% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex

\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
\usepackage[margin=2cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{ProfLycee}
\RequirePackage[upright]{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb,amstext}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand\ttdefault{lmtt}
\usepackage{decimalcomma}
\usepackage{esvect}
\usepackage{siunitx}
\sisetup{locale=FR}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{logoetalab}

\newcommand{\session}{2023}
\newcommand{\annee}{2023}
\newcommand{\serie}{Gé.}
\newcommand{\lieu}{Am. du Sud}
\newcommand{\jour}{27}
\newcommand{\mois}{septembre}
\newcommand{\numsujet}{2}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC \serie{} \annee{}] \lieu{} (\mois{} \annee)}

\title{\nomfichier}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate[1]{font=\bfseries}
\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}
\usepackage{ibrackets}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{bm}
\usepackage{wrapstuff}
\usepackage{forest}
\forestset{
	fleche/.style = {edge={thick}},
	aproba/.style = {edge label = {node[inner sep=1pt,above=5pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
	bproba/.style = {edge label = {node[inner sep=1pt,below=5pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids en-dessous
}
\usepackage{babel}

\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \lieu{} - Sujet \numsujet}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily 23-MATJ2AS1}
\rfoot{\scriptsize\sffamily - \thepage{}/{}\pageref{LastPage} -}
\setlength{\parindent}{0pt}
%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vec{\vphantom{k}\imath},\vec{\vphantom{k}\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vec{\vphantom{k}\imath},\vec{\vphantom{k}\jmath},\vec{\vphantom{k}k}\right)}
\newcommand\intervOO[2]{\left]#1;#2\right[}
\newcommand\intervFF[2]{\left[#1;#2\right]}
\newcommand\intervOF[2]{\left]#1;#2\right]}
\newcommand\intervFO[2]{\left[#1;#2\right[}
\newcommand\R{\mathbb{R}}
\newcommand\N{\mathbb{N}}
\DeclareMathOperator\e{e}
\newcommand\pta[1]{(#1)}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\newcommand\qcmdeux[4]{%
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
		(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
		(c)~~#3 & (d)~~#4 \\
	\end{tblr}
}

\newcommand\qcm[4]{%
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
		(a)~~#1 & (b)~~#2 & (c)~~#3 & (d)~~#4 \\
	\end{tblr}
}
\usetikzlibrary{hobby}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}

\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}

\vspace{0.25cm}

\section*{Exercice 1\dotfill{}(5 points)} %exo1

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un jeu proposé dans une fête foraine consiste à effectuer trois tirs successivement sur une cible mouvante.

On a constaté que :

\begin{itemize}
	\item si le joueur atteint la cible lors d’un tir alors il ne l’atteint pas lors du tir suivant dans 65\,\% des cas ;
	\item si le joueur n’atteint pas la cible lors d’un tir alors il l’atteint lors du tir suivant dans 50\,\% des cas.
\end{itemize}

La probabilité qu’un joueur atteigne la cible lors de son premier tir est de $0,6$.

Pour tout évènement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ l’évènement contraire de $A$.

On choisit au hasard un joueur à ce jeu de tirs.

On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
	\item $A_1$ : « Le joueur atteint la cible lors du 1\up{er} tir » ;
	\item $A_2$ : « Le joueur atteint la cible lors du 2\up{e} tir » ;
	\item $A_3$ : « Le joueur atteint la cible lors du 3\up{e} tir ».
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter, avec les probabilités correspondantes sur chaque branche, l’arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\def\EspIF{1}\def\EspIN{2.25}
			\coordinate (RAC) at ({0*\EspIN},{-3.5*\EspIF}) ;
			%NiveauC
			\node (C1) at ({3*\EspIN},{-0*\EspIF}) {$A_3$} ;
			\node (C2) at ({3*\EspIN},{-1*\EspIF}) {$\overline{A_3}$} ;
			\node (C3) at ({3*\EspIN},{-2*\EspIF}) {$A_3$} ;
			\node (C4) at ({3*\EspIN},{-3*\EspIF}) {$\overline{A_3}$} ;
			\node (C5) at ({3*\EspIN},{-4*\EspIF}) {$A_3$} ;
			\node (C6) at ({3*\EspIN},{-5*\EspIF}) {$\overline{A_3}$} ;
			\node (C7) at ({3*\EspIN},{-6*\EspIF}) {$A_3$} ;
			\node (C8) at ({3*\EspIN},{-7*\EspIF}) {$\overline{A_3}$} ;
			%NiveauB
			\node (B1) at ({2*\EspIN},{-0.5*\EspIF}) {$A_2$} ;
			\node (B2) at ({2*\EspIN},{-2.5*\EspIF}) {$\overline{A_2}$} ;
			\node (B3) at ({2*\EspIN},{-4.5*\EspIF}) {$A_2$} ;
			\node (B4) at ({2*\EspIN},{-6.5*\EspIF}) {$\overline{A_2}$} ;
			%NiveauB
			\node (A1) at ({1*\EspIN},{-1.5*\EspIF}) {$A_1$} ;
			\node (A2) at ({1*\EspIN},{-5.5*\EspIF}) {$\overline{A_1}$} ;
			%arcs
			\draw[semithick] (RAC)--(A1) node[midway,above,sloped] {$0,6$} ;
			\draw[semithick] (RAC)--(A2)  (A1)--(B1) (A1)--(B2) (A2)--(B3) (A2)--(B4) (B1)--(C1) (B1)--(C2) (B2)--(C3) (B2)--(C4) (B3)--(C5) (B3)--(C6) (B4)--(C7) (B4)--(C8);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	%
	Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur atteint sa cible au cours des trois tirs.
	\item Montrer que la probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au
	cours des trois tirs est égale à \num{0,4015}.
	\item L’objectif de cette question est de calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$, notée $\mathbb{E}(X)$.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		
		\begin{center}
			\begin{tblr}{width=0.9\linewidth,hlines,vlines,colspec={*{5}{X[m,c]}}}
				$X=x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\
				$P(X=x_i)$ & $0,1$ & & & $\num{0,0735}$ \\
			\end{tblr}
		\end{center}
		\item Calculer $\mathbb{E}(X)$.
		\item Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère $N$, un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Un groupe de $N$ personnes se présente à ce stand pour jouer à ce jeu dans des conditions identiques et indépendantes.

