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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1 \dotfill(5 points)}
\medskip
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par : \[g(x) = \ln \left(x^2\right) + x - 2.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
\item On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty[$.
Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$.
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'il existe un unique réel strictement positif $\alpha$ tel que $g(\alpha) = 0$.
\item Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\end{enumerate}
\item En déduire le tableau de signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$.
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie B}
\medskip
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{(x-2)}{x}\ln(x).\]
%
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0.
\item Interpréter graphiquement le résultat.
\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty[$,
Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$.
\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$,
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie C}
\medskip
Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la courbe représentative de la fonction $\ln$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$.
\pagebreak
\section*{Exercice 2 \dotfill(5 points)}
\medskip
Dans un souci de préservation de l'environnement, Monsieur Durand décide de se rendre chaque matin au travail en utilisant son vélo ou les transports en commun.
S'il choisit de prendre les transports en commun un matin, il reprend les transports en commun le lendemain avec une probabilité égale à $0,8$.
S'il utilise son vélo un matin, il reprend son vélo le lendemain avec une probabilité égale à $0,4$.
\medskip
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note:
\begin{itemize}
\item $T_n$ l'évènement \og Monsieur Durand utilise les transports en commun le $n$-ième jour \fg{} ;
\item $V_n$ l'évènement \og Monsieur Durand utilise son vélo le $n$-ième jour \fg{} ;
\item On note $p_n$ la probabilité de l'évènement $T_n$.
\end{itemize}
Le premier matin, il décide d'utiliser les transports en commun. Ainsi, la probabilité de l'évènement $T_1$ est $p_1 = 1$.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les
2\ieme{} et 3\ieme{} jours.
\begin{center}
\def\ArbreDeuxDeux{
$T_2$/$\ldots$/above,$T_3$/$\ldots$/above,$V_3$/$\ldots$/below,
$V_2$/$\ldots$/below,$T_3$/$\ldots$/above,$V_3$/$\ldots$/below
}
\begin{EnvArbreProbasTikz}{\ArbreDeuxDeux}
\draw (R) node[fill=white] {$T_1$} ;
\end{EnvArbreProbasTikz}
\end{center}
%
% \begin{center}
% \psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,levelsep=3cm,labelsep=0.1pt}
% \pstree[treemode=R]{\TR{$T_1$~}}
% {\pstree{\TR{$T_2$~}\taput{$\dots$}}
% {
% \TR{$T_3$~}\taput{$\dots$}
% \TR{$V_3$~}\tbput{$\dots$}
% }
% \pstree{\TR{$V_2$~}\tbput{$\dots$}}
% {\TR{$T_3$~}\taput{$\dots$}
% \TR{$V_3$~}\tbput{$\dots$}
% }
% }
% \end{center}
\item Calculer $p_3$
\item Le 3\ieme{} jour, M. Durand utilise son vélo.
Calculer la probabilité qu'il ait pris les transports en commun la veille.
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les
$n$-ième et $(n + 1)$-ième jours.
\begin{center}
\def\ArbreDeuxDeux{
$T_n$/$p_n$/above,$T_{n+1}$/$\ldots$/above,$V_{n+1}$/$\ldots$/below,
$V_n$/$\ldots$/below,$T_{n+1}$/$\ldots$/above,$V_{n+1}$/$\ldots$/below
}
\ArbreProbasTikz{\ArbreDeuxDeux}
\end{center}
% \begin{center}
% \psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,levelsep=3cm,labelsep=0.1pt}
% \pstree[treemode=R]{\TR{}}
% {\pstree{\TR{$T_n$~}\taput{$p_n$}}
% {
% \TR{$T_{n+1}$~}\taput{$\dots$}
% \TR{$V_{n+1}$~}\tbput{$\dots$}
% }
% \pstree{\TR{$V_n$~}\tbput{$\dots$}}
% {\TR{$T_{n+1}$~}\taput{$\dots$}
% \TR{$V_{n+1}$~}\tbput{$\dots$}
% }
% }
% \end{center}
%
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = 0,2p_n + 0,6$.
