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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1 [PROBABILITÉS ET SUITES]\dotfill(5 points)}
\medskip
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment}
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d’entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente, que :
\begin{itemize}
\item si l’athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans 90\,\% des cas le jour suivant ;
\item si l’athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans 70\,\% des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.
\end{itemize}
On note pour tout entier naturel $n$ :
\begin{itemize}
\item $R_n$ l'événement : « L’athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$-ième séance »,
\item $p_n$ la probabilité de l'événement $R_n$. On considère que $p_0=0,6$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel, recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.
\begin{center}
\def\ArbreDeuxDeux{
$R_n$/$p_n$/above,$R_{n+1}$/$\ldots$/above,$\overline{R_{n+1}}$/$\ldots$/below,
$\overline{R_{n}}$/$1-p_n$/below,$R_{n+1}$/$\ldots$/above,$\overline{R_{n+1}}$/$\ldots$/below
}
\ArbreProbasTikz{\ArbreDeuxDeux}
\end{center}
\item Justifier en vous aidant de l’arbre que, pour tout entier naturel $n$, on a :\[ p_{n+1}=0,6p_n+0,3. \]
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = p_n - 0,75$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $p_n = 0,75 - 0,15 \times 0,6^n$.
\item En déduire que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
\item Interpréter la valeur de $\ell$ dans le cadre de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Après de nombreuses séances d'entraînement, l’entraineur estime maintenant que l’athlète franchit chaque haie avec une probabilité de $0,75$ et ce indépendamment d’avoir franchi ou non les haies précédentes.
\smallskip
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l’athlète à l’issue d’un 400 mètres haies qui comporte 10 haies.
\begin{enumerate}
\item Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
\item Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que l’athlète franchisse les 10 haies.
\item Calculer $P(X \geqslant 9)$, à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\section*{Exercice 2 [ESPACE]\dotfill(5 points)}
\medskip
L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O;\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k})$.
On considère :
\begin{itemize}
\item le point $A(1;-1;-1)$ ;
\item le plan $\mathcal{P}_1$ d’équation : $5x + 2y + 4z = 17$ ;
\item le plan $\mathcal{P}_2$ d’équation : $10x + 14y + 3z = 19$ ;
\item la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique : \[ \begin{dcases} x=1+2t \\ y=-t \\ z=3-2t \end{dcases} \text{ où } t \text{ décrit } \mathbb{R}. \]
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles.
\item Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite d’intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
\item
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $A$ n’appartient pas à $\mathcal{P}_1$.
\item Justifier que $A$ n’appartient pas à $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
\item Pour tout réel $t$, on note $M$ le point de $\mathcal{D}$ de coordonnées $(1+2t;-t;3-2t)$.
On considère alors $f$ la fonction qui à tout réel $t$ associe $AM^2$, soit $f(t)=AM^2$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $t$, on a : $f(t)=9t^2-18t+17$.
\item Démontrer que la distance $AM$ est minimale lorsque $M$ a pour coordonnées $(3;-1;1)$.
\end{enumerate}
\item On note $H$ le point de coordonnées $(3;-1;1)$. Démontrer que la droite $(AH)$ est perpendiculaire à $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 3 [FONCTIONS]\dotfill(5 points)}
\medskip
\textit{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.}
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
Le plan est ramené à un repère orthogonal. On a représenté ci-dessous la courbe d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, ainsi que celle de sa dérivée $f'$ et de sa dérivée seconde $f''$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1.8cm,y=0.9cm,xgrilles=1,ygrilles=1,xmin=0,ymin=-4,xmax=8,ymax=5]
\FenetreSimpleTikz(ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0){0,1,...,7}{-4,-3,...,4}
\draw[very thick,red] plot[smooth] coordinates {%
\xintthecoords\xintfloatexpr
seq((x,4/(1+exp(-3*x+12))),x=0..[0.1]..+8)
\relax
};
\draw[very thick,blue] plot[smooth] coordinates {%
\xintthecoords\xintfloatexpr
seq( ( x , (12*exp(12-3*x))/(1+exp(12-3*x))**2 ),x=0..[0.1]..+8)
\relax
};
\draw[very thick,CouleurVertForet] plot[smooth] coordinates {%
\xintthecoords\xintfloatexpr
seq( ( x , -(36*(exp(12+6*x)-exp(24+3*x)))/(exp(12) + exp(3*x))**3 ),x=0..[0.1]..+8)
\relax
};
\draw[CouleurVertForet] (4.35,-1.75) node[font=\Large] {$\mathcal{C}_1$} ;
\draw[blue] (4.75,1.65) node[font=\Large] {$\mathcal{C}_3$} ;
\draw[red] (4.75,4.15) node[font=\Large] {$\mathcal{C}_2$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.
