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%tapuscrit : C. Pierquet
%sujet fourni par Pauline Des Moutis
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bproba/.style = {edge label = {node[inner sep=1pt,below=5pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids en-dessous
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\newcommand\qcmdeux[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
(c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
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(a)~~#1 & (b)~~#2 & (c)~~#3 & (d)~~#4 \\
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1\dotfill{}(5 points)} %exo1
\medskip
On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête 1 représenté ci-contre.
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-1.5\baselineskip]
\begin{tikzpicture}[x={(-140:1.35cm)},y={(0:2.43cm)},z={(90:2.25cm)}]
%placement des points avec labels
\PlacePointsEspace{A/0,0,0/hd B/0,1,0/bd C/1,1,0/b D/1,0,0/b E/0,0,1/hg F/0,1,1/hd G/1,1,1/hg H/1,0,1/hg K/1,0.5,1/h}
%segments pointillés
\TraceSegmentsEspace[thick,dashed]{A/D A/B A/E}
%segments pleins
\TraceSegmentsEspace[thick]{D/C C/B B/F F/E E/H H/D H/G F/G G/C}
%Marques points
\MarquePointsEspace{A,B,C,D,E,F,G,H,K}
%Axes
\draw[thick] (D)--++(0.75,0,0) node[above] {$x$} ;
\draw[thick] (B)--++(0,0.6,0) node[above left] {$y$} ;
\draw[thick] (E)--++(0,0,0.5) node[below right] {$z$} ;
\end{tikzpicture}
\end{wrapstuff}
\smallskip
On note $K$ le milieu du segment $[HG]$.
\smallskip
On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AD},\vect{AB},\vect{AE}\right)$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que les points $C$, $F$ et $K$ définissent un plan.
\item
\begin{enumerate}
\item Donner, sans justifier, les longueurs $KG$, $GF$ et $GC$.
\item Calculer l'aire du triangle $FGC$.
\item Calculer le volume du tétraèdre $FGCK$.
\bigskip
On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par :%
\[ \mathcal{V}=\frac13 \mathcal{B} \times h, \]%
où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.\hfill~%
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On note $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$.
Démontrer que $\vect{n}$ est normal au plan $(CFK)$.
\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(CFK)$ est :%
\[ x+2y+z-3=0. \]
\end{enumerate}
\item On note $\Delta$ la droite passant par le point $G$ et orthogonale au plan $(CFK)$.
Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :%
\[ \begin{dcases} x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{dcases} \qquad (t \in \R). \]
\item Soit $L$ le point d'intersection entre la droite $A$ et le plan $(CFK)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point $L$.
\item En déduire que $LG = \dfrac{\sqrt{6}}{6}$.
\end{enumerate}
\item En utilisant la question \textbf{2.}, déterminer la valeur exacte de l'aire du triangle $CFK$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 2\dotfill{}(5 points)} %exo2
\medskip
On considère la fonction $f$, définie sur $\intervFO{0}{+\infty}$ par :%
\[ f(x)=x\,\e^{-x}. \]
%
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\intervFO{0}{+\infty}$.
On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
\begin{enumerate}
\item En remarquant que pour tout $x$ dans $\intervFO{0}{+\infty}$, on a $f(x) = \frac{x}{\e^x}$, démontrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède une asymptote en $+\infty$ dont on donnera une équation.
\item Démontrer que pour tout réel $x$ appartenant à $\intervFO{0}{+\infty}$ :%
\[ f'(x)=(1-x)\,\e^{-x}. \]
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\intervFO{0}{+\infty}$, sur lequel on fera figurer les valeurs aux bornes ainsi que la valeur exacte de l'extremum.
\item Déterminer, sur l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$, le nombre de solutions de l'équation :%
\[ f(x)=\frac{367}{\num{1000}}. \]
\item On admet que pour tout $x$ appartenant à $\intervFO{0}{+\infty}$ :%
\[ f''(x)= \e^{-x} (x-2). \]
%
Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$.
