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fleche/.style = {edge={thick}},
aproba/.style = {edge label = {node[inner sep=1pt,above=5pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
bproba/.style = {edge label = {node[inner sep=1pt,below=5pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids en-dessous
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%divers
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\newcommand\qcmdeux[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
(c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1\dotfill{}(5 points)} %exo1
\medskip
Un commerçant vend deux types de matelas: matelas RESSORTS et matelas MOUSSE.
On suppose que chaque client achète un seul matelas.
On dispose des informations suivantes :
\begin{itemize}
\item 20\,\% des clients achètent un matelas RESSORTS.
Parmi eux, 90\,\% sont satisfaits de leur achat.
\item 82\,\% des clients sont satisfaits de leur achat.
\end{itemize}
\emph{Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.}
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
On choisit au hasard un client et on note les évènements :
\begin{itemize}
\item $R$ : \og le client achète un matelas RESSORTS \fg,
\item $S$ : \og le client est satisfait de son achat \fg.
\end{itemize}
On note $x = P_{\overline{R}}(S)$, où $P_{\overline{R}}(S)$ désigne la probabilité de $S$ sachant que $R$ n'est pas réalisé.
\begin{wrapstuff}[r]
\begin{forest} for tree = {grow'=0,math content,l=2.5cm,s sep=0.5cm},
[,name=Omega
[R , fleche , aproba=\ldots , name=A11
[S , fleche , aproba=\ldots , name=A21]
[\overline{S} , fleche , bproba=\ldots , name=A22]
]
[\overline{R} , fleche , bproba=\ldots , name=A12
[S , fleche , aproba=x , name=A23]
[\overline{S} , fleche , bproba=\ldots , name=A24]
]
]
\end{forest}
\end{wrapstuff}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre décrivant la situation.
\item Démontrer que $x = 0,8$.
\item On choisit un client satisfait de son achat.
Quelle est la probabilité qu'il ait acheté un matelas RESSORTS ?
On arrondira le résultat à $10^{-2}$.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\smallskip
\begin{enumerate}
\item On choisit 5 clients au hasard.
On considère la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces 5 clients.
\begin{enumerate}
\item On admet que $X$ suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.
\item Déterminer la probabilité qu'au plus trois clients soient satisfaits de leur achat.
On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.
On choisit à présent $n$ clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.
\begin{enumerate}
\item On note $p_n$ la probabilité que les $n$ clients soient tous satisfaits de leur achat.
Démontrer que $p_n = 0,82^n$.
\item Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $p_n < 0,01$.
Interpréter dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\section*{Exercice 2\dotfill{}(5 points)} %exo2
\medskip
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$, \[u_{n +1} = \dfrac{6u_n + 2}{u_n +5}.\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{6x + 2 }{x +5}.\]
%
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0;+\infty[$.
En déduire que pour tout réel $x > 2$, on a $f(x) > 2$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a $u_n > 2$.
\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[u_{n+1} - u_n = \dfrac{\left(2 - u_n\right)\left(u_n + 1\right)}{u_n +5}.\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel par : \[v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 1}.\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $v_1$.
\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac47$.
\item Déterminer, en justifiant, la limite de $\left(v_n\right)$.
En déduire la limite de $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}
\item On considère la fonction \textsf{Python} \texttt{seuil} ci-dessous, où \texttt{A} est un nombre réel strictement plus grand que 2.
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=7cm]{center}
def seuil(A) :
n = 0
u = 8
while u > A :
u = (6*u + 2) / (u + 5)
n = n+1
return n
\end{CodePythonLstAlt}
Donner, sans justification, la valeur renvoyée par la commande \texttt{seuil(2.001)} puis interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 3\dotfill{}(5 points)} %exo3
\medskip
On se place dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\Rijk$.
On considère le point $A(1;1;0)$ et le vecteur $\vect{u}\begin{pmatrix}0\\2\\- 1\end{pmatrix}$.
On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation : $x + 4y + 2z + 1 = 0$.
\begin{enumerate}
\item On note $(d)$ la droite passant par A et dirigée par le vecteur $\vect{u}$.
Déterminer une représentation paramétrique de $(d)$.
\item Justifier que la droite $(d)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants en un point B dont les coordonnées sont $(1;-1;1)$.
\item On considère le point $(1;-1;-1)$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
\item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
\item Soit $H$ le milieu du segment $[BC]$.
Calculer la longueur $AH$ puis l'aire du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\item Soit $D$ le point de coordonnées $(0;-1;1)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la droite $(BD)$ est une hauteur de la pyramide $ABCD$.
\item Déduire des questions précédentes le volume de la pyramide $ABCD$.
\end{enumerate}
\hfill On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par: \[V = \dfrac13 \mathcal{B} \times h,\] où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.\hfill~
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 4\dotfill{}(5 points)} %exo4
\medskip
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n'enlève de point.}
\medskip
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2x\,\e^x$.
Le nombre de solutions sur $\R$ de l'équation $f(x) = - \dfrac{73}{100}$ est égal à :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
(a)~~0 &(b)~~1 &(c)~~2&(d)~~une infinité.
\end{tblr}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : \[g(x) = \dfrac{x+ 1}{\e^x}.\]
%
La limite de la fonction $g$ en $- \infty$ est égale à :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
(a)~~ $-\infty$&(b)~~ $+\infty$ &(c)~~ 0&(d)~~elle n'existe pas.
\end{tblr}
\item On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par : \[h(x) = (4x - 16)\e^{2x}.\]
%
On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère orthogonal.
On peut affirmer que:
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~ $h$ est convexe sur $\R$.&(b)~~ $\mathcal{C}_h$ possède un point d'inflexion en $x = 3$.\\
(c)~~ $h$ est concave sur $\R$.&(d)~~ $\mathcal{C}_h$ possède un point d'inflexion en $x = 3,5$.
\end{tblr}
\item On considère la fonction $k$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par : \[k(x) = 3 \ln (x) - x.\]
%
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $k$ dans un repère orthonormé.
On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x = \e$.
Une équation de $T$ est:
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~$y = (3 - \e)x$&(b)~~$y = \left(\dfrac{3 - \e}{\e}\right)x$\\
(c)~~$y = \left(\dfrac{3}{\e}- 1\right)x + 1$&(d)~~$y = (\e - 1)x + 1$
\end{tblr}
\item On considère l'équation $[\ln (x)]^2 + 10 \ln (x) + 21 = 0$, avec $x \in ]0;+\infty[$.
Le nombre de solutions de cette équation est égal à :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
(a)~~0&(b)~~1&(c)~~2&(d)~~une infinité.
\end{tblr}
\end{enumerate}
\end{document}