\item Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_2$ au point d’abscisse $4$.
\item Donner, avec la précision permise par le graphique, l’abscisse de chaque point
d’inflexion de la courbe $\mathcal{C}_1$.
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Soit un réel $k$ strictement positif. On considère la fonction $g$ définie sur R par : \[ g(x)= \dfrac{4}{1+\text{e}^{-x}}. \]
%
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\item Prouver que $g'(0)=k$.
\item En admettant le résultat ci-dessous obtenu avec un logiciel de calcul formel, prouver que la courbe de $g$ admet un point d’inflexion au point d’abscisse 0.
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
%ENTETE
\draw[semithick,fill=lightgray!50] (0,0) rectangle (10,-0.85) ;
\draw (0,-0.425) node[right=4pt,font=\Large\sffamily] {$\blacktriangleright$ Calcul formel} ;
\draw[semithick,darkgray] ({9.25},{-0.1}) rectangle++(0.65,-0.65) ;
\draw[thick,darkgray] (9.35,-0.2)--++(0.45,-0.45) (9.35,-0.65)--++(0.45,0.45) ;
%LIGNE1
\draw[semithick,fill=cyan!25] (0,-0.85) rectangle (1,-3.85) node[midway,font=\LARGE\sffamily] {1} ;
\draw[semithick] (1,-0.85) rectangle (10,-3.85) ;
\draw (1.25,-1.6) node[font=\sffamily\Large,right] {g(x)=4/(1+e\textasciicircum(-k x))} ;
\draw (1.25,-2.725) node[font=\LARGE,right] {$\rightarrow$ \: $\mathsf{g(x)=\dfrac{4}{e^{-kx}+1}}$} ;
%LIGNE2
\draw[semithick,fill=cyan!25] (0,-3.85) rectangle (1,-6.85) node[midway,font=\LARGE\sffamily] {2} ;
\draw[semithick] (1,-3.85) rectangle (10,-6.85) ;
\draw (1.25,-4.6) node[font=\sffamily\Large,right] {Simplifier(g"(x))} ;
\draw (1.25,-5.725) node[font=\LARGE,right] {$\rightarrow$ \: $\mathsf{g''(x)=-4e^{kx}\big(e^{kx}-1\big)\dfrac{k^2}{\big(e^{kx}+1\big)^3}}$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace{5mm}
\section*{Exercice 3 [SUITES, LN, ALGO]\dotfill(5 points)}
\medskip
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
\medskip
\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation} : La suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par$u_n = \frac{(-1)^n}{n+1}$ est bornée.
\item \textbf{Affirmation} : Toute suite bornée est convergente.
\item \textbf{Affirmation} : Toute suite croissante tend vers $+\infty$.
\item Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\ln(x^2+2x+2)$.
\smallskip
\textbf{Affirmation} : La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[-3;1]$.
\item On considère la fonction \texttt{mystere} définie ci-dessous qui prend une liste \texttt{L} de nombres en paramètre. On rappelle que \texttt{len(L)} renvoie la longueur, c’est-à-dire le nombre d’éléments de la liste \texttt{L}.
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=13cm]{center}
def mystere(L) :
M = L[0]
#On initialise M avec le premier élément de la liste L
for i in range(len(L)) :
if L[i] > M :
M = L[i]
return M
\end{CodePythonLstAlt}
\textbf{Affirmation} : L’exécution de \texttt{mystere([2,3,7,0,6,3,2,0,5])} renvoie \texttt{7}.
\end{enumerate}
\end{document}