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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1 [QCM]\dotfill(5 points)}
\medskip
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
\bigskip
\textbf{Question 1 :}
\smallskip
On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par $u_n = \frac{1+2^n}{3+5^n}$. Cette suite :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l,m]X[l,m]}}%X[l,m]X[l,m]}}
(a)~~diverge vers $+\infty$ & (b)~~converge vers $\tfrac{2}{5}$ \\
(c)~~converge vers 0 & (d)~~converge vers $\tfrac{1}{3}$
\end{tblr}
\bigskip
\textbf{Question 2 :}
\medskip
Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) x^2\,\ln(x)$. L'expression de la fonction dérivée de $f$ est :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l,m]X[l,m]}}%X[l,m]X[l,m]}}
(a)~~$f'(x)=2x\,\ln(x)$ & (b)~~$f'(x)=x(2\,\ln(x)+1)$ \\
(c)~~$f'(x)=2$ & (d)~~$f'(x)=x$
\end{tblr}
\bigskip
\textbf{Question 3 :}
\medskip
On considère une fonction $h$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=6]{$x$/1,$h$/2}{$-\infty$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/$+\infty$}
\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{$1$}{$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
On note $H$ la primitive de $h$ définie sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en 0. Elle vérifie la propriété :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l,m]X[l,m]}}
(a)~~$H$ positive sur $]-\infty;0]$ & (b)~~$H$ négative sur $]-\infty;1]$ \\ (c)~~$H$ croissante sur $]-\infty;1]$ & (d)~~$H$ croissante sur $\mathbb{R}$
\end{tblr}
\bigskip
\textbf{Question 4 :}
\medskip
Soit deux réels $a$ et $b$ avec $a < b$.
On considère une fonction $f$ définie, continue, strictement croissante sur l'intervalle $[a;b]$ et qui s'annule en un réel $\alpha$.
Parmi les propositions suivantes, la fonction en langage \textsf{Python} qui permet de donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,001$ est :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l,m]X[l,m]}}
(a)~~ & (b)~~
\end{tblr}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=8cm]{}
def racine(a, b) :
while abs(b-a) >= 0.001 :
m = (a+b) / 2
if f(m) < 0 :
b = m
else :
a = m
return m
\end{CodePythonLstAlt}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=8cm]{}
def racine(a, b) :
m = (a+b) / 2
while abs(b-a) >= 0.001 :
if f(m)<0 :
a = m
else :
b = m
return m
\end{CodePythonLstAlt}
\end{minipage}
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l,m]X[l,m]}}
(c)~~ & (d)~~
\end{tblr}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=8cm]{}
def racine(a, b) :
m = (a+b) / 2
while abs(b-a) <= 0.001 :
if f(m) < 0 :
a = m
else :
b = m
return m
\end{CodePythonLstAlt}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=8cm]{}
def racine(a, b) :
while abs(b-a) >= 0.001 :
m = (a+b) / 2
if f(m) < 0 :
a = m
else :
b = m
return m
\end{CodePythonLstAlt}
\end{minipage}
\bigskip
\textbf{Question 5 :}
\medskip
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher dont 7 sont bleues et les autres vertes. On effectue trois tirages successifs avec remise. La probabilité d'obtenir exactement deux boules vertes est :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l,m]X[l,m]}}%X[l,m]X[l,m]}}
(a)~~${\left(\dfrac{7}{10}\right)}^2 \times \dfrac{3}{10}$ &
(b)~~${\left(\dfrac{3}{10}\right)}^2$ \\
(c)~~$\dbinom{10}{2} {\left(\dfrac{7}{10}\right)} {\left(\dfrac{3}{10}\right)}^2$ &
(d)~~$\dbinom{3}{2} {\left(\dfrac{7}{10}\right)} {\left(\dfrac{3}{10}\right)}^2$
\end{tblr}
\vspace{0.5cm}
\section*{Exercice 2 \dotfill(6 points)}
\medskip
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
\smallskip
Dans une grande ville française, des trottinettes électriques sont mises à disposition des usagers. Une entreprise, chargée de l'entretien du parc de trottinettes, contrôle leur état chaque lundi.
\bigskip
\textbf{Partie A}
\medskip
On estime que :
\begin{itemize}
\item lorsqu'une trottinette est en bon état un lundi, la probabilité qu'elle soit encore en bon état le lundi suivant est $0,9$ ;
\item lorsqu'une trottinette est en mauvais état un lundi, la probabilité qu'elle soit en bon
état le lundi suivant est $0,4$
\end{itemize}
On s'intéresse à l'état d'une trottinette lors des phases de contrôle.
Soit $n$ un entier naturel. On note $B_n$ l'évènement « la trottinette est en bon état $n$ semaines
après sa mise en service » et $p_n$ la probabilité de $B_n$.
Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon état. On a donc $p_0 = 1$.
\begin{enumerate}
\item Donner $p_1$, et montrer que $p_2 = 0,85$. On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous :
\begin{center}
\def\ArbreDeuxDeux{
$B_n$/$p_n$/above,$B_{n+1}$//above,$\overline{B_{n+1}}$//above,
$\overline{B_n}$//below,$B_{n+1}$//below,$\overline{B_{n+1}}$//below
}
\ArbreProbasTikz{\ArbreDeuxDeux}
\end{center}
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,4$.
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $p_n \geqslant 0,8$.