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a \[p_n = 0,75 + 0,25 \times 0,2^{n-1}.\]
\item Déterminer la limite de la suite $(p_n)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 3 \dotfill(5 points)}
\medskip
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\ Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\ Les cinq questions sont indépendantes.}
\bigskip
Dans tout l'exercice, $\mathbb{R}$ désigne l'ensemble des nombres réels.
\begin{enumerate}
\item Une primitive de la fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =x\,\text{e}^x$, est la fonction $F$, définie sur $\mathbb{R}$, par :
\smallskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l,m]X[l,m]}}
\textbf{a.}~~$F(x) =\dfrac{x^2}{2}\,\text{e}^x$&\textbf{c.}~~$F(x) = (x + 1)\,\text{e}^x$\\
\textbf{b.}~~$F(x) = (x - 1)\,\text{e}^x$ &\textbf{d.}~~$F(x) =x^2 \, \text{e}^{x^2}$
\end{tblr}
\item On considère la fonction $g$ définie par $g(x) = \ln \left(\dfrac{x - 1}{2x+ 4}\right).$
La fonction $g$ est définie sur :
\smallskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l,m]X[l,m]}}
\textbf{a.}~~$\mathbb{R}$ & \textbf{c.}~~$]-\infty;-2[ \cup ]1;+\infty[$\\
\textbf{c.}~~$]-2;+\infty[$ & \textbf{d.}~~$]-2;1[$
\end{tblr}
\item La fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)= (x + 1)\,\text{e}^{x}$ est :
\smallskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l,m]X[l,m]}}
\textbf{a.}~~concave sur $\mathbb{R}$ & \textbf{c.}~~convexe sur $]-\infty;-3]$ et concave sur $[-3;+\infty[$\\
\textbf{b.}~~convexe sur $\mathbb{R}$ & \textbf{d.}~~concave sur $]-\infty;-3]$ et convexe sur $[-3;+\infty[$
\end{tblr}
\item Une suite $\left(u_n\right)$ est minorée par 3 et converge vers un réel $\ell$.
On peut affirmer que :
\smallskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l,m]X[l,m]}}
\textbf{a.}~~$\ell = 3$ &\textbf{c.}~~La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.\\
\textbf{b.}~~$\ell \geqslant 3$ &\textbf{d.}~~La suite $\left(u_n\right)$ est constante à partir d'un certain rang.
\end{tblr}
\item La suite $\left(w_n\right)$ est définie par $w_1 = 2$ et pour tout entier naturel $n$ strictement positif, $w_{n+1} = \dfrac1n w_n$.
\smallskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l,m]X[l,m]}}
\textbf{a.}~~La suite $\left(w_n\right)$ est géométrique&\textbf{c.}~~$w_5 = \dfrac{1}{15}$\\
\textbf{b.}~~La suite $\left(w_n\right)$ n'admet pas de limite&\textbf{d.}~~La suite $\left(w_n\right)$ converge vers 0.
\end{tblr}
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 4 \dotfill(5 points)}
\medskip
\medskip
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)$, on considère les
points : \[ A(-1;-3;2) \text{, } B(3;-2;6) \text{ et } C(1;2;-4). \]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan que l'on notera $\mathcal{P}$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}$ est normal au plan $\mathcal{P}$.
\item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est $13x - 16y - 9z- 17 = 0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
On note $\mathcal{D}$ la droite passant par le point $F(15;-16;-8)$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.
\item On appelle $E$ le point d'intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $\mathcal{P}$.
Démontrer que le point $E$ a pour coordonnées $(2;0;1)$.
\item Déterminer la valeur exacte de la distance du point $F$ au plan $\mathcal{P}$.
\item Déterminer les coordonnées du ou des point(s) de la droite $\mathcal{D}$ dont la distance au plan $\mathcal{P}$ est égale à la moitié de la distance du point $F$ au plan $\mathcal{P}$.
\end{enumerate}
\end{document}