99$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 2 [Thème : Suites numériques]\dotfill(7 points)}
\medskip
Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.
\bigskip
\textbf{Partie A : modèle discret de la quantité médicamenteuse}
\medskip
Après une première injection de 1 mg de médicament, le patient est placé sous perfusion.
On estime que, toutes les $30$~minutes, l'organisme du patient élimine 10\,\% de la quantité de médicament présente dans le sang et qu'il reçoit une dose supplémentaire de $0,25$ mg de la substance médicamenteuse.
On étudie l'évolution de la quantité de médicament dans le sang avec le modèle suivant :
pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité, en mg, de médicament dans le sang du patient au bout de $n$ périodes de trente minutes. On a donc $u_0 = 1$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la quantité de médicament dans le sang au bout d'une demi-heure.
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,9u_n + 0,25$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant u_{n+1} < 5$.
\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\end{enumerate}
\item On estime que le médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à $1,8$ mg.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le script écrit en langage \textsf{Python} suivant de manière à déterminer au bout de combien de périodes de trente minutes le médicament commence à être réellement efficace.
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center}
def efficace() :
u = 1
n = 0
while ...... :
u = ......
n = n+1
return n
\end{CodePythonLstAlt}
\item Quelle est la valeur renvoyée par ce script ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2,5 - u_n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2,5 - 1,5 \times 0,9^n$.
\item Le médicament devient toxique lorsque sa quantité présente dans le sang du patient dépasse $3$ mg.
D'après le modèle choisi, le traitement présente-t-il un risque pour le patient? Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : modèle continu de la quantité médicamenteuse}
\medskip
Après une injection initiale de $1$~mg de médicament, le patient est placé sous perfusion.
Le débit de la substance médicamenteuse administrée au patient est de $0,5$ mg par heure.
La quantité de médicament dans le sang du patient, en fonction du temps, est modélisée
par la fonction $f$, définie sur $[0;+\infty[$, par \[f(t) = 2,5 - 1,5\text{e}^{-0,2t},\]%
%
où $t$ désigne la durée de la perfusion exprimée en heure.
On rappelle que ce médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à $1,8$~mg.
\begin{enumerate}
\item Le médicament est-il réellement efficace au bout de 3~h 45~min ?
\item Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps le médicament devient réellement efficace.
\item Comparer le résultat obtenu avec celui obtenu à la question 4.(b) du modèle discret de la \textbf{Partie A}.
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\section*{Exercice 3 [Thème : Géométrie dans l'espace]\dotfill(7 points)}
\medskip
Le solide ABCDEFGH est un cube. On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A};\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)$ de l'espace dans lequel les coordonnées des points B, D et E sont : \[\text{B}(3;0;0)\text{, } \text{D} (0;3;0) \text{ et } E(0;0;3).\]
%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x={(-15:0.75cm)},y={(10:0.9cm)},z={(90:1cm)},line join=bevel]
\coordinate (A) at (0,0,0) ; \draw (A) node[below left] {$A$} ;
\coordinate (B) at (3,0,0) ; \draw (B) node[below] {$B$} ;
\coordinate (C) at (3,3,0) ; \draw (C) node[right] {$C$} ;
\coordinate (D) at (0,3,0) ; \draw (D) node[below] {$D$} ;
\coordinate (E) at (0,0,3) ; \draw (E) node[left] {$E$} ;
\coordinate (F) at (3,0,3) ; \draw (F) node[above] {$F$} ;
\coordinate (G) at (3,3,3) ; \draw (G) node[right] {$G$} ;
\coordinate (H) at (0,3,3) ; \draw (H) node[above] {$H$} ;
\draw[semithick,dashed] (A)--(D)--(H) (D)--(C) ;
\draw[semithick] (A)--(B)--(F)--(E)--cycle (B)--(C)--(G)--(F) (G)--(H)--(E) ;
\draw[thick,->,>=latex] (A)--++(1,0,0) node[midway,below] {$\vect{\imath}$} ;
\draw[thick,->,>=latex] (A)--++(0,1,0) node[midway,above] {$\vect{\jmath}$} ;
\draw[thick,->,>=latex] (A)--++(0,0,1) node[midway,left] {$\vect{k}$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
On considère les points $P(0;0;1)$, $Q(0;2;3)$ et $R(1;0;3)$.
\begin{enumerate}
\item Placer les points $P$, $Q$ et $R$ sur la figure en \textsf{ANNEXE} qui sera à rendre avec la copie.
\item Montrer que le triangle $PQR$ est isocèle en $R$.
