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\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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\lhead{\footnotesize\sffamily BAC2024}
\chead{\footnotesize\sffamily Préparer l’épreuve de spécialité}
\rhead{\footnotesize\sffamily Terminale Générale}
\lfoot{\footnotesize\sffamily\affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{}
\rfoot{\footnotesize\sffamily\thepage}
\usepackage{decimalcomma}
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\part*{Exercice 1}
\emph{L’exercice est constitué de deux parties indépendantes.}
\medskip
\textbf{\large Partie I}
\medskip
On considère l’équation différentielle \[ (E) \: : \: y'+y=\e^{-x}. \]
\begin{enumerate}
\item Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par $u(x) = x\,\e^{-x}$.
Vérifier que la fonction $u$ est une solution de l’équation différentielle $(E)$.
\item On considère l’équation différentielle $(E')$ : $y'+y=0$.
Résoudre l’équation différentielle $(E')$ sur $\R$.
\item En déduire toutes les solution de l’équation différentielle $(E)$ sur $\R$.
\item Déterminer l’unique solution $g$ de l’équation différentielle $(E)$ telle que $g(0)=2$.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{\large Partie II}
\medskip
Dans cette partie, $k$ est un nombre réel fixé que l’on cherche à déterminer.
On considère la fonction $f_k$ définie sur $\R$ par \[ f_k(x)=(x+k)\,\e^{-x}. \]
%
Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par \[ h(x)=\e^{-x}. \]
%
On note $\Courbe[k]$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un repère orthogonal et $\Courbe$ la courbe représentative de la fonction $h$.
On a représenté sur le graphique en annexe les courbes $\Courbe[k]$ et $\Courbe$ sans indiquer les unités sur les axes ni le nom des courbes.
\begin{enumerate}
\item Sur le graphique en annexe à rendre avec la copie, l’une des courbes est en traits pointillés, l’autre est en trait plein. Laquelle est la courbe $\Courbe$ ?
\item En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel $k$ et placer sur l’annexe à rendre avec la copie l’unité sur chacun des axes du graphique.
\end{enumerate}
\vfill
\textbf{\large Annexe}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1.5cm,y=1.5cm,xmin=-2.5,xmax=4.5,ymin=-0.5,ymax=3]
\AxesTikz
\FenetreTikz
\CourbeTikz[line width=1.25pt,red,samples=250]{exp(-\x)}{\xmin:\xmax}
\CourbeTikz[line width=1.25pt,blue,samples=250,densely dashed]{(\x+2)*exp(-\x)}{\xmin:\xmax}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\pagebreak
\part*{Exercice 2}
\emph{L’exercice est constitué de deux parties indépendantes.}
\medskip
\textbf{\large Partie I}
\medskip
Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on désigne par $f_n$ la fonction définie sur $\IntervalleFF{0}{1}$ par : \[ f_n(x)=x^n\,\e^{x}. \]
%
On note $\Courbe[n]$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère \RepereOij{} du plan.
On désigne par $\Suite{I}$ la suite définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 par : \[ I_n = \int_0^1 f_n(x)\dx. \]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On désigne par $F_1$ la fonction définie sur $\IntervalleFF{0}{1}$ par : \[ F_1(x)=(x-1)\,\e^{x}.\]
%
Vérifier que $F_1$ est une primitive de la fonction $f_1$.
\item Calculer $I_1$.
\end{enumerate}
\item À l’aide d’une intégration par parties, établir la relation pour tout $n$ supérieur ou égal à 1, \[ I_{n+1} = \e - (n+1)I_n. \]
\item Calculer $I_2$.
\item On considère la fonction \piton{mystere} écrite dans le langage \textsf{Python} :
\begin{CodePiton}[Alignement=center,Largeur=13cm,Style=Classique]{}
from math import e # la constante d'Euler e
def mystere(n):
a = 1
L = [a]
for i in range(1, n) :
a = e - (i+1)*a
L.append(a)
return L
\end{CodePiton}
À l’aide des questions précédentes, expliquer ce que renvoie l’appel \piton{mystere(5)}.
