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\title{\nomfichier}
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%divers
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1 [PROBABILITÉS]\dotfill(4 points)}
\medskip
\emph{Les parties \text{A} et \text{B} peuvent être traitées indépendamment}
\medskip
Les utilisateurs de vélo d'une ville sont classés en deux catégories disjointes:
\begin{itemize}
\item ceux qui utilisent le vélo dans leurs déplacements professionnels ;
\item ceux qui utilisent le vélo uniquement pour leurs loisirs.
\end{itemize}
Un sondage donne les résultats suivants:
\begin{itemize}
\item 21\,\% des utilisateurs ont moins de 35 ans.
Parmi eux, 68\,\% utilisent leur vélo uniquement pour leurs loisirs alors que les autres l'utilisent dans leurs déplacements professionnels ;
\item parmi les 35 ans ou plus, seuls 20\,\% utilisent leur vélo dans leurs déplacements professionnels, les autres l'utilisent uniquement pour leurs loisirs.
\end{itemize}
On interroge au hasard un utilisateur de vélo de cette ville.
Dans tout l'exercice on considère les évènements suivants:
\begin{itemize}
\item $J$ : \og la personne interrogée a moins de 35 ans \fg{} ;
\item $T$ : \og la personne interrogée utilise le vélo dans ses déplacements professionnels \fg{} ;
\item $\overline{J}$ et $\overline{T}$ sont les évènements contraires de $J$ et $T$.
\end{itemize}
\textbf{Partie A}
\smallskip
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la personne interrogée ait moins de $35$~ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels.
\emph{On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.}
\item Calculer la valeur exacte de la probabilité de $T$.
\item On considère à présent un habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels.
Démontrer que la probabilité qu'il ait moins de 35 ans est $0,30$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\medskip
Dans cette partie, on s'intéresse uniquement aux personnes utilisant leur vélo dans leurs déplacements professionnels.
\medskip
On admet que 30\,\% d'entre elles ont moins de $35$~ans.
On sélectionne au hasard parmi elles un échantillon de $120$~personnes auxquelles on va soumettre un questionnaire supplémentaire.
On assimile la sélection de cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.
\medskip
On demande à chaque individu de cet échantillon son âge.
\medskip
X représente le nombre de personnes de l'échantillon ayant moins de $35$~ans.
\medskip
\emph{Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.}
\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
\item Calculer la probabilité qu'au moins $50$ utilisateurs de vélo parmi les $120$ aient moins de $35$~ans.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
\section*{Exercice 2 [ESPACE]\dotfill(5 points)}
\medskip
L'espace est muni d'un repère orthonormée $\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$.
On considère :
\begin{itemize}
\item $d_1$ la droite passant par le point $H(2;3;0)$ et de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ ;
\item $d_2$ la droite de représentation paramétrique : \[ \begin{dcases}x=2k-3\\y=k\\z=5\end{dcases} \: \text{ où } k \text{ décrit } \mathbb{R}.\]
\end{itemize}
Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d'une droite $\Delta$ qui soit perpendiculaire aux droites $d_1$ et $d_2$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer un vecteur directeur $\vect{v}$ de la droite $d_2$.
\item Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
\item Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas sécantes.
\item Quelle est la position relative des droites $d_1$ et $d_2$ ?
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Vérifier que le vecteur $\vect{w}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}$ est orthogonal à $\vect{u}$ et à $\vect{v}$.
\item On considère le plan $P$ passant par le point $H$ et dirigé par les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{w}$.
On admet qu'une équation cartésienne de ce plan est : \[5x + 4y - z - 22 = 0.\]
%
Démontrer que l'intersection du plan $P$ et de la droite $d_2$ est le point $M(3;3;5)$.
\end{enumerate}
\item Soit $\Delta$ la droite de vecteur directeur $\vect{w}$ passant par le point $M$.
Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc donnée par : \[ \begin{dcases}x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\end{dcases} \: \text{ où } r \text{ décrit } \mathbb{R}.\]
\begin{enumerate}
\item Justifier que les droites $\Delta$ et $d_1$ sont perpendiculaires en un point L dont on déterminera les coordonnées.
\item Expliquer pourquoi la droite $\Delta$ est solution du problème posé.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
\section*{Exercice 3 [FONCTION EXPON, ALGORITHMIQUE]\dotfill(5 points)}
\medskip
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation :} La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^x - x$ est convexe.
\item \textbf{Affirmation :} L'équation $\left(2\text{e}^x - 6\right)\left(\text{e}^x + 2\right) = 0$ admet $\ln (3)$ comme unique solution dans $\mathbb{R}$.
\item \textbf{Affirmation :} \[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{\text{e}^x - x} = 0.\]
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (6x + 5)\text{e}^{3x}$ et soit $F$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$F(x) = (2x + 1)\text{e}^{3x} + 4$.
\textbf{Affirmation :} $F$ est la primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ qui prend la valeur 5 quand $x = 0$.
\item On considère la fonction \texttt{mystere} définie ci-dessous qui prend une liste \texttt{L} de nombres en paramètre.
On rappelle que \texttt{len(L)} représente la longueur de la liste \texttt{L}.
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=10cm]{center}
def mystere(L) :
S = 0
for i in range(len(L))
S = S + L[i]
return S / len(L)
\end{CodePythonLstAlt}
\textbf{Affirmation :} L'exécution de \texttt{mystere([1,9,9,5,0,3,6,12,0,5])} renvoie \texttt{50}.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
\section*{Exercice 4 [SUITES, FONCTIONS]\dotfill(5 points)}
\medskip
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = - 1$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = 0,9u_n - 0,3.\]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = 2 \times 0,9^n - 3$.
\item En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $- 3 < u_n \leqslant - 1$.
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et préciser sa limite.
\end{enumerate}
\item On se propose d'étudier la fonction $g$ définie sur $]-3;-1]$ par : \[g(x) = \ln (0,5 x + 1,5) - x.\]
\begin{enumerate}
\item Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction $g$ (limites, variations, image de $-1$).
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[double distance=3pt]
\tkzTabInit[lgt=4]{$x$/1,variations de $g$/2}{$-3$,$-2$,$-1$}
\tkzTabVar{D-/$-\infty$,+/$g(-2)$,-/$1$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item En déduire que l'équation $g(x) = 0$ a exactement une solution que l'on notera $\alpha$ et dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-3}$.
\end{enumerate}
\item Dans la suite de l'exercice, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $ \in \mathbb{N}$, par : \[v_n = \ln \left(0,5 u_n + 1,5\right).\]
\begin{enumerate}
\item En utilisant la formule donnée à la question \textbf{1.(a)}, démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $\ln (0,9)$.
\item Soit $n$ un entier naturel.
Démontrer que $u_n = v_n$ si, et seulement si $g\left(u_n\right) = 0$.
\item Démontrer qu'il n'existe aucun rang $k \in \mathbb{N}$ pour lequel $u_k = \alpha$.
\item En déduire qu'il n'existe aucun rang $k \in \mathbb{N}$ pour lequel $v_k = u_k$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}