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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1\dotfill{}(5 points)} %exo1
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
On définit la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$ par \[ f(x)=\frac{0,96x}{0,93x+0,03}. \]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$, \[ f'(x)=\frac{\num{0,0288}}{(0,93x+0,03)^2}. \]
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$.
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie B}
\medskip
La lutte contre le dopage passe notamment par la réalisation de contrôles antidopage qui visent à déterminer si un sportif a fait usage de substances interdites.
Lors d'une compétition rassemblant \num{1000} sportifs, une équipe médicale teste tous les concurrents. On propose d'étudier la fiabilité de ce test.
\medskip
On appelle $x$ le réel compris entre 0 et 1 qui désigne la proportion de sportifs dopés.
\medskip
Lors de l'élaboration de ce test, on a pu déterminer que :
\begin{itemize}
\item la probabilité qu'un sportif soit déclaré positif sachant qu'il est dopé est égale à $0,96$ ;
\item la probabilité qu'un sportif déclaré positif sachant qu' il n'est pas dopé est égale à $0,03$.
\end{itemize}
On note :
\begin{itemize}
\item $D$ l'événement: « le sportif est dopé » ;
\item $T$ l'événement : « le test est positif »
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous :
\begin{Centrage}
\ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{$D$/$x$/,$T$/\numdots/,$\overline{T}$/\numdots/,$\overline{D}$/$1-x$/,$T$/\numdots/,$\overline{T}$/\numdots/}
\end{Centrage}
\item Déterminer, en fonction de $x$ la probabilité qu'un sportif soit dopé et ait un test positif.
\item Démontrer que la probabilité de l'événement $T$ est égale à $0,93x + 0,03$.
\item Pour cette question uniquement, on suppose qu'il y a 50 sportifs dopés parmi les \num{1000} testés.
La fonction $f$ désigne la fonction définie à la \textbf{partie A}.
Démontrer que la probabilité qu'un sportif soit dopé sachant que son test est positif est égale à $f(0,05)$. En donner une valeur arrondie au centième.
\item On appelle valeur prédictive positive d'un test la probabilité que le sportif soit réellement dopé lorsque le résultat du test est positif.
\begin{enumerate}
\item Déterminer à partir de quelle valeur de $x$ la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à $0,9$. \textit{Arrondir le résultat au centième.}
\item Un responsable de la compétition décide de ne plus tester l'ensemble des sportifs, mais de cibler les sportifs les plus performants supposés être plus fréquemment dopés.
Quelle est la conséquence de cette décision sur la valeur prédictive positive du test ? \textit{Argumenter en utilisant un résultat de la \textbf{Partie A}.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\section*{Exercice 2\dotfill{}(5 points)} %exo2
\medskip
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$ par $f(x)=2x\,\e^{-x}$.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Résoudre sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$ l'équation $f(x)=x$.
\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$, $f'(x)=2(1-x)\e^{-x}$.
\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
On considère la suite $\Suite{u}$ définie par $u_0=0,1$ et pour tout entier naturel $n$, \[ u_{n+1}=f\big(u_n\big).\]
\begin{enumerate}[resume]
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel, $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$.
\item En déduire que la suite $\Suite{u}$ est convergente.
\end{enumerate}
\item Démontrer que la limite de la suite $\Suite{u}$ est $\ln(2)$.
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $\ln(2)-u_n$ est positif.
\item On souhaite écrire un script \textsf{Python} qui renvoie une valeur approchée de $\ln(2)$ par défaut à $10^{-4}$ près, ainsi que le nombre d'étapes pour y parvenir.
Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu'il réponde au problème posé.
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=0.5\linewidth]{center}
def seuil() :
n = 0
u = 0.1
while ln(2) - u ... 0.0001 :
n = n+1
u = ...
return (u, n)
\end{CodePythonLstAlt}
\item Donner la valeur de la variable \texttt{n} renvoyée par la fonction \texttt{seuil()}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\section*{Exercice 3\dotfill{}(5 points)} %exo3
\medskip
On considère l'équation différentielle $\big(E_0\big)$ : $y'=y$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'unique fonction constante solution de l'équation différentielle $\big(E_0\big)$ est la fonction nulle.
\item Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle $\big(E_0\big)$.
\end{enumerate}
On considère l'équation différentielle $\big(E\big)$ : $y'=y-\cos(x)-3\sin(x)$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.
\begin{enumerate}[resume]
\item La fonction $h$ est définie sur $\R$ par $h(x) = 2\cos(x) + \sin(x)$.
On admet qu'elle est dérivable sur $\R$.
Démontrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $\big(E\big)$.
\item On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.
Démontrer que : « $f$ est solution de $\big(E\big)$ » est équivalent à « $f-h$ est solution de $\big(E_0\big)$ ».
\item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $\big(E\big)$.
\item Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle $\big(E\big)$ telle que $g(0) = 0$.
\item Calculer : \[ \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \left(-2\e^{x}+\sin(x)+2\cos(x)\right)\dx. \]
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\section*{Exercice 4\dotfill{}(5 points)} %exo4
\medskip
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$.
On considère :
\begin{itemize}
\item les points $A(-2;0;2)$, $B(-1;3;0)$, $C(1;-1;2)$ et $D(0;0;3)$ ;
\item la droite $\mathcal{D}_1$ dont une représentation paramétrique est $\begin{dcases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\end{dcases}$ avec $t \in \R$ ;
\item la droite $\mathcal{D}_2$ dont une représentation paramétrique est $\begin{dcases}x=1+3s\\y=-1-5s\\z=2-6s\end{dcases}$ avec $s \in \R$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le vecteur $\Vecteur{n}\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : \[ x+3y+5z-8=0. \]
\item En déduire que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que la droite $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $D$.
\end{enumerate}
On admet que la droite $\mathcal{D}_2$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $C$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
\item Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$. \textit{Arrondir le résultat au centième.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}