% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex
\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
\usepackage[margin=2cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{ProfLycee}
\RequirePackage[upright]{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb,amstext}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand\ttdefault{lmtt}
\usepackage{decimalcomma}
\usepackage{esvect}
\usepackage{siunitx}
\sisetup{locale=FR}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{logoetalab}
\newcommand{\session}{2023}
\newcommand{\annee}{2023}
\newcommand{\serie}{Gé.}
\newcommand{\lieu}{Am. du Sud}
\newcommand{\jour}{26}
\newcommand{\mois}{septembre}
\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC \serie{} \annee{}] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\title{\nomfichier}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate[1]{font=\bfseries}
\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}
\usepackage{ibrackets}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{bm}
\usepackage{wrapstuff}
\usepackage{forest}
\forestset{
fleche/.style = {edge={thick}},
aproba/.style = {edge label = {node[inner sep=1pt,above=5pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
bproba/.style = {edge label = {node[inner sep=1pt,below=5pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids en-dessous
}
\usepackage{babel}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \lieu{} - Sujet \numsujet}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily 23-MATJ1AS1}
\rfoot{\scriptsize\sffamily - \thepage{}/{}\pageref{LastPage} -}
\setlength{\parindent}{0pt}
%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vec{\vphantom{k}\imath},\vec{\vphantom{k}\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vec{\vphantom{k}\imath},\vec{\vphantom{k}\jmath},\vec{\vphantom{k}k}\right)}
\newcommand\intervOO[2]{\left]#1;#2\right[}
\newcommand\intervFF[2]{\left[#1;#2\right]}
\newcommand\intervOF[2]{\left]#1;#2\right]}
\newcommand\intervFO[2]{\left[#1;#2\right[}
\newcommand\R{\mathbb{R}}
\newcommand\N{\mathbb{N}}
\DeclareMathOperator\e{e}
\newcommand\pta[1]{(#1)}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\newcommand\qcmdeux[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
(c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
}
\newcommand\qcm[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 & (c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
}
\usetikzlibrary{hobby}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1\dotfill{}(5 points)} %exo1
\medskip
\textbf{Partie A}
On considère la fonction $f$ définie sur l’ensemble $\intervOO{0}{+\infty}$ par \[ f(x)=1+x^2+2x^2\,\ln(x). \]
On admet que $f$ est dérivable sur l’intervalle et on note $f'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\lim\limits_{x \to 0} f(x)=1$ et, en remarquant que $f(x) = 1 + x^2 \big(1-2\ln(x)\big)$, justifier que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$.
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, $f'(x) = -4x \,\ln(x)$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, puis dresser le tableau de variation de la fonction sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.
\item Démontrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle
$\intervFO{1}{+\infty}$ et que $\alpha \in \intervFF{1}{\e}$.
\end{enumerate}
%
On admet dans la suite de l’exercice, que l’équation $f (x) = 0$ n’admet pas de solution sur
l’intervalle $\intervOF{0}{1}$.
%
\begin{enumerate}[resume]
\item On donne la fonction ci-dessous écrit en \textsf{Python}. L’instruction \texttt{from lycee import *} permet d’accéder à la fonction ln.
%
\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=8cm]{center}
from lycee import *
def f(x) :
return 1+x**2-2*x**2*ln(x)
def dichotomie(p) :
a = 1
b = 2.7
while b-a > 10**(-p) :
if f(a) * f((a+b)/2) < 0 :
b = (a+b)/2
else :
a = (a+b)/2
return (a, b)
\end{CodePythonLstAlt}
%
Il écrit dans la console d’exécution :
\texttt{>{}>{}>{} dichotomie(1)}
\smallskip
Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l’instruction précédente? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination)
\hspace*{4cm}Proposition A : \texttt{(1.75, 1.9031250000000002)}\\
\hspace*{4cm}Proposition B : \texttt{(1.85, 1.9031250000000002)}\\
\hspace*{4cm}Proposition C : \texttt{(2.75, 2.9031250000000002)}\\
\hspace*{4cm}Proposition D : \texttt{(2.85, 2.9031250000000002)}
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie B}
\medskip
On considère la fonction $g$, définie sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, par \[ g(x)=\frac{\ln(x)}{1+x^2}. \]
On admet que g est dérivable sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.
