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\begin{document}

\pagestyle{fancy}

{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}

\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}

\vspace{0.25cm}

\hrulefill~\textsf{Le candidat traite trois des \textbf{4 exercices} proposés.}~\hrulefill

\vspace{0.25cm}

\section*{Exercice 1 [Thème : Probabilités]\dotfill(7 points)}

\medskip

Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l'âge du skieur :

\begin{itemize}
	\item un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de vingt-cinq ans ;
	\item un forfait SÉNIOR pour les autres.
\end{itemize}

Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge, l'option coupe-file qui permet d'écourter le temps d'attente aux remontées mécaniques.

On admet que :

\begin{itemize}
	\item 20\,\% des skieurs ont un forfait JUNIOR;
	\item 80\,\% des skieurs ont un forfait SÉNIOR ;
	\item parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, 6\,\% choisissent l'option coupe-file;
	\item parmi les skieurs ayant un forfait SÉNIOR, $12,5$\,\% choisissent l'option coupe-file. 
\end{itemize}

On interroge un skieur au hasard et on considère les événements : 

\begin{itemize}
	\item J : « le skieur a un forfait JUNIOR » ;
	\item C : « le skieur choisit l'option coupe-file ».
\end{itemize}

\hfill~\textit{Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.}\hfill~

\medskip

\textbf{\large Partie A}

\begin{enumerate}
	\item Traduire la situation par un arbre pondéré.
	\item Calculer la probabilité $P(J \cap C)$.
	\item Démontrer que la probabilité que le skieur choisisse l'option coupe-file est égale à $0,112$.
	\item Le skieur a choisi l'option coupe-file. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un skieur ayant un forfait SÉNIOR ? Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
	\item Est-il vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de 15\,\% des skieurs ayant choisi l'option coupe-file ? Expliquer.
\end{enumerate}

\textbf{\large Partie B}

\medskip

On rappelle que la probabilité qu'un skieur choisisse l'option coupe-file est égale à $0,112$.

\smallskip

On considère un échantillon de 30 skieurs choisis au hasard.

\smallskip

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre des skieurs de l'échantillon ayant choisi l'option coupe-file.

\begin{enumerate}
	\item On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale.
	
	Donner les paramètres de cette loi.
	\item Calculer la probabilité qu'au moins un des 30 skieurs ait choisi l'option coupe-file.
	
	Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
	\item Calculer la probabilité qu'au plus un des 30 skieurs ait choisi l'option coupe-file.
	
	Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
	\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.
\end{enumerate}

\pagebreak

\section*{Exercice 2 [Thèmes : Fonctions logarithme, suites]\dotfill(7 points)}

\medskip

\textit{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.\\
	Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.}

\begin{enumerate}
	\item Un récipient contenant initialement 1 litre d'eau est laissé au soleil.
	
	Toutes les heures, le volume d'eau diminue de 15\,\%.
	
	Au bout de quel nombre entier d'heures le volume d'eau devient-il inférieur à un
	quart de litre ?
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]X[l]X[l]}}
		(a)~~2 heures&(b)~~8 heures&(c)~~9 heures&(d)~~13 heures
	\end{tblr}
	%
	\item On considère la suite $\suiten$, définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} =\frac12 u_n + 3$ et $u_0=6$. On peut affirmer que :
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
		(a)~~la suite $\suiten$ est strictement croissante&(b)~~la suite $\suiten$ est strictement décroissante\\
		(c)~~la suite $\suiten$ n'est pas monotone&(d)~~la suite $\suiten$ est constante
	\end{tblr}
	%
	\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x)=4\,\ln(3x)$.
	
	Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+\infty[$,on a:
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
		(a)~~$f(2x)=f(x)+\ln(24)$&(b)~~$f(2x)=f(x)+\ln(16)$\\
		(c)~~$f(2x)=\ln(2)+f(x)$&(d)~~$f(2x)=2f(x)$
	\end{tblr}
	%
	\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]1;+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{\ln(x)}{x-1}$.
	
	On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal. La courbe $\mathcal{C}_g$ admet : 
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
		(a)~~une asymptote verticale et une asymptote horizontale.&(b)~~une asymptote verticale
		et aucune asymptote horizontale.\\
		(c)~~aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.&(d)~~aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
	\end{tblr}
\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0;2]$ par $h(x)=x^2\big(1 + 2\,\ln(x)\big)$.

On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère du plan.

On admet que $h$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0;2]$.

On note $h'$ sa dérivée et $h''$ sa dérivée seconde.

