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%divers
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\begin{document}
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{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.25cm}
\section*{Exercice 1\dotfill{}(5 points)} %exo1
\medskip
Une concession automobile vend deux sortes de véhicules :
\begin{itemize}
\item 60\,\% sont des véhicules tout-électrique ;
\item 40\,\% sont des véhicules hybrides rechargeables.
\end{itemize}
75\,\% des acheteurs de véhicules tout-électrique et 52\,\% des acheteurs de véhicules hybrides ont la possibilité matérielle d’installer une borne de recharge à domicile.
\smallskip
On choisit un acheteur au hasard et on considère les événements suivants :
\begin{itemize}
\item E : « l’acheteur choisit un véhicule tout-électrique » ;
\item B : « l’acheteur a la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile ».
\end{itemize}
\textit{Dans l’ensemble de l’exercice, les probabilités seront arrondies au millième si nécessaire.}
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que l’acheteur choisisse un véhicule tout-électrique et qu’il ait la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile.
\textit{On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.}
\item Démontrer que $P(B) = 0,658$.
\item Un acheteur a la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile. Quelle est la probabilité qu'il choisisse un véhicule tout-électrique ?
\item On choisit un échantillon de 20 acheteurs. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre total d’acheteurs pouvant installer une borne de recharge à leur domicile parmi l’échantillon de 20 acheteurs.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
\item Calculer $P(X = 8)$.
\item Calculer la probabilité qu’au moins 10 acheteurs puissent installer une borne de recharge.
\item Calculer l’espérance de $X$.
\item La directrice de la concession décide d’offrir l’installation de la borne de recharge aux acheteurs ayant la possibilité d’en installer une à leur domicile. Cette installation coûte \num{1200}\,€.
En moyenne, quelle somme doit-elle prévoir d’engager pour cette offre lors de la vente de 20 véhicules ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 2\dotfill{}(6 points)} %exo2
\medskip
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
\smallskip
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie $\R$ par $f(x)=\e^x+x$.
\textbf{Affirmation A} : La fonction $f$ admet pour tableau de variations le tableau ci-dessous :
\begin{Centrage}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=6]{$x$/0.8,variations de $f$/1.6}{$-\infty$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{Centrage}
\textbf{Affirmation B} : L’équation $f(x)=-2$ admet deux solutions dans $\R$.
\item \textbf{Affirmation C} : \[ \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{\ln(x)-x^2+2}{3x^2}=-\frac13. \]
\item On considère la fonction $k$ définie et continue sur $\R$ par \[ k(x) = 1 + 2\e^{-x^2+1}.\]
%
\textbf{Affirmation D} : Il existe une primitive de la fonction $k$ décroissante sur $\R$.
\item On considère l’équation différentielle (E) : $3y'+y=1$.
\textbf{Affirmation E} : La fonction $g$ définie sur $\R$ par \[ g(x)=4\e^{-\frac13x}+1 \]
est solution de l’équation différentielle (E) avec $g(0) = 5$.
\item \textbf{Affirmation F} : Une intégration par parties permet d’obtenir : \[ \int_0^1 x\,\e^{-x} \dx = 1-2\e^{-1}.\]
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 3\dotfill{}(4 points)} %exo3
\medskip
On considère une pyramide à base carrée formée de boules identiques empilées les unes sur les autres :
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-0.25\baselineskip]
%https://tex.stackexchange.com/questions/648153/how-to-create-triangular-pyramid-of-oranges-using-tikz/648243#648243
\tdplotsetmaincoords{67.5}{12.5}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4,tdplot_main_coords]
\tikzstyle{ballstack} = [ball color=teal!50]
\shade[ballstack] (-2.598, 3/2, 0) circle (0.866 cm);
\shade[ballstack] (-0.866, 3/2, 0) circle (0.866 cm);
\shade[ballstack] (0.866, 3/2, 0) circle (0.866 cm);
\shade[ballstack] (2.598, 3/2, 0) circle (0.866 cm);
\shade[ballstack] (-1.732, 0, 0) circle (0.866 cm);
\shade[ballstack] (0, 0, 0) circle (0.866 cm);
\shade[ballstack] (1.732, 0, 0) circle (0.866 cm);
\shade[ballstack] (-0.866, -3/2, 0) circle (0.866 cm);
\shade[ballstack] (0.866, -3/2, 0) circle (0.866 cm);
\shade[ballstack] (0, -3, 0) circle (0.866 cm);
\shade[ballstack] (0, 1, 1.414) circle (0.866 cm);
\shade[ballstack] (-1.732, 1, 1.414) circle (0.866 cm);
\shade[ballstack] (1.732, 1, 1.414) circle (0.866 cm);
\shade[ballstack] (-0.866, -1/2, 1.414) circle (0.866 cm);
\shade[ballstack] (0.866, -1/2, 1.414) circle (0.866 cm);
\shade[ballstack] (0, -2, 1.414) circle (0.866 cm);
\shade[ballstack] (-0.866, 1/2, 2.828) circle (0.866 cm);
\shade[ballstack] (0.866, 1/2, 2.828) circle (0.866 cm);
\shade[ballstack] (0, -1, 2.828) circle (0.866 cm);
\shade[ballstack] (0, 0, 4.242) circle (0.866 cm);
\end{tikzpicture}
\end{wrapstuff}
\begin{itemize}
\item le 1\up{er} étage, situé au niveau le plus haut, est composé de 1 boule ;
\item le 2\up{e} étage, niveau juste en dessous, est composé de 4 boules ;
\item le 3\up{e} étage possède 9 boules ;
\item \ldots
\item le $n$-ième étage possède $n^2$ boules.