On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère $\Rij$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, $g'(x) = \dfrac{f(x)}{x\big(1+x^2\big)^2}$.
\item Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $x = \alpha$.
On admet que $g(\alpha) = \dfrac{1}{2\alpha^2}$.
\item On note $T_1$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse 1 et on note $T_{\alpha}$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $\alpha$.
Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées du point d’intersection des droites $T_1$
et $T_{\alpha}$
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\section*{Exercice 2\dotfill{}(5 points)} %exo2
\smallskip
\begin{enumerate}
\item Entre 1998 et 2020, en France \num{18221965} accouchements ont été recensés, parmi lesquels \num{293898} ont donné naissance à des jumeaux et \num{4921} ont donné naissance à au
moins trois enfants.
\begin{enumerate}
\item Avec une précision de \num{0,1}\,\% calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d’accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998--2020.
\item Vérifier que le pourcentage d’accouchements qui ont donné naissance à au moins
trois enfants est inférieur à \num{0,1}\,\%.
\smallskip
On considère alors que ce pourcentage est négligeable.
\smallskip
On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.
\smallskip
On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.
\smallskip
On considère dans la suite de l’exercice qu’un accouchement est soit ordinaire, soit double.
\smallskip
La probabilité d’un accouchement ordinaire est égale à \num{0,984} et celle d’un accouchement double est alors égale à \num{0,016}.
\smallskip
Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.
\end{enumerate}
\item On admet qu’un jour donné dans une maternité, on réalise $n$ accouchements.
On considère que ces $n$ accouchements sont indépendants les uns des autres.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’accouchements doubles pratiqués ce jour.
\begin{enumerate}
\item Dans le cas où $n = 20$, préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et calculer la probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double.
\item Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $P(X \geqslant 1) \geqslant 0,99$.
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
\end{enumerate}
\item Dans cette maternité, parmi les naissances double, on estime qu’il y a 30\,\% de jumeaux monozygotes (appelés « vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc 70\,\% de jumeaux dizygotes (appelés « faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents : deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).
\smallskip
Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d’être une fille à la naissance est égale à \num{0,49} et que celle d’être un garçon à la naissance est égale à \num{0,51}.
Dans le cas d’une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.
\smallskip
On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $M$ : « les jumeaux sont monozygotes » ;
\item $F_1$ : « le premier nouveau-né est une fille » ;
\item $F_2$ : « le second nouveau-né est une fille ».
\end{itemize}
\emph{On notera $P(A)$ la probabilité de l’évènement $A$ et $\overline{A}$ l’évènement contraire de $A$.}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\def\EspIF{1}\def\EspIN{2.25}
\coordinate (RAC) at ({0*\EspIN},{-2*\EspIF}) ;
%niveauC
\node (C1) at ({3*\EspIN},{-0*\EspIF}) {$F_2$} ;
\node (C2) at ({3*\EspIN},{-1*\EspIF}) {$\overline{F_2}$} ;
\node (C3) at ({3*\EspIN},{-2*\EspIF}) {$F_2$} ;
\node (C4) at ({3*\EspIN},{-3*\EspIF}) {$\overline{F_2}$} ;
\node (C5) at ({3*\EspIN},{-4*\EspIF}) {$F_2$} ;
\node (C6) at ({3*\EspIN},{-5*\EspIF}) {$\overline{F_2}$} ;
%niveauB
\node (B1) at ({2*\EspIN},{-0*\EspIF}) {$F_1$} ;
\node (B2) at ({2*\EspIN},{-1*\EspIF}) {$\overline{F_1}$} ;
\node (B3) at ({2*\EspIN},{-2.5*\EspIF}) {$F_2$} ;
\node (B4) at ({2*\EspIN},{-4.5*\EspIF}) {$\overline{F_2}$} ;
%niveauA
\node (A1) at ({1*\EspIN},{-0.5*\EspIF}) {$M$} ;
\node (A2) at ({1*\EspIN},{-3.5*\EspIF}) {$\overline{M}$} ;
%arêtes
\draw[semithick] (RAC)--(A1) (RAC)--(A2) (A1)--(B1) (A1)--(B2) (A2)--(B3) (A2)--(B4) (B1)--(C1) (B2)--(C2) (B3)--(C3) (B3)--(C4) (B4)--(C5) (B4)--(C6) ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Recopier puis compléter l’arbre pondéré ci-dessus.
