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%divers
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\newcommand\qcmdeux[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
(c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
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\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 & (c)~~#3 & (d)~~#4 \\
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1\dotfill{}(5 points)} %exo1
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.\\Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\Aucune justification n’est demandée.}
\bigskip
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[ f(x)=x\e^{x^2-3}. \]
Une des primitives $F$ de la fonction $f$ sur $\R$ est définie par :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
\textbf{a.}~~$F(x)=2x\e^{x^2-3}$ & \textbf{b.}~~$F(x)=\big(2x^2+1\big)\e^{x^2-3}$ \\
\textbf{c.}~~$F(x)=\frac12 x\e^{x^2-3}$ & \textbf{d.}~~$F(x)=\frac12 \e^{x^2-3}$
\end{tblr}
\item On considère la suite $\suiten$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ u_n = \e^{2n+1}. \]
La suite $\suiten$ est :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
\textbf{a.}~~arithmétique de raison 2 & \textbf{b.}~~géométrique de raison $\e$ \\
\textbf{c.}~~géométrique de raison $\e^2$ & \textbf{d.}~~convergente vers $\e$
\end{tblr}
\end{enumerate}
Pour les questions \textbf{3.} et \textbf{4.}, on considère la suite $\suiten$ définie sur $\N$ par : \[ u_0=15 \text{ et, pour tout entier naturel }n \text{ : } u_{n+1}=1,2u_n+12. \]
\begin{enumerate}[resume]
\item La fonction \textsf{Python} suivante, dont la ligne \textsf{4} est incomplète, doit renvoyer la plus petite valeur de l’entier $n$ telle que$u_n > \num{10000}$.
\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=7cm]{center}
def seuil() :
n = 0
u = 15
while ........:
n = n+1
u = 1.2∗u + 12
return(n)
\end{CodePythonLstAlt}
À la ligne \textsf{4}, on complète par :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
\textbf{a.}~~\texttt{u <= 10000} & \textbf{b.}~~\texttt{u = 10000} & \textbf{c.}~~\texttt{u > 10000} & \textbf{d.}~~\texttt{n <= 10000}
\end{tblr}
\item On considère la suite $\suiten[v]$ définie sur $\N$ par : $v_n = u_n +60$.
La suite $\suiten[v]$ est :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
\textbf{a.}~~une suite décroissante & \textbf{b.}~~une suite géométrique de raison $1,2$ \\ \textbf{c.}~~une suite arithmétique de raison 60 & \textbf{d.}~~une suite ni géométrique ni arithmétique
\end{tblr}
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\section*{Exercice 2\dotfill{}(5 points)} %exo2
\medskip
L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Rijk$.
On considère les points :
\hfill$A(1;0;-1)$, $B(3;-1;2)$, $C(2;-2;-1)$ et $D(4;-1;-2)$.\hfill~
\smallskip
On note $\Delta$ la droite de représentation paramétrique : \[ \begin{dcases} x = 0 \\ y = 2+t \\ z = -1+t \end{dcases} \text{, avec } t \in \R. \]
%
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan que l’on notera $\mathcal{P}$.
\item Montrer que la droite $(CD)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
Sur le plan $\mathcal{P}$, que représente le point $C$ par rapport à $D$ ?
\item Montrer qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est : $2x+y-z-3 = 0$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la distance $CD$.
\item Existe-t-il un point $M$ du plan $\mathcal{P}$ différent de $C$ vérifiant $MD = \sqrt{6}$ ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que la droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
\item Soit $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur la droite $\Delta$.
Montrer que $H$ est le point de $\Delta$ associé à la valeur $t = -2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ donnée ci-dessus.
\item En déduire la distance du point $D$ à la droite $\Delta$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\section*{Exercice 3\dotfill{}(5 points)} %exo3
\medskip
\textit{Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes.}
\textit{Les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ près.}
\smallskip
Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif.
Dans une population, ce test donne les résultats suivants :
\begin{itemize}
\item si un individu est allergique, le test est positif dans 97\,\% des cas ;
\item Si un individu n’est pas allergique, le test est négatif dans $95,7$\,\% des cas.
