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\title{\nomfichier}
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%divers
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1 \dotfill(5 points)}%erreur avec le point L ????
\medskip
On considère deux cubes $ABCDEFGH$ et $BKLCFJMG$ positionnés comme sur la figure suivante :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x={(-19:3cm)},y={(14:4cm)},z={(90:3.8cm)},line join=bevel]
\coordinate (A) at (0,0,0) ; \coordinate (B) at (1,0,0) ;
\coordinate (C) at (1,1,0) ; \coordinate (D) at (0,1,0) ;
\coordinate (E) at (0,0,1) ; \coordinate (F) at (1,0,1) ;
\coordinate (G) at (1,1,1) ; \coordinate (H) at (0,1,1) ;
\coordinate (K) at (2,0,0) ; \coordinate (L) at (2,1,0) ;
\coordinate (M) at (2,1,1) ; \coordinate (J) at (2,0,1) ;
\coordinate (I) at ($(E)!0.5!(F)$) ;
\draw[semithick,dashed] (D)--(H) (D)--(L) (B)--(C)--(G)--cycle ;
\draw[thick,darkgray,dashed,->,>-latex] (A)--(D) ;
\draw[thick,darkgray,->,>-latex] (A)--(B) (A)--(E) ;
\draw[semithick] (A)--(B)--(F)--(E)--cycle (B)--(K)--(J)--(F)--cycle (K)--(L)--(M)--(J)--cycle (E)--(F)--(G)--(H)--cycle (F)--(J)--(M)--(G)--cycle (B)--(I)--(G);
\foreach \point/\pos in {A/below left,B/below,C/above right,D/above left,E/left,F/below left,G/above right,H/above,I/above left,J/below right,K/below,L/right,M/above right}
{\draw (\point) node[\pos,font=\large] {$\point$} ;}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Le point $I$ est le milieu de $[EF]$.
Dans toute la suite de l'exercice, on se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\,\vect{AD},\,\vect{AE}\right)$.
Ainsi, par exemple, les points $F$, $G$ et $J$ ont pour coordonnées $F(1;0;1)$, $G(1;1;1)$ et $J(2;0;1)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que le volume du tétraèdre $FIGB$ est égal à $\frac{1}{12}$ d'unité de volume.
\smallskip
On On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule : \[ \mathcal{V}=\frac13 \times \text{aire d'une base} \times \text{hauteur correspondante}. \]
\item Déterminer les coordonnées du point $I$.
\item Montrer que le vecteur $\vect{DJ}$ un vecteur normal au plan $(BIG)$.
\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est $2x-y+z-2=0$.
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, orthogonale à $(BIG)$ et passant par $F$.
\item
\begin{enumerate}
\item La droite $d$ coupe le plan $(BIG)$ au point $P$.
Montrer que les coordonnées du point $P$ sont $\left(\dfrac23;\dfrac16;\dfrac56\right)$.
\item Calculer la longueur $FP$.
\item Déduire des questions précédentes l'aire du triangle $IGB$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 2 \dotfill(5 points)}
\medskip
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\ln\big(\text{e}^{2x}-\text{e}^x+1\big)$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe
représentée ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1.7cm,y=1.7cm,xmin=-3.5,xmax=3.15,xgrille=0.5,xgrilles=0.5,ymin=-2.15,ymax=3.15,ygrille=0.5,ygrilles=0.5]
\GrilleTikz[Affs=false] \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0]
\AxexTikz[Police=\footnotesize,AffOrigine=false]{-3.5,-3,...,3}
\AxeyTikz[Police=\footnotesize,AffOrigine=false]{-2,-1.5,...,2.5}
\OrigineTikz[Police=\footnotesize]
\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ;
\CourbeTikz[very thick,red,samples=250]{ln(exp(2*\x)-exp(\x)+1)}{\xmin:\xmax}
\draw[red] (1.25,1.75) node[font=\large] {$\mathcal{C}_f$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
Un élève formule les conjectures suivantes à partir de cette représentation graphique :
\medskip
\begin{tblr}{vlines,width=\linewidth,colspec={X[l,m]}}
\hline
\hspace{3mm}1.~~L'équation $f(x) = 2$ semble admettre au moins une solution. \\
\hspace{3mm}2.~~Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ semble être croissante est $[-0,5;+\infty[$. \\
\hspace{3mm}3.~~L'équation de la tangente au point d'abscisse $a = 0$ semble être : $y = 1,5x$. \\ \hline
\end{tblr}
\bigskip
Le but de cet exercice est de valider ou rejeter les conjectures concernant la fonction $f$.