\item À partir de ce résultat, quelle communication l'entreprise peut-elle envisager pour valoriser la fiabilité du parc ?
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = p_n - 8$.
Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
\item En déduire l’expression de $u_n$, puis de $p_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Dans cette partie, on modélise la situation de la façon suivante :
\begin{itemize}
\item l'état d'une trottinette est indépendant de celui des autres ;
\item la probabilité qu'une trottinette soit en bon état est égale à $0,8$.
\end{itemize}
On note $X$ la variable aléatoire qui, à un lot de 15 trottinettes, associe le nombre de trottinettes en bon état. Le nombre de trottinettes du parc étant très important, le prélèvement de 15 trottinettes peut être assimilé à un tirage avec remise.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
\item Calculer la probabilité que les 15 trottinettes soient en bon état.
\item Calculer la probabilité qu'au moins 10 trottinettes soient en bon état dans un lot de 15.
\item On admet que $\mathbb{E}(X) = 12$. Interpréter le résultat
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 3 \dotfill(6 points)}
\medskip
On considère le prisme droit $ABFEDCGH$, de base $ABFE$, trapèze rectangle en $A$.
On associe à ce prisme le repère orthonormé $\left(A;\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$ tel que : \[ \vect{\imath} = \dfrac{1}{4} \vect{AB} \: ; \: \vect{\jmath} = \dfrac{1}{4} \vect{AD} \: ; \: \vect{k} = \dfrac{1}{8} \vect{AE}.\]%
De plus on a $\vect{BF} = \dfrac{1}{2} \vect{AE}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x={(-15:5mm)},y={(25:4mm)},z={(90:6mm)},line join=bevel]
\coordinate (A) at (0,0,0) ;
\coordinate (B) at (4,0,0) ;
\coordinate (C) at (4,4,0) ;
\coordinate (D) at (0,4,0) ;
\coordinate (E) at (0,0,8) ;
\coordinate (F) at (4,0,4) ;
\coordinate (G) at (4,4,4) ;
\coordinate (H) at (0,4,8) ;
\coordinate (J) at ($(A)!0.5!(E)$) ;
\coordinate (I) at ($(E)!0.5!(F)$) ;
\draw[->,>=latex,semithick] (A)--(8,0,0) ;
\draw[->,>=latex,semithick] (A)--(0,0,9) ;
\fill[draw=none,semithick,fill opacity=0.75,fill=lightgray!50] (A)--(B)--(C)--(G)--(H)--(E)--cycle ;
\fill[draw=none,semithick,fill opacity=0.75,fill=gray!75] (J)--(G)--(H)--cycle ;
\draw[semithick,gray,densely dashed,] (D)--(0,9.35,0) ;
\draw[->,>=latex,semithick] (0,9.35,0)--(0,11.5,0) ;
\draw[thick] (A)--(B)--(F)--(E)--cycle (B)--(C)--(G)--(F)--cycle (F)--(G)--(H)--(E)--cycle;
\draw[thick,densely dashed] (A)--(D) (D)--(C) (D)--(H) ;
\draw[thick,densely dashed,darkgray] (G)--(J)--(H) ;
\draw[thick,darkgray] (J)--(I) (I)--(G) (I)--(H) ;
\foreach \point/\pos in {A/below left,B/below,C/right,D/above left,E/left,F/below left,G/right,H/above,I/below,J/left}
{\filldraw (\point) circle[radius=1.5pt] node[font=\small,\pos] {$\point$} ;}
\draw[->,>=latex] (A)--(1,0,0) node[below,font=\scriptsize] {$\vect{\imath}$} ;
\draw[->,>=latex] (A)--(0,1,0) node[above,font=\scriptsize] {$\vect{\jmath}$} ;
\draw[->,>=latex] (A)--(0,0,1) node[left,font=\scriptsize] {$\vect{k}$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\smallskip
On note $I$ le milieu du segment $[EF]$.
On note $J$ le milieu du segment $[AE]$.
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
\item Soit $\vect{d}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que le vecteur $\vect{d}$ est normal au plan $(IGJ)$.
\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(IGJ)$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, perpendiculaire au plan
$(IGJ)$ et passant par $H$.
\item On note $L$ le projeté orthogonal du point $H$ sur le plan $(IGJ)$.
Montrer que les coordonnées de $L$ sont $\left( \dfrac83 ; \dfrac{4}{3} ; \dfrac{16}{3} \right)$.
\item Calculer la distance du point $H$ au plan $(IGJ)$.
\item Montrer que le triangle $IGJ$ est rectangle en $I$.
\item En déduire le volume du tétraèdre $IGJH$.
On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule : $\mathcal{V} = \dfrac13 \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 4 \dotfill(3 points)}
\medskip
Un biologiste a modélisé l'évolution d'une population de bactéries (en milliers d'entités) par la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(t) = \text{e}^3 - \text{e}^{-0,5t^2+t+2}$ où $t$ désigne le temps en heures depuis le début de l'expérience.
\smallskip
À partir de cette modélisation, il propose les trois affirmations ci-dessous. Pour chacune d'elles, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.
\begin{itemize}
\item Affirmation 1 : « La population augmente en permanence ».
\item Affirmation 2 : « À très long terme, la population dépassera \num{21000} bactéries ».
\item Affirmation 3 : « La population de bactéries aura un effectif de \num{10000} à deux
reprises au cours du temps ».
\end{itemize}
\end{document}