\end{itemize}
Par ailleurs, 20\,\% des individus de la population concernée présentent un test positif.
\smallskip
On choisit au hasard un individu dans la population, et on note :
\begin{itemize}
\item $A$ l’évènement « l’individu est allergique » ;
\item $T$ l’évènement « l’individu présente un test positif ».
\end{itemize}
On notera $\overline{A}$ et $\overline{T}$ les évènements contraires de $A$ et $T$.
On appelle par ailleurs $x$ la probabilité de l’évènement $A$ : $x = p(A)$.
\medskip
\textbf{Partie A}
\begin{wrapstuff}[r]
\ArbreProbasTikz[EspaceNiveau=2]{$A$/$x$/above,$T$/$\ldots$/above,$\overline{T}$/$\ldots$/below,
$\overline{A}$/$\ldots$/below,$T$/$\ldots$/above,$\overline{T}$/$\ldots$/below}
\end{wrapstuff}
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l’arbre ci-contre décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer l’égalité : $p(T) = 0,927x +0,043$.
\item En déduire la probabilité que l’individu choisi soit allergique.
\end{enumerate}
\item Justifier par un calcul l’affirmation suivante :
\og Si le test d’un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de 80\,\% de chances que cet individu soit allergique \fg.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
On réalise une enquête sur les allergies dans une ville en interrogeant 150 habitants choisis au hasard, et on admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.
On sait que la probabilité qu’un habitant choisi au hasard dans cette ville soit allergique est égale à $0,08$.
On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de 150 habitants choisis au hasard associe le nombre de personnes allergiques dans cet échantillon.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ?
Préciser ses paramètres.
\item Déterminer la probabilité que 20 personnes exactement parmi les 150 interrogées soient allergiques.
\item Déterminer la probabilité qu’au moins 10\,\% des personnes parmi les 150 interrogées soient allergiques.
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\section*{Exercice 4\dotfill{}(5 points)} %exo4
\medskip
\textbf{PARTIE A}
\medskip
On définit sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ la fonction $g$ par : \[ g(x)=\frac2x - \frac{1}{x^2}+\ln(x) \text{ où } \ln \text{ désigne la fonction logarithme népérien. } \]
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty} = I$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour $x > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui du trinôme du second degré $\big(x^2-2x+2\big)$
\item En déduire que la fonction g est strictement croissante sur $\intervOO{0}{+\infty}$.
\item Montrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur l’intervalle $\intervFF{0,5}{1}$, que l’on notera $\alpha$.
\item On donne le tableau de signes de $g$ sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty} = I$ :
%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[double distance=4pt]
\tkzTabInit{$x$/1,$g(x)$/1}{$0$,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,-,z,+,}
\end{tikzpicture}
\end{center}
%
Justifier ce tableau de signes à l’aide des résultats obtenus aux questions précédentes.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{PARTIE B}
\medskip
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty} = I$ par : \[ f(x)=\e^x \ln(x). \]
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$, on note $f'$ sa fonction dérivée, $f''$ sa fonction dérivée seconde et on admet que, pour tout nombre réel $x > 0$ : \[ f'(x)=\e^x \left(\frac1x+\ln(x)\right). \]
%
Démontrer que, pour tout réel $x > 0$, on a : $f''(x) = \e^x \left(\frac2x-\frac{1}{x^2}+\ln(x)\right)$.
\smallskip
On pourra remarquer que pour tout réel $x > 0$, $f''(x) = \e^x \times g(x)$, où $g$ désigne la fonction étudiée dans la partie \textbf{A}.
\item
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$. Justifier.
\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d’inflexion $A$.
\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. Justifier.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
\item Montrer que $f'(\alpha) = \dfrac{\e^{\alpha}}{\alpha^2}(1-\alpha)$.
On rappelle que $\alpha$ est l’unique solution de l’équation $g(x) = 0$.
\item Démontrer que $f'(\alpha)>0$ et en déduire le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $\intervOO{0}{+\infty}$.
\item En déduire le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}