\bigskip
\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire}
\medskip
On définit sur $\mathbb{R}$ la fonction $g$ définie par $g(x) = \text{e}^{2x}-\text{e}^x+1$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} g(x)$.
\item Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$.
\item Montrer que $g'(x)=\text{e}^x \big(2\text{e}^x-1\big)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.
Dresser le tableau des variations de la fonction $g$ en y faisant figurer la valeur exacte des extrema s'il y en a, ainsi que les limites de $g$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item En déduire le signe de $g$ sur $\mathbb{R}$.
\item Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat de la question {5.} en posant $X = \text{e}^x$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\textbf{Partie B}
\smallskip
\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
\item La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f'$. Justifier que $f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$.
\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[-\ln(2);+\infty[$.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-\ln(2);+\infty[$ et déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie C}
\medskip
À l'aide des résultats de la \textbf{partie B}, indiquer, pour chaque conjecture de l'élève, si elle est vraie ou fausse. Justifier.
\pagebreak
\section*{Exercice 3 \dotfill(5 points)}
\medskip
\emph{Marie Sklodowska-Curie (1867-1934) est une physicienne (mais aussi chimiste et mathématicienne), polonaise naturalisée française. Deux Prix Nobel lui ont été décernés : un en Physique (partagé avec son mari et Henri Becquerel) en 1903 et un en Chimie en 1911 pour la découverte de deux nouveaux éléments, le polonium (nom donné en hommage à ses origines) et le radium.}
\medskip
On décide d'étudier le rayonnement radioactif du polonium lors de la désintégration des noyaux atomiques au cours du temps.
\smallskip
Au début de l'expérience, on dispose d'un morceau de 2~g de polonium.
On sait que 1~g de polonium contient $3 \times 10^{21}$ noyaux atomiques.
On admet que, au bout de 24 heures, 0,5\,\% des noyaux se sont désintégrés et que, pour compenser cette disparition, on ajoute alors 0,005~g de polonium.
\smallskip
On modélise la situation à l'aide d'une suite $\left(v_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ ; on note $v_0$ le nombre de noyaux contenus dans le polonium au début de l'expérience. Pour $n \geqslant 1$, $v_n$ désigne le nombre de noyaux contenus dans le polonium au bout de $n$ jours écoulés.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $v_0 = 6 \times 10^{21}$.
\item Expliquer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $v_{n+1} = 0,995v_n + 1,5 \times 10^{19}$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer, par récurrence sur $n$, que $0 \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n$.
\item En déduire que la suite $\left(v_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente.
\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $u_n = v_n - 3 \times 10^{21}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ est géométrique de raison $0,995$.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $v_n = 3 \times 10^{21} \big(0,0995^n+1\big)$.
\item En déduire la limite de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\item Déterminer, par le calcul, au bout de combien de jours le nombre de noyaux de polonium sera
inférieur à $4,5 \times 10^{21}$. Justifier la réponse.
\item On souhaite disposer de la liste des termes de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$.
Pour cela, on utilise une fonction appelée \texttt{noyaux} programmée en langage \textsf{Python} et retranscrite partiellement ci-après.
\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=10cm]{center}
def noyaux(n) :
V = 6*10**21
L = [V]
for k in range(n) :
V = ......
L.append(V)
return L
\end{CodePythonLstAlt}
\begin{enumerate}
\item À la lecture des questions précédentes, proposer deux solutions différentes pour compléter
la \texttt{ligne 5} de la fonction noyaux afin qu'elle réponde au problème.
