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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
%{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet\ (secours)}
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1\dotfill{}(5 points)} %exo1
\medskip
La directrice d'une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l'examen de fin d'étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.
\smallskip
Pour cette étude, on demande aux étudiants à l'issue de l'examen de répondre individuellement à la question : \og Pensez-vous avoir réussi l'examen ? \fg. Seules les réponses \og oui \fg\ ou \og non \fg\ sont possibles, et on observe que 91,7\,\% des étudiants interrogés ont répondu \og oui \fg.
\smallskip
Suite à la publication des résultats à l'examen, on découvre que :
\begin{itemize}
\item 65\,\% des étudiants ayant échoué ont répondu \og non \fg\ ;
\item 98\,\% des étudiants qui ont réussi on répondu \og oui \fg.
\end{itemize}
On interroge au hasard un étudiant qui a passé l'examen.
\smallskip
On note $R$ l'évènement \og l'étudiant a réussi l'examen \fg\ et $Q$ l'évènement \og l'étudiant a répondu \og oui \fg\ à la question \fg.
\smallskip
Pour un évènement $A$ quelconque, on note $P(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ sont évènement contraire.
\medskip
\textit{\textbf{Dans tout l'exercice, les probabilités seront, si besoin, arrondies à $\bm{10^{-3}}$ près.}}
\begin{wrapstuff}[r]
\ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto,EspaceNiveau=2,EspaceFeuille=0.75]{$R$/$x$/,$Q$/\numdots/,$\overline{Q}$/\numdots/,$\overline{R}$/\numdots/,$Q$/\numdots/,$\overline{Q}$/\numdots/}
\end{wrapstuff}
\begin{enumerate}
\item Préciser les valeurs des probabilités $P(Q)$ et $P_{\overline{R}} \big(\overline{Q}\big)$.
\item On note $x$ la probabilité que l'étudiant interrogé ait réussi l'examen.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre.
\item Montrer que $x=0,9$.
\end{enumerate}
\item L'étudiant interrogé a répondu « oui » à la question.
Quelle est la probabilité qu'il ait réussi l'examen ?
\item La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre 0 et 20 . On suppose qu'elle est modélisée par une variable aléatoire $N$ qui suit la loi binomiale de paramètres $(20;0,615)$. La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.
À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que 65\,\% des étudiants soient récompensés ?
\item On interroge au hasard dix étudiants.
Les variables aléatoires $N_{1}$, $N_{2}$, \ldots, $N_{10}$ modélisent la note sur 20 obtenue à l'examen par chacun d'entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres $(20;0,615)$.
Soit $S$ la variable définie par $S=N_{1}+N_{2}+\ldots+N_{10}$.
Calculer l'espérance $E(S)$ et la variance $V(S)$ de la variable aléatoire $S$.
\item On considère la variable aléatoire $M=\frac{S}{10}$.
\begin{enumerate}
\item Que modélise cette variable aléatoire $M$ dans le contexte de l'exercice ?
\item Justifier que $E(M)=12,3$ et $V(M)=\num{0,47355}$.
\item À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l'affirmation ci-dessous.
\medskip
« La probabilité que la moyenne des notes des dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre 10,3 et 14,3 est d'au moins 80\,\% ».
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\section*{Exercice 2\dotfill{}(5 points)} %exo2
\medskip
\textit{Les parties A et B sont indépendantes.}
\medskip
Alain possède une piscine qui contient $50~\text{m}^{3}$ d'eau. On rappelle que $1~\text{m}^{3}=\num{1000}~\text{L}$.
Pour désinfecter l'eau, il doit ajouter du chlore.
\smallskip
Le taux de chlore dans l'eau, exprimé en $\text{mg.L}^{-1}$, est défini comme la masse de chlore par unité de volume d'eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre 1 et 3~$\text{mg.L}^{-1}$.
\smallskip
Sous l'action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.
Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à $0,01~\text{mg.L}^{-1}$. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de $0,70~\text{mg.L}^{-1}$.
