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\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
(c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
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(a)~~#1 & (b)~~#2 & (c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
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\usetikzlibrary{hobby}
%script python
\begin{scontents}[overwrite,write-out=as2024j1exo1.py]
from math import exp
def f(x) :
return (20*x+8)*exp(-1/4*x)
def solution_equation() :
a, b = 14, 15
while b-a > 0.1 :
m = (a+b) / 2
if f(m) > 8 :
a = m
else :
b = m
return a, b
\end{scontents}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1\dotfill{}(5 points)} %exo1
\medskip
\textbf{PARTIE A}
\medskip
On considère l’équation différentielle \[ \big(E\big)\::\:y'+\frac14y=20\e^{-\frac14x}, \]
%
d’inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur du réel $a$ tel que la fonction $g$ définie sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par $g(x) = ax\e^{-\frac14x}$ soit une solution particulière de l’équation différentielle $\big(E\big)$.
\item On considère l’équation différentielle \[ \big(E'\big)\::\:y'+\frac14y=0, \]
%
d’inconnue y, fonction définie et dérivable sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$.
Déterminer les solutions de l’équation différentielle $\big(E'\big)$.
\item En déduire les solutions de l’équation différentielle $\big(E\big)$.
\item Déterminer la solution $f$ de l’équation différentielle $\big(E\big)$ telle que $f(0) = 8$.
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{PARTIE B}
\medskip
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par \[ f(x)=(20x+8)\e^{-\frac14x}. \]
%
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. De plus, on admet que $\lim\lim\limits_{x\to+\infty} f (x) = 0$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout réel $x$ positif, \[ f'(x)= (18x-5)\e^{-\frac14x}. \]
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. On précisera la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question on s’intéresse à l’équation $f (x) = 8$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que l’équation $f (x) = 8$ admet une unique solution, notée $\alpha$, dans l’intervalle $\IntervalleFF{14}{15}$.
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction, écrite en langage \textsf{Python}, \texttt{solution\_equation} ci-contre.
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{tblr}{width=0.975\linewidth,hlines,vlines,colspec={Q[c,m]c*{4}{X[m,c]}}, cell{Y-Z}{Z}={gray}}
$a$ &14 &&&&\\
$b$ &15 &&&&\\
$b-a$ &1 &&&&\\
$m$ &$14,5$ &&&&\\
{Condition\\$f(m)<8$}&FAUX&&&&\\
\end{tblr}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\CodePythonLstFichierAlt*[0.75\linewidth]{center}{as2024j1exo1.py}
\end{minipage}
\medskip
\item Quel est l’objectif de la fonction \texttt{solution\_equation} dans le contexte de la question ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\section*{Exercice 2\dotfill{}(6 points)} %exo2
\medskip
On dispose de deux urnes opaques $U_1$ et $U_2$.
L’urne $U_1$ contient 4 boules noires et 6 boules blanches.
L’urne $U_2$ contient 1 boule noire et 3 boules blanches.
\smallskip
On considère l’expérience aléatoire suivante.
On pioche au hasard une boule dans $U_1$ que l’on place dans $U_2$, puis on pioche au hasard une boule dans $U_2$.
\smallskip
On note :
\begin{itemize}
\item $N_1$ l’évènement « Piocher une boule noire dans l’urne $U_1$ » ;
\item $N_2$ l’évènement « Piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ ».
\end{itemize}
Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ son évènement contraire.
\medskip
\textbf{PARTIE A}
\smallskip
\begin{enumerate}
\item On considère l’arbre de probabilités ci-contre.
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-0.5\baselineskip]
\def\ArbreDeuxDeux{
$N_1$//above,
$N_2$//above,
$\overline{N_2}$//above,
$\overline{N_1}$//above,
$N_2$/\num{0.2}/,
$\overline{N_2}$//above
}
\ArbreProbasTikz[EspaceNiveau=2.25]{\ArbreDeuxDeux}
\end{wrapstuff}
\begin{enumerate}
\item Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ sachant qu’on a pioché une boule blanche dans l’urne $U_1$ est $0,2$.
\item Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-contre, en faisant apparaître sur chaque branche les probabilités des évènements concernés, sous forme décimale.
\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_1$ et une boule noire dans l’urne $U_2$.
\item Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ est égale à $0,28$.
\item On a pioché une boule noire dans l’urne $U_2$. Calculer la probabilité d’avoir pioché une boule blanche dans l’urne $U_1$. On donnera
le résultat sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$.
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{PARTIE B}
\medskip
$n$ désigne un entier naturel non nul.
L’expérience aléatoire précédente est répétée n fois de façon identique et indépendante, c’est-à-dire que les urnes $U_1$ et $U_2$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l’urne $U_1$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l’urne $U_2$, entre chaque expérience.
