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%divers
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\hrulefill~\textsf{Le candidat traite trois des \textbf{4 exercices} proposés.}~\hrulefill
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1 [Thèmes : fonctions, suites]\dotfill(7 points)} %exo1
\medskip
Au basket-bail, il existe deux sortes de tir:
\begin{itemize}
\item les tirs à deux points.
\hspace{4mm}Ils sont réalisés près du panier et rapportent deux points s'ils sont réussis.
\item les tirs à trois points.
\hspace{4mm}Ils sont réalisés loin du panier et rapportent trois points s'ils sont réussis.
\end{itemize}
Stéphanie s'entraîne au tir. On dispose des données suivantes :
\begin{itemize}
\item Un quart de ses tirs sont des tirs à deux points. Parmi eux, 60\,\% sont réussis.
\item Trois quarts de ses tirs sont des tirs à trois points. Parmi eux, 35\,\% sont réussis.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Stéphanie réalise un tir.
On considère les évènements suivants :
%
\begin{itemize}
\item[] $D$ : \og Il s'agit d'un tir à deux points \fg.
\item[] $R$ : \og le tir est réussi \fg.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
\item Calculer la probabilité $p\left(\overline{D} \cap R\right)$.
\item Démontrer que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir est égale à $0,4125$.
\item Stéphanie réussit un tir. Calculer la probabilité qu'il s'agisse d'un tir à trois points. Arrondir le résultat au centième.
\end{enumerate}
\item Stéphanie réalise à présent une série de $10$ tirs à trois points.
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de tirs réussis.
On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir à trois points est égale à $0,35$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
\item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Déterminer la probabilité que Stéphanie rate $4$ tirs ou plus. Arrondir le résultat au centième.
\item Déterminer la probabilité que Stéphanie rate au plus $4$ tirs. Arrondir le résultat au centième.
\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.
Stéphanie souhaite réaliser une série de $n$ tirs à trois points.
On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité qu'elle réussisse un tir à trois points est égale à $0,35$.
Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité que Stéphanie réussisse au moins un tir parmi les $n$ tirs soit supérieure ou égale à $0,99$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 2 [Thèmes : fonctions, fonction logarithme]\dotfill(7 points)} %exo2
\medskip
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[f(x) = x \ln (x) - x - 2.\]
%
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$.
On note $f'$ sa dérivée, $f''$ sa dérivée seconde et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $\intervOO{0}{+\infty}$, on a $f'(x) = \ln(x)$.
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point
d'abscisse $x = \e$.
\item Justifier que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.
\item En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la tangente $T$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $0$.
\item Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à $+\infty$.
\end{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. On note $\alpha$ cette solution.
\item Justifier que le réel $\alpha$ appartient à l'intervalle $\intervOO{4,3}{4,4}$.
\item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.
\end{enumerate}
\item On considère la fonction \texttt{seuil} suivante écrite dans le langage \textsf{Python} :
On rappelle que la fonction \texttt{log} du module \texttt{math} (que l'on suppose importé)
désigne la fonction logarithme népérien $\ln$.
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center}
def seuil(pas) :
x = 4.3
while x*log(x) - x - 2 < 0 :
x = x + pas
return x
\end{CodePythonLstAlt}
Quelle est la valeur renvoyée à l'appel de la fonction \texttt{seuil(0.01)} ?