\end{itemize}
Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $u_n$ le nombre de boules qui composent le $n$-ième étage en partant du haut de la pyramide. Ainsi, $u_n = n^2$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre total de boules d’une pyramide de 4 étages.
\item On considère la suite $\Suite{S}$ définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par $S_n = u_1+u_2+\ldots+u_n$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $S_5$ et interpréter ce résultat.
\item On considère la fonction \texttt{pyramide} ci-dessous écrite de manière incomplète en langage \textsf{Python}. Recopier et compléter sur la copie le cadre ci-dessous de sorte que, pour tout entier naturel non nul \texttt{n}, l’instruction \texttt{pyramide(n)} renvoie le nombre de boules composant une pyramide de \texttt{n} étages.
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=9cm]{center}
def pyramide(n) :
S = 0
for i in range(1, n+1) :
S = ...
return ...
\end{CodePythonLstAlt}
\item Vérifier que pour tout entier naturel $n$ : \[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 = \frac{(n+1)(n+2)[2(n+1)+1]}{6}. \]
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 1$ : \[ S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \]
\end{enumerate}
\item Un marchand souhaite disposer des oranges en pyramide à base carrée. Il possède 200 oranges. Combien d’oranges utilise-t-il pour construire la plus grande pyramide possible ?
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Exercice 4\dotfill{}(5 points)} %exo4
\medskip
On considère un cube $ABCDEFGH$ et l’espace est rapporté au repère orthonormal \RepereEspace{A}{AB}{AD}{AE}.
Pour tout réel $m$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$, on considère les points $K$ et $L$ de coordonnées : \[ K \CoordPtEsp{m}{0}{0} \text{ et } L \CoordPtEsp{1-m}{1}{1}. \]
\begin{Centrage}
\begin{EnvTikzEspace}[UniteX={-5:0.9cm},UniteY={25:0.5cm},UniteZ={90:1cm}]
\def\LCB{4.8}
%placement des points avec labels
\PlacePointsEspace{A/0,0,0/bg B/\LCB,0,0/b C/\LCB,\LCB,0/d D/0,\LCB,0/hg E/0,0,\LCB/g F/\LCB,0,\LCB/bd G/\LCB,\LCB,\LCB/d H/0,\LCB,\LCB/h}
\PlacePointsEspace{K/1.37,0,0/b L/3.43,\LCB,\LCB/h}
%section
\fill[orange,opacity=0.25] (E)--(L)--(C)--(K)--cycle ;
\TraceSegmentsEspace[very thick,dashed,orange]{K/C C/L}
\TraceSegmentsEspace[very thick,orange]{K/E E/L}
%segments pointillés
\TraceSegmentsEspace[very thick,dashed]{A/D D/C D/H}
%segments pleins
\TraceSegmentsEspace[very thick]{A/B B/C C/G G/H H/E E/A E/F B/F F/G}
%Marques points
\MarquePointsEspace{A,B,C,D,E,F,G,H,K,L}
\end{EnvTikzEspace}
\end{Centrage}
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points $E$ et $C$ dans ce repère.
\item Dans cette question, $m=0$. Ainsi, le point $L\CoordPtEsp{1}{1}{1}$ est confondu avec le point $G$, le
point $K\CoordPtEsp{0}{0}{0}$ est confondu avec le point $A$ et le plan $(LEK)$ est donc le plan $(GEA)$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que le vecteur $\Vecteur{DB} \CoordVecEsp{1}{-1}{0}$ est normal au plan $(GEA)$.
\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(GEA)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
On s’intéresse désormais à la nature de $CKEL$ en fonction du paramètre $m$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Dans cette question, $m$ est un réel quelconque de l’intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $CKEL$ est un parallélogramme.
\item Justifier que $\Vecteur{KC}\cdot\Vecteur{KE}=m(m-1)$.
\item Démontrer que $CKEL$ est un rectangle si, et seulement si, $m = 0$ ou $m = 1$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, $m=\frac12$. Ainsi $L$ a pour coordonnées \CoordPtEsp{\frac12}{1}{1} et $K$ a pour coordonnées \CoordPtEsp{\frac12}{0}{0}.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le parallélogramme $CKEL$ est alors un losange.
\item À l’aide de la question {3.(b)}, déterminer une valeur approchée au degré près de la mesure de l’angle $\widehat{CKE}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}