\smallskip
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on pioche une boule noire dans l’urne $U_2$.
\smallskip
On rappelle que la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ est égale à $0,28$ et celle de piocher une boule blanche dans l’urne $U_2$ est égale à $0,72$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité suivie par $X$. Justifier votre réponse.
\item Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$1-0,72^n \geqslant 0,9$.
\item Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’expérience.
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{PARTIE C}
\medskip
Dans cette partie les urnes $U_1$ et $U_2$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l’urne $U_1$ et 1 boule noire et 3 boules
blanches dans l’urne $U_2$.
\smallskip
On considère la nouvelle expérience aléatoire suivante.
On pioche simultanément deux boules dans l’urne $U_1$ que l’on place dans l’urne $U_2$, puis on pioche au hasard une boule dans l’urne $U_2$.
\begin{enumerate}
\item Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l’urne $U_1$ ?
\item Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l’urne $U_1$ contenant exactement une boule blanche et une boule noire ?
\item La probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ avec cette nouvelle expérience est- elle supérieure à la probabilité de tirer une boule noire dans l’urne $U_2$ avec l’expérience de la \textbf{partie A} ? Justifier votre réponse. \textit{On pourra s’aider d’un arbre pondéré modélisant cette expérience.}
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\section*{Exercice 3\dotfill{}(4 points)} %exo3
\medskip
Répondre par VRAI ou FAUX à chacune des affirmations suivantes et justifier votre réponse.
Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte dans la notation. Toutes les questions de cet exercice sont indépendantes.
\smallskip
\begin{enumerate}
\item On considère la suite \Suite{u} définie pour tout entier naturel non nul $n$ par $u_n = \frac{25+(-1)^n}{n}$.
\medskip
\textbf{Affirmation 1} : La suite \Suite{u} est divergente.
\item On considère la suite $\Suite{w}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\begin{dcases} w_0 = 1 \\ w_{n+1}=\frac{w_n}{1+w_n} \end{dcases}$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $w_n > 0$.
On considère la suite $\Suite{t}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $t_n = \frac{k}{w_n}$ où $k$ est un nombre réel strictement positif.
\medskip
\textbf{Affirmation 2} : La suite $\Suite{t}$ est une suite arithmétique strictement croissante.
\item On considère la suite $\Suite{v}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\begin{dcases} v_0 = 1 \\ v_{n+1}=\ln\big(1+v_n\big) \end{dcases}$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $v_n > 0$.
\medskip
\textbf{Affirmation 3} : La suite $\Suite{v}$ est décroissante.
\item On considère la suite $\Suite{I}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \displaystyle\int_1^{\e} {\big(\ln(x)\big)}^n \dx$.
\medskip
\textbf{Affirmation 4} : Pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1} = \e-(n+1)I_n$.
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\section*{Exercice 4\dotfill{}(5 points)} %exo4
\medskip
L’objectif de cet exercice est de déterminer la distance entre deux droites non coplanaires.
\smallskip
Par définition, la distance entre deux droites non coplanaires de l’espace, $(d_1)$ et $(d_2)$ est la longueur du segment $[EF]$, où $E$ et $F$ sont des points appartenant respectivement à $(d_1)$ et à $(d_2)$ tels que la droite $(EF)$ est orthogonale à $(d_1)$ et $(d_2)$.
\smallskip
L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Rijk$.
\smallskip
Soit $(d_1)$ la droite passant par $A(1;2;-1)$ de vecteur directeur $\Vecteur*{u}[1] \CoordVecEsp{1}{2}{0}$ et $(d_2)$ la droite dont
une représentation paramétrique est : $\begin{dcases} x = 0 \\ y = 1+ t \\z = 2+ t\end{dcases}$, $t \in \R$.
\begin{enumerate}
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $(d_1)$.
\item Démontrer que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont non coplanaires.
\item Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A$ et dirigé par les vecteurs non colinéaires $\Vecteur*{u}[1]$ et $\Vecteur{w} \CoordVecEsp{2}{-1}{1}$.
Justifier qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est : $-2x + y +5z +5 = 0$.
\item
\begin{enumerate}
\item Sans chercher à calculer les coordonnées du point d’intersection, justifier que la droite $(d_2)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants.
\item On note $F$ le point d’intersection de la droite $(d_2)$ et du plan $\mathcal{P}$.
Vérifier que le point $F$ a pour coordonnées $\CoordPtEsp{0}{-\frac53}{-\frac23}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Soit $(\delta)$ la droite passant par $F$ et de vecteur directeur $\Vecteur{w}$. On admet que les droites $(\delta)$ et $(d_1)$ sont sécantes en un point $E$ de coordonnées $\CoordPtEsp{-\frac23}{-\frac43}{-1}$.
\begin{enumerate}[resume]
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que la distance $EF$ est la distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
\item Calculer la distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}