\medskip
\textbf{Partie A : étude d'un modèle discret.}
\medskip
Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d'ajouter chaque jour une quantité de 15~g de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l'eau de la piscine.
\begin{enumerate}
\item Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0,3~\text{mg.L}^{-1}$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ le taux de chlore, en $\text{mg.L}^{-1}$, obtenu avec ce nouveau protocole $n$ jours après le mercredi 19 juin. Ainsi $v_{0}=0,7$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=0,92v_{n}+0,3$.
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n, v_{n} \leqslant v_{n+1} \leqslant 4$.
\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente et calculer sa limite.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{wrapstuff}[r]
\begin{minipage}{5.75cm}
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=5.7cm]{center}
def alerte_chlore(s) :
n = 0
v = 0.7
while ................. :
n = ......
v = ......
return n
\end{CodePythonLstAlt}
\end{minipage}
\end{wrapstuff}
\begin{enumerate}[resume]
\item À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse.
\item Reproduire et compléter l'algorithme ci-contre écrit en langage \textsf{Python} pour que la fonction \texttt{alerte\_chlore} renvoie, lorsqu'il existe, le plus petit entier $n$ tel que $v_{n}>s$.
\item Quelle valeur obtient-on en saisissant l'instruction :
\hfill\texttt{alerte\_chlore(3)} ?\hfill~
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B : étude d'un modèle continu.}
\medskip
Alain décide de faire appel à un bureau d'études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.
\smallskip
Dans ce modèle, pour une durée $x$ (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), $f(x)$ représente le taux de chlore, en $\text{mg.L}^{-1}$, dans la piscine.
\smallskip
On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ : $y^{\prime}=-0,08 y+\frac{q}{50}$, où $q$ est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $f$ est de la forme $f(x)=C \e^{-0,08 x}+\frac{q}{4}$ où $C$ est une constante réelle.
\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $q$ la limite de $f$ en $+\infty$.
\item On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à $0,7~\text{mg.L}^{-1}$. On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de $2~\text{mg.L}^{-1}$. Déterminer les valeurs de $C$ et $q$ afin que ces deux conditions soient respectées.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\section*{Exercice 3\dotfill{}(6 points)} %exo3
\medskip
On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\IntervalleOO{-2}{+\infty}$. On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, $f^{\prime}$ sa dérivée et $f^{\prime \prime}$ sa dérivée seconde.
\smallskip
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et sa tangente $T$ au point $B$ d'abscisse $-1$.
\smallskip
On précise que la droite $T$ passe par le point $A(0;-1)$.
\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=4.7cm,y=2.3cm,Xmin=-1.85,Xmax=1.25,Xgrille=0.2,Xgrilles=0.2,Ymin=-3.35,Ymax=1.15,Ygrille=0.5,Ygrilles=0.5]
\TracerAxesGrilles[Grads=false]{-1.8,-1.6,...,1.2}{-3,-2.5,...,1}
\RajouterValeursAxeX{0.2,1}{${0,2}$,$1$}
\RajouterValeursAxeY{0.5,1}{${0,5}$,$1$}
\draw (0,0) node[below left=1.414pt] {$0$} ;
\DefinirCourbe[Nom=cf]{x^2+2*x-1+log(x+2)}
\TracerCourbe[Couleur=red]{f(x)}
\TracerCourbe[Couleur=blue]{x-1}
\MarquerPts{(0,-1)/A/below right,(-1,-2)/B/below right}
\draw[red] (0.3,1) node[font=\large,below] {$\mathcal{C}_{f}$} ;
\draw[blue] (1.1,0.25) node[font=\large] {$T$} ;
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}
\begin{Centrage}
\textbf{Partie A : exploitation du graphique.}
\end{Centrage}
\smallskip
À l'aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.
\begin{enumerate}
\item Préciser $f(-1)$ et $f^{\prime}(-1)$.
\item La courbe $\mathcal{C}_{f}$ est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier.
\item Conjecturer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ et donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ près d'une solution.
\end{enumerate}
\begin{Centrage}
\textbf{Partie B : étude de la fonction $\bm{f}$.}
\end{Centrage}
\smallskip
On considère que la fonction $f$ est définie sur $\IntervalleOO{-2}{+\infty}$ par $f(x)=x^{2}+2x-1+\ln(x+2)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
\begin{enumerate}
\item Déterminer par le calcul la limite de la fonction $f$ en $-2$. Interpréter graphiquement ce résultat.