\item Justifier que les points $P$, $Q$ et $R$ définissent un plan.
\item On s'intéresse à présent à la distance entre le point $E$ et le plan $(PQR)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que le vecteur $\vect{u}(2;1;- 1)$ est normal au plan $(PQR)$.
\item En déduire une équation cartésienne du plan $(PQR)$.
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $E$ et orthogonale au plan $(PQR)$.
\item Montrer que le point $L\left(\dfrac23;\dfrac13;\dfrac83\right)$ est le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(PQR)$.
\item Déterminer la distance entre le point $E$ et le plan $(PQR)$.
\end{enumerate}
\item En choisissant le triangle $EQR$ comme base, montrer que le volume du tétraèdre $EPQR$ est $\dfrac23$.
On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule : \[V = \dfrac13 \times \text{aire d'une base} \times \text{hauteur correspondante}.\]
\item Trouver, à l'aide des deux questions précédentes, l'aire du triangle $PQR$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 4 [Thème : Fonctions logarithmes]\dotfill(7 points)}
\medskip
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On considère les points $A(1;3)$ et $B(3;5)$.
On donne ci-dessous $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan, ainsi que la tangente $(AB)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.8cm,y=0.8cm,xmin=-7,xmax=8,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-2,ymax=6,ygrille=1,ygrilles=0.5]
\GrilleTikz \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0]
\AxexTikz[Police=\footnotesize]{-7,-6,...,7}
\AxeyTikz[Police=\footnotesize]{-2,-1,...,5}
\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ;
\draw[line width=1.25pt,red,domain=\xmin:\xmax,samples=250] plot (\x,{ln(\x*\x+1)+3-ln(2)}) ;
\draw[red] (-5.5,5.75) node[below,font=\large] {$\mathcal{C}_f$} ;
\draw[line width=1.25pt,domain=\xmin:\xmax,samples=2,dashed] plot (\x,{\x+2}) ;
\draw[fill=black] (1,3) circle[radius=1.75pt] node[below right] {$A$} (3,5) circle[radius=1.75pt] node[above left] {$B$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\emph{Les trois parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}
\bigskip
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.
\item La fonction $f$ est définie par l'expression $f(x) = \ln \left(ax^2 + 1\right) + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'expression de $f'(x)$.
\item Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ à l'aide des résultats précédents.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\medskip
On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par \[f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln (2).\]
%
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une fonction paire.
\item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\item Déterminer l'expression de $f'(x)$.
Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
Dresser le tableau des variations de $f$ en y faisant figurer la valeur exacte du minimum ainsi que les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item À l'aide du tableau des variations de $f$, donner les valeurs du réel $k$ pour lesquelles l'équation $f(x) = k$ admet deux solutions.
\item Résoudre l'équation $f(x) = 3 + \ln (2)$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie C}
\medskip
On rappelle que la fonction $f$ est définie sur $R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln (2)$.
\begin{enumerate}
\item Conjecturer, par lecture graphique, les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f''(x) = \dfrac{2\left(1 - x^2\right)}{\left(x^2 + 1\right)^2}$.
\item En déduire le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{ANNEXE à rendre avec la copie}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x={(-15:0.75cm)},y={(10:0.9cm)},z={(90:1cm)},line join=bevel,scale=1.5]
\coordinate (A) at (0,0,0) ; \draw (A) node[below left] {$A$} ;
\coordinate (B) at (3,0,0) ; \draw (B) node[below] {$B$} ;
\coordinate (C) at (3,3,0) ; \draw (C) node[right] {$C$} ;
\coordinate (D) at (0,3,0) ; \draw (D) node[below] {$D$} ;
\coordinate (E) at (0,0,3) ; \draw (E) node[left] {$E$} ;
\coordinate (F) at (3,0,3) ; \draw (F) node[above] {$F$} ;
\coordinate (G) at (3,3,3) ; \draw (G) node[right] {$G$} ;
\coordinate (H) at (0,3,3) ; \draw (H) node[above] {$H$} ;
\draw[semithick,dashed] (A)--(D)--(H) (D)--(C) ;
\draw[semithick] (A)--(B)--(F)--(E)--cycle (B)--(C)--(G)--(F) (G)--(H)--(E) ;
\draw[thick,->,>=latex] (A)--++(1,0,0) node[midway,below] {$\vect{\imath}$} ;
\draw[thick,->,>=latex] (A)--++(0,1,0) node[midway,above] {$\vect{\jmath}$} ;
\draw[thick,->,>=latex] (A)--++(0,0,1) node[midway,left] {$\vect{k}$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{document}