\item Montrer que la probabilité que les deux nouveaux-nés soient des filles est \num{0,31507}.
\item Les deux nouveaux-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu’elles soient monozygotes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\section*{Exercice 3\dotfill{}(5 points)} %exo3
\medskip
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Rijk$, on considère les points :
\smallskip
\hfill$A(0;4;16)$, \: $B(0;4;-10)$, \: $C(4;-8;0)$ \: et \: $K(0;4;3)$.\hfill~
\smallskip
On définit la sphère $\mathcal{S}$ de centre $K$ et de rayon 13 comme l’ensemble des points $M$ tels que $KM = 13$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Vérifier que le point $C$ appartient à la sphère $\mathcal{S}$.
\item Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que le vecteur $\vect{n} \begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
\end{enumerate}
\item On admet que la sphère $\mathcal{S}$ coupe l’axe des abscisses en deux points, l’un ayant une abscisse positive et l’autre une abscisse négative.
On note $D$ celui qui a une abscisse positive.
\begin{enumerate}
\item Montrer que le point $D$ a pour coordonnées $(12; 0; 0)$.
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.
\item Déterminer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
\end{enumerate}
\item Calculer une valeur approchée, à l’unité de volume près, du volume du tétraèdre $ABCD$.
\emph{On rappelle la formule du volume $\mathcal{V}$ d’un tétraèdre \[ \mathcal{V}=\dfrac13 \times \mathcal{B} \times h \] où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée.}
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\section*{Exercice 4\dotfill{}(5 points)} %exo4
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
Le but de la partie A est d’étudier le comportement de la suite $\suiten$ définie par $u_0 = 0,3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : \[ u_{n+1} = 2u_n \big(1-u_n\big). \]
Cette relation de récurrence s’écrit $u_{n+1} = f\big(u_n\big)$, où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : \[ f(x)=2x(1-x). \]
%
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $\intervFF{0}{\dfrac12}$.
\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac12$.
Calculer $u_1$ puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout rentier naturel $n$, $u_n \leqslant u_{n+1}$.
\item En déduire que la suite $\suiten$ est convergente.
\item Justifier que la limite de la suite $\suiten$ est égale à $\dfrac12$.
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Le but de cette partie est d’étudier un modèle d’évolution d’une population.
En 2022, cette population compte \num{3000} individus.
\smallskip
On note $P_n$ l’effectif en milliers de la population l’année $2022+n$. Ainsi $P_0 = 3$.
Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du XIX\up{e} siècle, on considère que, pour tout entier naturel $n$ :%
\[ P_{n+1} -P_n = P_n \big(1-b\times P_n\big)\text{, où } b \text{est un réel strictement positif.} \]
Le réel $b$ est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.
\begin{enumerate}
\item Dans cette question $b = 0$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $\suiten[P]$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
\item Déterminer la limite de $\suiten[P]$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question $b = 0,2$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = 0,1 \times P_n$.
Calculer $v_0$ et montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 2v_n\big(1-v_n\big)$.
\item Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d’une valeur que l’on précisera.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}