On admet que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.
\item Montrer que pour tout $x>-2$, $f^{\prime}(x)=\dfrac{2 x^{2}+6 x+5}{x+2}$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\IntervalleOO{-2}{+\infty}$ puis dresser son tableau de variations complet.
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\IntervalleOO{-2}{+\infty}$ et donner une valeur arrondie de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
\item En déduire le signe de $f(x)$ sur $\IntervalleOO{-2}{+\infty}$.
\item Montrer que $\mathcal{C}_{f}$ admet un unique point d'inflexion et déterminer son abscisse.
\end{enumerate}
\begin{Centrage}
\textbf{Partie C : une distance minimale.}
\end{Centrage}
\smallskip
\begin{wrapstuff}[r]
\begin{GraphiqueTikz}[x=5cm,y=5cm,Xmin=-0.3,Xmax=1.075,Xgrille=0.2,Xgrilles=0.2,Ymin=0,Ymax=1.075,Ygrille=0.2,Ygrilles=0.2]
\TracerAxesGrilles[Police=\footnotesize]{-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{0.2,0.4,0.6,0.8,1}
\DefinirCourbe[Trace,Nom=cg,Couleur=teal]{log(x+2)}
\DefinirPts{A/0.3125/0,M/0.3125/{ln(0.3125+2)},J/0/1}
\draw[teal] (-0.2,0.45) node[font=\large,left] {$\mathcal{C}_{g}$} ;
\MarquerPts{(A)/$\vphantom{M}x$/below,(M)/$M$/below right,(J)/$J$/above right}
\draw[pfltraitantec] (A)--(M);
\draw[pflpoint] (M)--(J);
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}
Soit $g$ la fonction définie sur $\IntervalleOO{-2}{+\infty}$ par $g(x)=\ln(x+2)$.
\smallskip
On note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;I,J)$, représentée ci-contre.
\smallskip
Soit $M$ un point de $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $x$.
\smallskip
Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de $x$ la distance $JM$ est minimale.
\smallskip
On considère la fonction $h$ définie sur $\IntervalleOO{-2}{+\infty}$ par
$h(x)=JM^{2}$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout $x>-2$, on a :
$h(x)=x^{2}+[\ln (x+2)-1]^{2}$.
\item On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $\IntervalleOO{-2}{+\infty}$ et on note $h^{\prime}$ sa fonction dérivée.
On admet également que pour tout réel $x>-2$, \[ h^{\prime}(x)=\frac{2 f(x)}{x+2} \]
où $f$ est la fonction étudiée en \textbf{partie B}.
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $h$ sur $\IntervalleOO{-2}{+\infty}$.
\textit{Les limites ne sont pas demandées.}
\item En déduire que la valeur de $x$ pour laquelle la distance $JM$ est minimale est $\alpha$ où $\alpha$ est le nombre réel défini à la question (4) de la \textbf{partie B}.
\end{enumerate}
\item On notera $M_{\alpha}$ le point de $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $\alpha$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\ln(\alpha+2)=1-2\alpha-\alpha^{2}$.
\item En déduire que la tangente à $\mathcal{C}_{g}$ au point $M_{\alpha}$ et la droite $\left(JM_{\alpha}\right)$ sont perpendiculaires.
On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 4\dotfill{}(4 points)} %exo4
\medskip
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
\bigskip
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points suivants : \[ A(2;0;0),~ B(0;4;3),~C(4;4;1),~D(0;0;4) \text{ et } H(-1;1;2). \]
\smallskip
\textbf{Affirmation 1 :} les points $A$, $C$ et $D$ définissent un plan $\mathcal{P}$ d'équation $8x-5y+4z-16=0$.
\smallskip
\textbf{Affirmation 2 :} les points $A, B, C$ et $D$ sont coplanaires.
\smallskip
\textbf{Affirmation 3 :} les droites $(AC)$ et $(BH)$ sont sécantes.
\smallskip
On admet que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $x-y+2 z-2=0$.
\smallskip
\textbf{Affirmation 4 :} le point $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
\end{document}