\end{enumerate}
\pagebreak
\textbf{\large Partie II}
\begin{enumerate}
\item Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes $\Courbe[1]$, $\Courbe[2]$, $\Courbe[3]$, $\Courbe[10]$, $\Courbe[20]$ et $\Courbe[30]$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=12cm,y=2.4cm,xmin=-0.1,xmax=1.1,xgrille=0.1,xgrilles=0.025,ymin=-0.5,ymax=3,ygrille=0.5,ygrilles=0.1]
\GrilleTikz\AxesTikz[ElargirOx=0,ElargirOy=0]\OrigineTikz[Police=\small]
\AxexTikz[Police=\small]{-0.1,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1}
\AxeyTikz[Police=\small]{-0.5,0.5,1,1.5,2,2.5}
\FenetreTikz
\foreach \k in {1,2,3,10,20,30}{%
\CourbeTikz[thick,darkgray,samples=250]{\x^\k*exp(\x)}{0:1}
}
\foreach \k/\absCk in {1/0.16,2/0.4,3/0.56,10/0.8,20/0.88,30/0.98}{%
\draw[darkgray] (\absCk,0.45) node {$\Courbe[\k]$} ;
}
%\CourbeTikz[thick,darkgray,samples=250]{\x^1*exp(\x)}{0:1}
%\CourbeTikz[thick,darkgray,samples=250]{\x^1*exp(\x)}{0:1}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Donner une interprétation graphique de $I_n$.
\item Quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $\Suite{I}$ ?
\end{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n$ supérieur ou égal à 1, \[ 0 \leqslant I_n \leqslant \e\int_0^1 x^n \dx. \]
\item En déduire $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} I_n$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\part*{Exercice 3}
\medskip
Dans un examen, une épreuve notée sur dix points est constituée de deux exercices : le premier est noté sur deux points, le deuxième sur huit points.
\medskip
\textbf{\large Partie I}
\medskip
Le premier exercice est constitué de deux questions Q1 et Q2.
\smallskip
Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point.
\smallskip
On considère que :
\begin{itemize}
\item Un candidat pris au hasard a une probabilité $0,8$ de répondre correctement à la question Q1.
\item Si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité $0,6$ de répondre correctement à
Q2 ; s’il ne répond pas correctement à Q1, il a une probabilité $0,1$ de répondre correctement
à Q2.
\end{itemize}
On prend un candidat au hasard et on note :
\begin{itemize}
\item $A$ l’événement : « le candidat répond correctement à la question Q1 » ;
\item $B$ l’événement : « le candidat répond correctement à la question Q2 ».
\end{itemize}
On note $\overline{A}$ et $\overline{B}$ les événements contraires de $A$ et de $B$.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter les pointillés de l’arbre pondéré ci-dessous.
\begin{center}
\ArbreProbasTikz{$A$/\ldots/above,$B$/\ldots/above,$\overline{B}$/\ldots/below,
$\overline{A}$/\ldots/below,$B$/\ldots/above,$\overline{B}$/\ldots/below}
\end{center}
\item Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions Q1 et Q2.
\item Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2.
\end{enumerate}
On note :
\begin{itemize}
\item $X_1$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q1 ;
\item $X_2$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q2 ;
\item $X$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l’exercice, c’est-à-dire $X=X_1+X_2$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer l’espérance de $X_1$ et de $X_2$. En déduire l’espérance de $X$. Donner une interprétation de l’espérance de $X$ dans le contexte de l’exercice.
\item On souhaite déterminer la variance de $X$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(X=0)$ et $P(X=2)$. En déduire $P(X=1)$.
\item Montrer que la variance de $X$ vaut $0,57$.
\item A-t-on $\Varianc{X} = \Varianc{X_1} + \Varianc{X_2}$ ? Est-ce surprenant ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{\large Partie II}
\medskip
Le deuxième exercice est constitué de huit questions indépendantes.
\smallskip
Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte et une absence de réponse rapporte zéro point.
\smallskip
Les huit questions sont de même difficulté : pour chacune des questions, un candidat a une probabilité $\nicefrac{3}{4}$ de répondre correctement, indépendamment des autres questions.
\smallskip
On note $Y$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note au deuxième exercice, c’est-à-dire le nombre de bonnes réponses.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Donner la valeur exacte de $P(Y=8)$.
\item Donner l’espérance et la variance de $Y$..
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{\large Partie III}
\medskip
On suppose que les deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes. On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note totale à l’examen : $Z=X+Y$.
\begin{enumerate}
\item Calculer l’espérance et la variance de $Z$.
\item Soit $n$ un nombre entier strictement positif.
Pour $i$ entier variant de 1 à $n$, on note $Z_i$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $n$ élèves, associe la note de l’élève numéro $i$ à l’examen.