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 3 [Thèmes : géométrie dans l'espace]\dotfill(7 points)} %exo3
\medskip
\begin{wrapstuff}[r,leftsep=0.75em,rightsep=0.75em,top=1]
\begin{tikzpicture}[scale=0.95,every node/.style={scale=0.85}]
\draw[semithick] (0.3,3.9)--(0.3,0.7)--(2.7,0.3)--(2.7,3.5)--cycle;%GCBF
\draw[semithick] (2.7,0.3)--(6,1.1)--(6,4.3)--(2.7,3.5);%BAEF
\draw[thick,dotted] (0.3,0.7)--(3.6,1.5)--(6,1.1);%CDA
\draw[thick,dotted] (3.6,1.5)--(3.6,4.7)--(3.1,5.6);%DHS
\draw[thick,dotted] (0.3,3.9)--(3.6,4.7)--(6,4.3);%GHE
\draw[semithick] (6,4.3)--(3.1,5.6)--(2.7,3.5);%ESF
\draw[semithick] (3.1,5.6)--(0.3,3.9);%SG
\draw[semithick] (4.3,4.8)--(4.3,5.35);%PQ
\draw[thick,->,>=latex] (3.6,1.5)--(3.05,1.37);
\draw[thick,->,>=latex] (3.6,1.5)--(4.2,1.4);
\draw[thick,->,>=latex] (3.6,1.5)--(3.6,2.3);
%labels
\draw(6,1.1) node[right] {A} ;
\draw(2.7,0.3) node[below] {B} ;
\draw(0.3,0.7) node[below left] {C} ;
\draw(3.6,1.5) node[below] {D} ;
\draw(6,4.3) node[above right] {E} ;
\draw(2.7,3.5) node[below left] {F} ;
\draw(0.3,3.9) node[left] {G} ;
\draw(3.6,4.7) node[above right] {H} ;
\draw(3.1,5.6) node[above] {S} ;
\draw(4.3,4.8) node[below] {P} ;
\draw(4.3,5.35) node[above] {Q} ;
\draw(3.05,1.37) node[above] {I} ;
\draw(4.2,0.9) node[above right] {J} ;
\draw(3.6,2.3) node[right] {K} ;
\draw(3.32,1.42) node[below] {$\vect{\imath}$} ;
\draw(3.9,1.3) node[above] {$\vect{\jmath}$} ;
\draw(3.6,1.9) node[left] {$\vect{k}$} ;
\end{tikzpicture}
\end{wrapstuff}
Une maison est modélisée par un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ surmonté d'une pyramide $EFGHS$.
On a $DC = 6$, $DA = DH = 4$.
Soient les points $I$, $J$ et $K$ tels que :
\medskip
\hfill$\vect{DI} = \dfrac16\vect{DA}$ ; $\vect{DJ} = \dfrac14\vect{DA}$ et $\vect{DK} = \dfrac14\vect{DH}$.\hfill~
\medskip
On note $\vect{\imath} = \vect{DI}$, $\vect{\jmath} = \vect{DJ}$ et $\vect{k} = \vect{DK}$.
On se place dans le repère orthonormé $\left(D;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\, \vect{k}\right)$.
On admet que le point $S$ a pour coordonnées $(3;2;6)$.
\begin{enumerate}
\item Donner, sans justifier, les coordonnées des points $B$, $E$, $F$ et $G$.
\item Démontrer que le volume de la pyramide $EFGHS$ représente le septième du volume total de la maison.
On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule : \[\mathcal{V} = \dfrac13 \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}.\]
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(EFS)$.
\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(EFS)$ est $y + z - 8 = 0$.
\end{enumerate}
\item On installe une antenne sur le toit, représentée par le segment $[PQ]$. On dispose des données suivantes :
\begin{itemize}
\item le point $P$ appartient au plan $(EFS)$ ;
\item le point $Q$ a pour coordonnées $(2;3;5,5)$ ;
\item la droite $(PQ)$ est dirigée par le vecteur $\vect{k}$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(PQ)$ est : \[ \begin{dcases} x=2 \\ y = 3 \\ z=5,5+t \end{dcases} \quad (t \in \R).\]
\item En déduire les coordonnées du point $P$.
\item En déduire la longueur $PQ$ de l'antenne.
Un oiseau vole en suivant une trajectoire modélisée par la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : \[ \begin{dcases} x=-4+6s \\ y = \phantom{-}7-4s \\ z=\phantom{-}2+4s \end{dcases} \quad (s \in \R).\]%
Déterminer la position relative des droites (PQ) et $\Delta$.