\smallskip

On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;2]$, on a $h'(x) = 4x\big(1 + \ln(x)\big)$.

\begin{enumerate}[resume]
	\item Sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\e};2\right]$, la fonction $h$ s'annule :
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
		(a)~~exactement 0 fois&(b)~~exactement 1 fois\\
		(c)~~exactement 2 fois&(d)~~exactement 3 fois
	\end{tblr}
	%
	\item Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_h$ au point d'abscisse $\sqrt{\e}$ est : 
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
		(a)~~$y=\left(6\e^{\frac12}\right)\cdot x$&(b)~~$y=\left(6\sqrt{\e}\right)\cdot  x+2\e$\\
		(c)~~$y=6\e^{\frac{x}{2}}$&2(d)~~$y=\left(6\e^{\frac12}\right)\cdot x-4\e$
	\end{tblr}
	%
	\item Sur l'intervalle $]0;2]$, le nombre de points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_h$ est égal à :
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]X[l]X[l]}}
		(a)~~0&(b)~~1&(c)~~2&(d)~~3
	\end{tblr}
\end{enumerate}

\vspace*{5mm}

\section*{Exercice 3 [Thèmes : Fonctions exponentielle, suites]\dotfill(7 points)}

\medskip

\textbf{\large Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : \[ f(x)=1+x-\e^{0,5x-2}. \]
%
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$. On note $f'$ sa dérivée.

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ non nul, $f(x)=1+0,5x\left( 2 - \dfrac{\e^{0,5x}}{0,5x} \times \e^{-2} \right)$.
		
		En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty$
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
		\item Démontrer que l'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x)<0$ est l'intervalle $]4+2\,\ln(2);+\infty[$.
	\end{enumerate}
	\item Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
	
	On fera figurer la valeur exacte de l'image de $4+2\,\ln(2)$ par $f$.
	\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur l'intervalle $[-1;0]$.
\end{enumerate}

\textbf{\large Partie B}

\medskip

On considère la suite $\suiten$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, 

\smallskip

\hfill~$u_{n+1}=f\big(u_n\big)$ où $f$ est la fonction définie à la \textbf{partie A}.\hfill~

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[ u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4.\]
		\item En déduire que la suite $\suiten$ converge. On notera $\ell$ la limite. 
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On rappelle que $\ell$ vérifie la relation $\ell=f\big(\ell\big)$.
		
		Démontrer que $\ell=4$.
		\item On considère la fonction \texttt{valeur} écrite ci-contre dans le langage \textsf{Python} :
		
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center}
def valeur(a) :
	u = 0
	n = 0
	while u <= a :
		u = 1 + u - exp(0.5*u-2)
		n = n+1
	return n
\end{CodePythonLstAlt}
		
		L'instruction \texttt{valeur(3.99)} renvoie la valeur \texttt{12}.
		
		Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\section*{Exercice 4 [Thème : Géométrie dans l'espace]\dotfill(7 points)}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$.

\smallskip

On considère les points $A(5;0;-1)$, $B(1;4;-1)$, $C(1;0;3)$, $D(5;4;3)$ et $E(10;9;8)$.

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $R$ le milieu du segment $[AB]$.
		
		Calculer les coordonnées du point $R$ ainsi que les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$.
		\item Soit $\mathcal{P}_1$ le plan passant par le point $R$ et dont $\vect{AB}$ est un vecteur normal.
		
		Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_1$ est : \[ x-y-1=0.\]
		\item Démontrer que le point $E$ appartient au plan $\mathcal{P}_1$ et que $EA = EB$.
	\end{enumerate}
	\item On considère le plan $\mathcal{P}_2$ d'équation cartésienne $x-z-2=0$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants.
		\item On note la droite d'intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
		
		Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite est : \[ \begin{dcases} x=2+t \\y=1+t \qquad (t \in \R). \\ z=t \end{dcases} \]
	\end{enumerate}
	\item On considère le plan $\mathcal{P}_3$ d'équation cartésienne $y+z-3=0$.
	
	Justifier que la droite $\Delta$ est sécante au plan $\mathcal{P}_3$ en un point $\Omega$ dont on déterminera les coordonnées. 
\end{enumerate}

Si $S$ et $T$ sont deux points distincts de l'espace, on rappelle que l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $MS= MT$ est un plan, appelé plan médiateur du segment $[ST]$.

On admet que les plans $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont les plans médiateurs respectifs des segments $[AB]$, $[AC]$ et $[AD]$.

\begin{enumerate}[resume]
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\Omega A = \Omega B = \Omega C = \Omega D$.
		\item En déduire que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à une même sphère dont on précisera le centre et le rayon. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}