\item Soit $a$ un réel appartenant à $\intervFO{0}{+\infty}$ et $A$ le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$.
\begin{wrapstuff}[r]
\begin{tikzpicture}[x=2cm,y=10cm,xmin=0,xmax=3,ymin=0,ymax=0.45]
\draw[semithick] (-0.5,0)--(\xmax,0) ;
\draw[semithick] (0,0)--(0,\ymax) ;
\CourbeTikz[thick,blue,samples=250]{\x*exp(-\x)}{0:\xmax}
\draw[blue] (2.25,0.23714) node[above] {$\mathcal{C}_f$} ;
\draw[thick,dashed] (0.75,0) node[below] {$a$} --++ (0,{0.75*exp(-0.75)}) ;
\draw[thick,teal] (0,{0.75^2*exp(-0.75)})--({1.75},{0.25*exp(-0.75)*1.75+0.75^2*exp(-0.75)}) node[pos=0.75,above] {$T_a$};
\draw[thick,->,>=latex] (-0.25,0)--++(0,{0.75^2*exp(-0.75)}) node[midway,left] {$g(a)$};
\draw[thick,densely dashed] (-0.25,{0.75^2*exp(-0.75)})--++(0.25,0) ;
\filldraw (0.75,{0.75*exp(-0.75)}) circle[fill,radius=1.5pt] node[above] {$A$} ;
\filldraw (0,{0.75^2*exp(-0.75)}) circle[fill,radius=1.5pt] node[above left] {$H_a$} ;
\end{tikzpicture}
\end{wrapstuff}
On note $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A$.
On note $H_a$ le point d'intersection de la droite $T_a$ et de l'axe des ordonnées.
On note $g(a)$ l'ordonnée de $H_a$.
La situation est représentée sur la figure ci-contre.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item[]
\begin{enumerate}
\item Démontrer qu’une équation réduite de la tangente $T_a$ est : \[y=\left( (1-a)\,\e^{-a} \right) \times x + a^2 \, \e^{-a}.\]
\item En déduire l'expression de $g(a)$.
\item Démontrer que $g(a)$ est maximum lorsque $A$ est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.\\
\emph{Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\pagebreak
\section*{Exercice 3\dotfill{}(5 points)} %exo3
\medskip
On considère la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$ :%
\[ u_{n+1} = \frac{-u_n-4}{u_n+3}. \]%
On admet que $u_n$ est défini pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$
\item On considère la fonction \texttt{terme} ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python :
\smallskip
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=7cm]{}
def terme(n) :
u = ......
for i in range(n) :
u = ......
return(u)
\end{CodePythonLstAlt}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
On rappelle qu'en langage Python,\\
\og \texttt{i \textcolor{CouleurVertForet}{in} \textcolor{magenta}{range}(n)} \fg{} signifie que \texttt{i} varie de \texttt{0} à \texttt{n-1}.
\end{minipage}
\hfill~
\smallskip
Recopier et compléter le cadre ci-dessus de sorte que, pour tout entier naturel $n$, l'instruction \texttt{terme(n)} renvoie la valeur de $u_n$.
\item Soit la fonction $f$ définie sur $\intervOO{-3}{+\infty}$ par :%
\[ f(x)=\frac{-x-4}{x+3}. \]%
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=f\big(u_n\big)$.
Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\intervOO{-3}{+\infty}$.
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :%
\[ -2 < u_{n+1} \leqslant u_n. \]
\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :%
\[ v_n = \frac{1}{u_n+2}. \]
\begin{enumerate}
\item Donner $v_0$.