\item Pour quelle valeur de l'entier \texttt{n} la commande \texttt{noyaux(n)} renverra-t-elle les relevés quotidiens du nombre de noyaux contenus dans l'échantillon de polonium pendant 52 semaines d'étude?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 4 \dotfill(5 points)}
\medskip
\emph{Pour chacune des cinq questions de cet exercice, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.}
\medskip
On considère $L$ une liste de nombres constituée de termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme 7 et de raison 3, le dernier nombre de la liste est \num{2023} soit $L = [7, 10, \ldots , \num{2023}]$.
\bigskip
\underline{\textbf{Question 1 :}} Le nombre de termes de cette liste est :
\medskip
\begin{tblr}{vlines,width=\linewidth,colspec={*{4}{X[c,m]}},row{1}={0.85cm},row{2}={1.15cm}}
\hline
Réponse A & Réponse B & Réponse C & Réponse D \\
\num{2023} & \num{673} & \num{672} & \num{2016} \\ \hline
\end{tblr}
\bigskip
\underline{\textbf{Question 2 :}} On choisit au hasard un nombre dans cette liste. La probabilité de tirer un nombre pair est :
\medskip
\begin{tblr}{vlines,width=\linewidth,colspec={*{4}{X[c,m]}},row{1}={0.85cm},row{2}={1.15cm}}
\hline
Réponse A &Réponse B& Réponse C&Réponse D\\
$\dfrac12$&$\dfrac{34}{673}$&$\dfrac{336}{673}$&$\dfrac{337}{673}$\\ \hline
\end{tblr}
\vspace{0.5cm}
On rappelle qu'on choisit au hasard un nombre dans cette liste.
On s'intéresse aux évènements suivants :
\begin{itemize}
\item Évènement $A$ : \og obtenir un multiple de 4 \fg{} ;
\item Évènement $B$ : \og obtenir un nombre dont le chiffre des unités est 6 \fg.
\end{itemize}
Pour répondre aux questions suivantes on pourra utiliser l'arbre pondéré ci-dessous et on donne :
$p(A \cap B) = \dfrac{34}{673}$.
\def\ArbreDeuxDeux{
$A$/$\dfrac{168}{673}$/above,
$B$//above,$\overline{B}$//above,
$\overline{A}$//below,
$B$/$\dfrac{33}{505}$/above,
$\overline{B}$//below
}
\begin{center}
\ArbreProbasTikz{\ArbreDeuxDeux}
\end{center}
\medskip
\underline{\textbf{Question 3 :}}
La probabilité d'obtenir un multiple de 4 ayant 6 comme chiffre des unités est :
\medskip
\begin{tblr}{vlines,width=\linewidth,colspec={*{4}{X[c,m]}},row{1}={0.85cm},row{2}={1.15cm}}
\hline
Réponse A &Réponse B& Réponse C&Réponse D\\
$\dfrac{168}{673} \times \dfrac{34}{673}$&$\dfrac{34}{673}$&$\dfrac{17}{84}$&$\dfrac{168}{34}$\\ \hline
\end{tblr}
\bigskip
\underline{\textbf{Question 4 :}} $P_B(A)$ est égale à :
\medskip
\begin{tblr}{vlines,width=\linewidth,colspec={*{4}{X[c,m]}},row{1}={0.85cm},row{2}={1.15cm}}
\hline
Réponse A &Réponse B& Réponse C&Réponse D\\
$\dfrac{36}{168}$&$\dfrac12$&$\dfrac{33}{168}$&$\dfrac{34}{67}$\\ \hline
\end{tblr}
\bigskip
\underline{\textbf{Question 5 :}} On choisit, au hasard, successivement, $10$ éléments de cette liste.
Un élément peut être choisi plusieurs fois. La probabilité qu'aucun de ces $10$ nombres ne soit un multiple de 4 est :
\medskip
\begin{tblr}{vlines,width=\linewidth,colspec={*{4}{X[c,m]}},row{1}={0.85cm},row{2}={1.15cm}}
\hline
Réponse A &Réponse B& Réponse C&Réponse D\\
$\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}$&$1 - \left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}$&$\left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}$&$1 - \left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}$\\ \hline
\end{tblr}
\end{document}