L'oiseau va-t-il percuter l'antenne représentée par le segment $[PQ]$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 4 [Thèmes : suites, fonctions, primitives]\dotfill(7 points)} %exo4
\medskip
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.}
\medskip
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :\[u_n = \dfrac{(- 1)^n}{n + 1}.\]
%
On peut affirmer que :
\smallskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}}
\pta{a}~~la suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $+\infty$. &\pta{b}~~la suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $-\infty$.\\
\pta{c}~~la suite $\left(u_n\right)$ n'a pas de limite. &\pta{d}~~la suite $\left(u_n\right)$ converge.
\end{tblr}
\begin{center} \decosix \decosix \decosix \end{center}
\end{enumerate}
Dans les questions 2. et 3., on considère deux suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ vérifiant la relation : \[w_n = \e^{- 2v_n} + 2.\]
%
\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On a $v_0 = \ln (a)$.
\smallskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}}
\pta{a}~~$w_0 = \dfrac{1}{a^2} +2$ &\pta{b}~~$w_0 = \dfrac{1}{a^2 +2}$\\
\pta{c}~~$w_0 = -2a +2$ &\pta{d}~~$w_0 = \dfrac{1}{- 2a} + 2$
\end{tblr}
\item On sait que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante. On peut affirmer que la suite $\left(w_n\right)$ est :
\smallskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}}
\pta{a}~~décroissante et majorée par 3. &\pta{b}~~décroissante et minorée par 2.\\
\pta{c}~~croissante et majorée par 3. &\pta{d}~~croissante et minorée par 2.
\end{tblr}
\item On considère la suite $\left(a_n\right)$ ainsi définie : \[a_0 = 2 \text{ et, pour tout entier naturel }n, \:a_{n+1} = \dfrac13a_n + \dfrac83.\]
%
Pour tout entier naturel $n$,on a :
\smallskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}}
\pta{a}~~$a_n = 4 \times \left(\dfrac13\right)^n - 2$ &\pta{b}~~$a_n = - \dfrac{2}{3^n} + 4$\\
\pta{c}~~$a_n = 4 - \left(\dfrac13\right)^n$ &\pta{d}~~$a_n = 2 \times \left(\dfrac13\right)^n + \dfrac{8n}{3}$ \\
\end{tblr}
\item On considère une suite $\left(b_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[b_{n+1} = b_n + \ln \left(\dfrac{2}{\left(b_n \right)^2 + 3}\right).\]
%
On peut affirmer que :
\smallskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}}
\pta{a}~~la suite $\left(b_n\right)$ est croissante. &\pta{b}~~la suite $\left(b_n\right)$ est décroissante.\\
\pta{c}~~la suite $\left(b_n\right)$ n'est pas monotone. &\pta{d}~~Le sens de variation de la suite $\left(b_n\right)$ dépend de $b_0$.
\end{tblr}
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[g(x) = \dfrac{\e^x}{x}.\]
%
On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal.
La courbe $\mathcal{C}_g$ admet :
\smallskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}}
\pta{a}~~une asymptote verticale et une asymptote horizontale. &\pta{b}~~une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.\\
\pta{c}~~aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale. &\pta{d}~~aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
\end{tblr}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = x\e^{x^2+1}.\]
%
Soit $F$ une primitive sur $\R$ de la fonction $f$. Pour tout réel $x$, on a :
\smallskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}}
\pta{a}~~$F(x) = \dfrac12x^2\e^{x^2+1}$ &\pta{b}~~$F(x) = \left(1 + 2x^2 \right)\e^{x^2+1}$ \\
\pta{c}~~$F(x) = \e^{x^2+1}$ &\pta{d}~~$F(x) = \dfrac12\e^{x^2+1}$
\end{tblr}
\end{enumerate}
\end{document}