\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison 1.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$ :%
\[ u_n = \frac{1}{n+0,5}-2. \]
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 4\dotfill{}(5 points)} %exo4
\medskip
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n'enlève de point.}
\medskip
\hfill\textbf{\large L'énoncé ci-dessous est commun aux questions 1. et 2.}\hfill~
\medskip
Les 200 adhérents d’un club sont des filles ou des garçons. Ces adhérents pratiquent l'aviron ou le basket selon la répartition figurant dans le tableau ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tblr}{vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid},hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid},colspec={*{4}{Q[m,c,3cm]}}}
& \textbf{Aviron} & \textbf{Basket} & \textbf{Total} \\
\textbf{Filles} & 25 & 80 & 105 \\
\textbf{Garçon} & 50 & 45 & 95 \\
\textbf{Total} & 75 & 125 & 200 \\
\end{tblr}
\end{center}
On choisit un adhérent au hasard et on considère les évènements suivants
:
\smallskip
\hfill{}$F$ : l'adhérent est une fille. \hfill{}A : l'adhérent pratique l’aviron.\hfill~
\begin{enumerate}
\item La probabilité de $F$ sachant $A$ est égale à :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
\textbf{a.}~~$\frac{25}{100}$ &
\textbf{b.}~~$\frac{25}{75}$ &
\textbf{c.}~~$\frac{25}{105}$ &
\textbf{d.}~~$\frac{75}{105}$
\end{tblr}
\item La probabilité de l'événement $A \cup F$ est égale à :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
\textbf{a.}~~$\frac{9}{10}$ &
\textbf{b.}~~$\frac{1}{8}$ &
\textbf{c.}~~$\frac{31}{40}$ &
\textbf{d.}~~$\frac{5}{36}$
\end{tblr}
\end{enumerate}
\begin{center}
$\ast\ast$
\vspace*{-0.5\baselineskip}
$\ast$
\end{center}
\hfill\textbf{\large L'énoncé ci-dessous est commun aux questions 3. et 4.}\hfill~
\medskip
\begin{wrapstuff}[r]
\begin{tikzpicture}
\node[draw,rectangle] (Maison) at (0,0) {Maison} ;
\node[draw,rectangle] (Travail) at (4,0) {Travail} ;
\node[draw,rectangle] (BUS) at ({0.5*4},1) {BUS} ;
\node[draw,rectangle] (TRAIN) at ({0.5*4},-1) {TRAIN} ;
\draw[ultra thick] (BUS.west) to[bend right] ([xshift=-4pt]Maison.north east) ;
\draw[ultra thick,->,>=latex] (BUS.east) to[bend left] ([xshift=4pt]Travail.north west) ;
\draw[ultra thick] (TRAIN.west) to[bend left] ([xshift=-4pt]Maison.south east) ;
\draw[ultra thick,->,>=latex] (TRAIN.east) to[bend right] ([xshift=4pt]Travail.south west) ;
\end{tikzpicture}
\end{wrapstuff}
Pour se rendre à son travail, Albert peut utiliser au choix le bus ou le train.
\smallskip
La probabilité que le bus soit en panne est égale à $b$.
La probabilité que le train soit en panne est égale à $t$.
Les pannes de bus et de train surviennent de façon indépendante.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item La probabilité $p_1$, que le bus ou le train soient en panne est égale à :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
\textbf{a.}~~$p_1=bt$ &
\textbf{b.}~~$p_1=1-bt$ &
\textbf{c.}~~$p_1=b+t$ &
\textbf{d.}~~$p_1=b+t-bt$
\end{tblr}
\item La probabilité $p_2$ que Albert puisse se rendre à son travail est égale à :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
\textbf{a.}~~$p_2=bt$ &
\textbf{b.}~~$p_2=1-bt$ &
\textbf{c.}~~$p_2=b+t$ &
\textbf{d.}~~$p_2=b+t-bt$
\end{tblr}
\end{enumerate}
\begin{center}
$\ast\ast$
\vspace*{-0.5\baselineskip}
$\ast$
\end{center}
\begin{enumerate}[resume]
\item On considère une pièce de monnaie pour laquelle la probabilité d'obtenir FACE est égale à $x$. On lance la pièce $n$ fois. Les lancers sont indépendants.
La probabilité $p$ d'obtenir au moins une fois FACE sur les $n$ lancers est égale à :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
\textbf{a.}~~$p=x^n$ &
\textbf{b.}~~$p=(1-x)^n$ &
\textbf{c.}~~$p=1-x^n$ &
\textbf{d.}~~$p=1-(1-x)^n$
\end{tblr}
\end{enumerate}
\end{document}