On admet que les variables aléatoires $Z_1$, $Z_2$, \ldots, $Z_n$ sont identiques à $Z$ et indépendantes.
\smallskip
On note $M_n$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $n$ élèves, associe la moyenne de leurs $n$ notes, c’est-à-dire \[ M_n = \frac{Z_1+Z_2+\ldots+Z_n}{n}. \]
\begin{enumerate}
\item Quelle est l’espérance de $M_n$ ?
\item Quelles sont les valeurs de $n$ telles que l’écart type de $M_n$ soit inférieur ou égal à $0,5$ ?
\item Pour les valeurs trouvées en (b), montrer que la probabilité que $6,3 \leqslant M_n \leqslant 8,3$ est supérieure ou égale à $0,75$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\part*{Exercice 4}
\medskip
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie.\\
Aucune justification n’est demandée.\\
Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.\\
Les questions sont indépendantes.}
\bigskip
On considère le prisme droit $ABFEDCGH$ tel que $AB = AD$.
Sa base $ABFE$ est un trapèze rectangle en $A$, vérifiant $\Vecteur{BF} = \dfrac12 \Vecteur{AE}$.
On note $I$ le milieu du segment $[EF]$.
On note $J$ le milieu du segment $[AE]$.
On associe à ce prisme le repère orthonormé \RepereEspace{A}{i}{j}{k} tel que :
$\Vecteur{\imath} = \Vecteur{AB}$ ; $\Vecteur{\jmath} = \Vecteur{AD}$ ; $\Vecteur{k} = \Vecteur{AJ}$.
\begin{center}
\begin{EnvTikzEspace}
\def\lgpr{4}
\PlacePointsEspace{A/0,0,0/hd B/\lgpr,0,0/hd C/\lgpr,\lgpr,0/hd D/0,\lgpr,0/hd}
\PlacePointsEspace{E/0,0,{2*\lgpr}/hd F/\lgpr,0,\lgpr/hd G/\lgpr,\lgpr,\lgpr/hd H/0,\lgpr,{2*\lgpr}/hd}
\PlacePointsEspace{I/2,0,{1.5*\lgpr}/hd J/0,0,\lgpr/hd}
\TraceSegmentsEspace[thick,dashed]{A/D D/C D/H}
\TraceSegmentsEspace[thick]{A/B B/C C/G G/H H/E E/A E/F B/F F/G}
\MarquePointsEspace{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J}
\end{EnvTikzEspace}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item On donne les coordonnées de quatre vecteurs dans la base $\left(\Vecteur{\vphantom{t}\imath},\Vecteur{\vphantom{t}\jmath},\Vecteur{\vphantom{t}\smash{k}}\right)$. Lequel est un vecteur normal au plan $(ABG)$ ?
\ReponsesQCM[Labels=(a),EspaceLabels={~~},PoliceLabels={},Largeur=0.9\linewidth]{%
$\Vecteur{n}\CoordVecEsp{1}{1}{1}$ §
$\Vecteur{n}\CoordVecEsp{-1}{1}{1}$ §
$\Vecteur{n}\CoordVecEsp{0}{-1}{1}$ §
$\Vecteur{n}\CoordVecEsp{0}{0}{1}$}
\item Parmi les droites suivantes, laquelle est parallèle à la droite $(IJ)$ ?
\ReponsesQCM[Labels=(a),EspaceLabels={~~},PoliceLabels={},Largeur=0.9\linewidth]{%
$(DG)$ §
$(BD)$ §
$(AG)$ §
$(FG)$}
\item Quels vecteurs forment une base de l’espace ?
