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%divers
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\hrulefill~\textsf{Le candidat traite trois des \textbf{4 exercices} proposés.}~\hrulefill
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1 [Thèmes : fonctions, primitives, probabilités]\dotfill(7 points)} %exo1
\medskip
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse
choisie. Aucune justification n'est demandée.}
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par $f(x)=x\,\ln(x)-x+1$.
Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle est celle de la fonction dérivée de $f$ ?
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]X[l]X[l]}}
(a)~~$\ln(x)$&(b)~~$\dfrac{1}{x}-1$&(c)~~$\ln(x)-2$&(d)~~$\ln(x)-1$
\end{tblr}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par $g(x) = x^2 \left[1-\ln(x)\right]$.
Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est correcte ?
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~$\lim_{x \to 0} g(x)=+\infty$&(b)~~$\lim_{x \to 0} g(x)=-\infty$\\
(c)~~$\lim_{x \to 0} g(x)=0$&(d)~~{La fonction $g$ n'admet pas de limite en 0}
\end{tblr}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3-0,9x^2-0,1x$.
Le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur $\R$ est :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]X[l]X[l]}}
(a)~~$0$&(b)~~$1$&(c)~~$2$&(d)~~$3$
\end{tblr}
\item Si $H$ est une primitive d'une fonction $h$ définie et continue sur $\R$, et si $k$ est la fonction définie sur $\R$ par $k(x) = h(2x)$, alors, une primitive $K$
de $k$ est définie sur $\R$ par :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]X[l]X[l]}}
(a)~~$K(x)=H(2x)$&(b)~~$K(x)=2H(2x)$&(c)~~$K(x)=\frac12H(2x)$&(d)~~$K(x)=2H(x)$
\end{tblr}
\item L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 1 de la courbe de la fonction $f$ définie sur $\R$ par \mbox{$f(x) = x\,\e^{x}$} est :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]X[l]X[l]}}
(a)~~$y=\e\,x+\e$&(b)~~$y=2\e\,x-\e$&(c)~~$y=2\e\,x+\e$&(d)~~$y=\e\,x$
\end{tblr}
\item Les nombres entiers $n$ solutions de l'inéquation $(0,2)^n < 0,001$ sont tous les
nombres entiers $n$ tels que
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]X[l]X[l]}}
(a)~~$n \leqslant 4$&(b)~~$n \leqslant 5$&(c)~~$n \geqslant 4$&(d)~~$n \leqslant 5$
\end{tblr}
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 2 [Thème : probabilités]\dotfill(7 points)} %exo2
\medskip
Les douanes s'intéressent aux importations de casques audio portant le logo d'une certaine marque. Les saisies des douanes permettent d'estimer que :
%
\begin{itemize}
\item 20\,\% des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefaçons ;
\item 2\,\% des casques non contrefaits présentent un défaut de conception;
\item 10\,\% des casques contrefaits présentent un défaut de conception.
\end{itemize}
L'agence des fraudes commande au hasard sur un site internet un casque affichant le logo de la marque. On considère les événements suivants :
\begin{itemize}
\item $C$ : « le casque est contrefait » ;
\item $D$ : « le casque présente un défaut de conception » ;
\item $\overline{C}$ et $\overline{D}$ désignent respectivement les événements contraires de $C$ et $D$.
\end{itemize}
Dans l'ensemble de l'exercice, les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ si nécessaire.
\medskip
\textbf{\large Partie 1}
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(C \cap D)$. On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.
\item Démontrer que $P(D)=0,036$.
\item Le casque a un défaut. Quelle est la probabilité qu'il soit contrefait ?
\end{enumerate}
\textbf{\large Partie 2}
\medskip
On commande $n$ casques portant le logo de cette marque. On assimile cette expérience
à un tirage aléatoire avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans ce lot.
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, $n=35$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B} (n;p)$ où $n=35$ et $p=0,036$.
\item Calculer la probabilité qu'il y ait parmi les casques commandés, exactement un casque présentant un défaut de conception.
\item Calculer $P(X \leqslant 1)$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, $n$ n'est pas fixé.
Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu'au moins un casque présente un défaut soit supérieure à $0,992$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 3 [Thèmes : suites, fonctions]\dotfill(7 points)} %exo3
\medskip
Au début de l'année 2021, une colonie d'oiseaux comptait 40 individus. L'observation
conduit à modéliser l'évolution de la population par la suite $\suiten$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ \begin{dcases} u_0 = 40 \\ u_{n+1} = 0,008u_n(200-u_n) \end{dcases} \]%
où $u_n$ désigne le nombre d'individus au début de l'année $(2021+n)$.
\begin{enumerate}
\item Donner une estimation, selon ce modèle, du nombre d'oiseaux dans la colonie au début de l'année 2022.
\end{enumerate}
On considère la fonction $f$ définie sue $\intervFF{0}{100}$ par $f(x)=0,008x(200-x)$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Résoudre dans l'intervalle $\intervFF{0}{100}$ l'équation $f(x)= x$.
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\intervFF{0}{100}$ et dresser son tableau de variations.
\item En remarquant que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : \[ 0 \leqslant u_n \leq slantu_{n+1} \leqslant 100.\]
\item En déduire que la suite$\suiten$ est convergente.
\item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\suiten$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=10cm]{center}
def seuil(p) :
n = 0
u = 40
while u < p :
n = n+1
u = 0.008*u*(200-u)
return(n+2021)
\end{CodePythonLstAlt}
L'exécution de \texttt{seuil(100)} ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi à
l'aide de la question 3..
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 4 [Thème : géométrie dans le plan et dans l'espace]\dotfill(7 points)} %exo4
\medskip
On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1.
L'espace est muni du repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\,\vect{AD},\,\vect{AE} \right)$. Le point $I$ est le milieu du segment $[EF]$, $K$ le centre du carré $ADHE$ et $O$ le milieu du segment $[AG]$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=5cm,y=5cm,line join=bevel]
\PaveTikz[Aff,Cube,Largeur=1,Angle=20,Fuite=0.33,Epaisseur={very thick}]
\draw[thick] (0,0)--(0.5,1)--(G) ;
\draw[thick,dotted] (A)--(G) ;
\foreach \i in {A,B,C,D,E,F,G,H} \filldraw (\i) circle[radius=2pt] ;
\filldraw ($(A)!0.5!(H)$) circle[radius=2pt] node[left] {K} ;
\filldraw ($(E)!0.5!(F)$) circle[radius=2pt] node[above left] {I} ;
\filldraw ($(A)!0.5!(G)$) circle[radius=2pt] node[below] {O} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\emph{Le but de l'exercice est de calculer de deux manières différentes, la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.}
\medskip
\textbf{\large Partie 1. Première méthode}
\begin{enumerate}
\item Donner, sans justification, les coordonnées des points $A$, $B$, et $G$.
On admet que les points $I$ et $K$ ont pour coordonnées $I\left(\frac12;0;1\right)$ et $K\left(0;\frac12;\frac12\right)$.
\item Démontrer que la droite $(BK)$ est orthogonale au plan $(AIG)$.
\item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan $(AIG)$ est : $2x-y-z=0$.
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $(BK)$.
\item En déduire que le projeté orthogonal $L$ du point $B$ sur le plan $(AIG)$ a pour
coordonnées $K\left(\frac13;\frac13;\frac13\right)$.
\item Déterminer la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.
\end{enumerate}
\textbf{\large Partie 2. Deuxième méthode}
\medskip
\emph{On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'une pyramide est donné par la formule $\mathcal{V}=\dfrac13 \times b \times h$ où $b$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée à cette base.}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que dans le tétraèdre $ABIG$, $[GF]$ est la hauteur relative à la base $AIB$.
\item En déduire le volume du tétraèdre $ABIG$.
\end{enumerate}
\item On admet que $AI=IG=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ et que $AG=\sqrt{3}$.
Démontrer que l'aire du triangle isocèle $AIG$ est égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ unité d'aire.
\item En déduire la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.
\end{enumerate}
\end{document}