\ReponsesQCM[Labels=(a),EspaceLabels={~~},PoliceLabels={},Largeur=0.9\linewidth]{%
$\left(\Vecteur{AB};\Vecteur{CG}\right)$ §
$\left(\Vecteur{AB};\Vecteur{AC};\Vecteur{AD}\right)$ §
$\left(\Vecteur{DA};\Vecteur{DC};\Vecteur{DG}\right)$ §
$\left(\Vecteur{CA};\Vecteur{CG};\Vecteur{CE}\right)$}
\item Une décomposition du vecteur $\Vecteur{AG}$ comme somme de plusieurs vecteurs \textbf{deux à deux orthogonaux} est :
\ReponsesQCM[NbCols=2,Labels=(a),EspaceLabels={~~},PoliceLabels={},Largeur=0.9\linewidth]{%
$\Vecteur{AG}=\Vecteur{AB}+\Vecteur{HG}$ §
$\Vecteur{AG}=\Vecteur{AB}+\Vecteur{AD}+\Vecteur{AJ}$ §
$\Vecteur{AG}=\Vecteur{AB}+\Vecteur{BJ}+\Vecteur{JG}$ §
$\Vecteur{AG}=\Vecteur{AD}+\Vecteur{DH}+\Vecteur{HG}$}
\item Le volume du prisme droit $ABFEDCGH$, est égal à :
\ReponsesQCM[Labels=(a),EspaceLabels={~~},PoliceLabels={},Largeur=0.9\linewidth]{%
$\dfrac58$ §
$\dfrac85$ §
$\dfrac32$ §
$2$}
\end{enumerate}
\pagebreak
\part*{Exercice 5}
\medskip
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie.\\
Aucune justification n’est demandée.\\
Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.\\
Les questions sont indépendantes.}
\bigskip
\begin{enumerate}
\item Sur l’intervalle $\IntervalleFF{0}{2\pi}$, l’équation $\sin(x) = 0,1$ admet :
\medskip
\ReponsesQCM[NbCols=2,Labels=(a),EspaceLabels={~~},PoliceLabels={},Largeur=0.9\linewidth]{%
zéro solution §
une solution §
deux solutions §
quatre solutions}
\item On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\IntervalleFF{0}{\pi}$ par $f(x) = x + \sin(x)$. On admet que $f$ est deux fois dérivable.
\medskip
\ReponsesQCM[NbCols=2,Labels=(a),EspaceLabels={~~},PoliceLabels={},Largeur=0.9\linewidth]{%
La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $\IntervalleFF{0}{\pi}$ §
La fonction $f$ est concave sur l’intervalle $\IntervalleFF{0}{\pi}$ §
La fonction $f$ admet sur l’intervalle $\IntervalleFF{0}{\pi}$ un unique point d’inflexion §
La fonction $f$ admet sur l’intervalle $\IntervalleFF{0}{\pi}$ exactement deux points d’inflexion}
\item Une urne contient cinquante boules numérotées de 1 à 50. On tire successivement trois boules dans cette urne, sans remise. On appelle « tirage » la liste non ordonnée des numéros des trois boules tirées. Quel est le nombre de tirages possibles, \textbf{sans tenir compte de l’ordre des numéros} ?
\medskip
\ReponsesQCM[Labels=(a),EspaceLabels={~~},PoliceLabels={},Largeur=0.9\linewidth]{%
$50^3$ §
$1\times2\times3$ §
$50 \times 49 \times 48$ §
$\dfrac{50 \times 49 \times 48}{1\times2\times3}$}
\item On effectue dix lancers d’une pièce de monnaie. Le résultat d’un lancer est « pile » ou « face ». On note la liste ordonnée des dix résultats. Quel est le nombre de listes ordonnées possibles ?
\medskip
\ReponsesQCM[Labels=(a),EspaceLabels={~~},PoliceLabels={},Largeur=0.9\linewidth]{%
$2\times10$ §
$2^{10}$ §
$1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times 10$ §
$\dfrac{1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times 10}{1\times2}$}
\item On effectue $n$ lancers d’une pièce de monnaie équilibrée.
Le résultat d’un lancer est « pile » ou « face ». On considère la liste ordonnée des $n$ résultats.
Quelle est la probabilité d’obtenir au plus deux fois « pile » dans cette liste ?
\medskip
\ReponsesQCM[NbCols=2,Labels=(a),EspaceLabels={~~},PoliceLabels={},Largeur=0.9\linewidth]{%
$\dfrac{n(n-1)}{2}$ §
$\dfrac{n(n-1)}{2} \times \left(\dfrac12\right)^n$ §
$1+n+\dfrac{n(n-1)}{2}$ §
$\left(1+n+\dfrac{n(n-1)}{2}\right) \times \left(\dfrac12\right)^n$}
\end{enumerate}
\pagebreak
\part*{Exercice 6}
\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\
Chaque réponse doit être justifiée.\\
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
\medskip
On considère la suite $\Suite{u}$ définie par $\begin{dcases} u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1+2u_n} \text{ pour tout entier naturel }n \\ u_0 = 1 \end{dcases}$.
\medskip
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item \textbf{Affirmation 1 :} \og $u_4=\dfrac{1}{9}$ \fg.
\item \textbf{Affirmation 2 :} \og Pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{1}{2n+1}$ \fg.
\item \textbf{Affirmation 3 :} \og La suite numérique $\Suite{u}$ est minorée par $10^{-10}$ \fg.
\end{itemize}
\pagebreak
\part*{Exercice 7}
\medskip
On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\R$ par $f_k(x)=x + k\,\e^{-x}$, où $k$ est un réel strictement positif.
\begin{enumerate}
\item On s’intéresse dans cette question au cas $k = 0,5$, donc à la fonction $f_{0,5}$ définie sur $\R$ par \[f_{0,5}(x)=x + 0,5\,\e^{-x}.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que la dérivée de $f_{0,5}$ notée $f'_{0,5}$ vérifie $f'_{0,5}(x) = 1-0,5\,\e^{-x}$.
\item Montrer que la fonction $f_{0,5}$ admet un minimum en $\ln(0,5)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Soit $k$ un réel strictement positif. On donne le tableau de variations de la fonction $f_k$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=4]{Valeurs de $x$/1,Varaitions de $f_k$/2}{$-\infty$,$\ln(k)$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/$+\infty$,-/$f_k(\ln(k))$,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que pour tout réel positif $k$, $f_k(\ln(k)) = \ln(k) + 1$.
\end{enumerate}
On note $\Courbe[k]$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d’un repère orthonormé.
On note $A_k$ le point de la courbe $\Courbe[k]$ d’abscisse $\ln(k)$.
\smallskip
On a représenté ci-dessous quelques courbes $\Courbe[k]$ pour différentes valeurs de $k$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xmin=-4,xmax=9,ymin=0,ymax=9]
\AxesTikz[ElargirOx=0,ElargirOy=0]
\AxexTikz{-4,-3,...,8}\AxeyTikz{1,...,8}
\FenetreTikz
\foreach \k in {0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5}{%
\CourbeTikz[very thick,darkgray,samples=500]{\x+\k*exp(-\x)}{\xmin:\xmax}
\filldraw[darkgray] ({ln(\k)},{ln(\k)+\k*exp(-ln(\k))}) circle[radius=2pt] ;
}
\draw[darkgray] ({ln(0.5)},{ln(0.5)+0.5*exp(-ln(0.5))}) node[above=1pt,inner sep=1pt,font=\footnotesize] {$A_{0,5}$} ;
\draw[darkgray] ({ln(1)},{ln(1)+1*exp(-ln(1))}) node[right=1pt,inner sep=1pt,font=\footnotesize] {$A_{1}$} ;
\draw[darkgray] ({ln(1.5)},{ln(1.5)+1.5*exp(-ln(1.5))}) node[above=1pt,inner sep=1pt,font=\footnotesize] {$A_{1,5}$} ;
\draw[darkgray] ({ln(5)},{ln(5)+5*exp(-ln(5))}) node[above=1pt,inner sep=1pt,font=\footnotesize] {$A_{5}$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}[resume]
\item Indiquer si l’affirmation suivante est vraie ou fausse. Justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
\begin{itemize}
\item \textbf{Affirmation :} « Pour tout réel $k$ strictement positif, les points $A_{0,5}$, $A_{1}$ et $A_k$ sont alignés. »
\end{itemize}
\end{enumerate}
\pagebreak
\part*{Exercice 8}
\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\
Chaque réponse doit être justifiée.\\
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
\bigskip
On considère la suite $\Suite{u}$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 3u_n+1$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction \piton{calcul} écrite dans le langage \textsf{Python} qui renvoie la valeur de $u_n$.
\begin{CodePiton}[Alignement=center,Largeur=8cm,Style=Classique,Gobble=tabs]{}
def calcul(n) :
u = 0
for i in range(n) :
u = 3*u + 1
return u
\end{CodePiton}
On considère par ailleurs la fonction \piton{liste} écrite dans le langage \textsf{Python} :
\begin{CodePiton}[Alignement=center,Largeur=8cm,Style=Classique,Gobble=tabs]{}
def liste(n) :
l = [ ]
for i in range(n) :
l.append( calcul(i) )
return l
\end{CodePiton}
\medskip
\textbf{Affirmation 1 :} \og L'appel \piton{liste(6)} renvoie la liste \piton{[0, 1, 4, 13, 42, 121]}. \fg
\item \textbf{Affirmation 2 :} « Pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac12 \times 3^n - \dfrac12$. »
\item \textbf{Affirmation 3 :} « Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n$ est une puissance de 3. »
\end{enumerate}
\end{document}