Un joueur est déclaré gagnant lorsqu'il atteint trois fois la cible.

On note $Y$ la variable aléatoire qui compte parmi les $N$ personnes le nombre de joueurs
déclarés gagnants.

\begin{enumerate}
	\item Dans cette question, $N = 15$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
		\item Donner la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu’exactement 5 joueurs soient gagnants à ce jeu.
	\end{enumerate}
	\item Par la méthode de votre choix, que vous expliciterez, déterminer le nombre minimum de personnes qui doivent se présenter à ce stand pour que la probabilité qu’il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0,98$.
\end{enumerate}

\vspace*{5mm}

\section*{Exercice 2\dotfill{}(5 points)} %exo2

\medskip

Dans un repère orthonormé $\Rijk$ on considère les points :

\smallskip

\hfill$A(1;1;-4)$, \: $B(2;-1;-3)$, \: $C(0;-1;-1)$ \: et \: $\Omega(1;1;2)$.\hfill~

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que les points $A$, $B$, et $C$ définissent un plan.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
		\item Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x + y + z +2 = 0$.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le point $\Omega$ n’appartient pas au plan $(ABC)$.
		\item Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan $(ABC)$.
		
		On admet que $\Omega H = 2\sqrt{3}$.
		
		On définit la sphère $\mathcal{S}$ de centre $\Omega$ et de rayon $2\sqrt{3}$ comme l’ensemble de tous les points $M$ de l’espace tels que $\Omega M = 2\sqrt{3}$.
	\end{enumerate}
	\item Justifier, sans calcul, que tout point $N$ du plan $(ABC)$, distinct de $H$, n’appartient pas à la sphère $\mathcal{S}$.
	
	\smallskip
	
	On dit qu’un plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $\mathcal{S}$ en un point $K$ lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :
	
	\hspace*{5cm}$\bullet~~K \in \mathcal{P} \cap \mathcal{S}$\\
	\hspace*{5cm}$\bullet~~(\Omega K) \perp \mathcal{P}$
	\item Soit le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne $x + y - z - 6 = 0$ et le point $K$ de coordonnées $K(3;3;0)$.
	
	Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $\mathcal{S}$ au point $K$.
	\item On admet que les plans $(ABC)$ et $\mathcal{P}$ sont sécants selon une droite $(\Delta)$.
	
	Déterminer une équation paramétrique de la droite $(\Delta)$.
\end{enumerate}


\vspace*{5mm}

\section*{Exercice 3\dotfill{}(5 points)} %exo3

\medskip

Soit la suite $\suiten$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n \in \N$, \[ u_{n+1}=5u_n-8n+6. \]
%
\begin{enumerate}
	\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
	\item Soit $n$ un entier naturel.
	
	Recopier et compléter la fonction \texttt{suite\_u} d’argument \texttt{n} ci-dessous, écrite en langage \textsf{Python}, afin qu’elle retourne la valeur de $u_n$.
	%
\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=10cm]{center}
def suite_u(n) :
	u = ...
	for i in range(1, n+1) :
		u = ...
	return u
\end{CodePythonLstAlt}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \N$, $u_n \geqslant 2n$.
		\item En déduire la limite de la suite $\suiten$.
		\item Soit $p \in N^*$. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ vérifiant $n \geqslant n_0$, $u_n \geqslant 10^p$ ?
	\end{enumerate}
	\item Démontrer que la suite $\suiten$ est croissante.
	\item On considère la suite $\suiten[v]$, définie pour tout $n \in \N$, par $v_n = u_n -n +1$.
	\begin{enumerate}
		\item En dessous de la fonction \texttt{suite\_u} précédente, on a écrit la fonction \texttt{suite\_v} ci-dessous :

\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=10cm]{center}
def suite_v(n):
	L = []
	for i in range(n+1) :
		L.append(suite_u(i)-2*i+1)
	return L
\end{CodePythonLstAlt}
	%
	\emph{La commande « \texttt{L.append} » permet de rajouter, en dernière position, un élément dans la liste \texttt{L}.}
	
	\smallskip
	
	Lorsqu'on saisit \texttt{suite\_v(5)} dans la console, on obtient l’affichage suivant :
	
	\hspace*{4cm}\texttt{>{}>{}>{} suite\_v(5)}\\
	\hspace*{4cm}\texttt{[1, 5, 25, 125, 625, 3125]}
	
	
	Conjecturer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
	
	Démontrer cette conjecture.
	\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{5mm}

\section*{Exercice 4\dotfill{}(5 points)} %exo4

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[ f(x)=\ln\big(1+\e^{-x}\big) +  \frac14 x. \]
%
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\Rij$ du plan.

\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
	\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$, \[ f'(x) = \dfrac{\e^x-3}{4\big(\e^x+1\big)} .\]
		\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
		\item Montrer que l’équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $\intervFF{2}{5}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admettra que la fonction $f'$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$, \[ f''(x) = \dfrac{\e^x}{\big(\e^x+1\big)^2} .\]
%
On note $\Delta$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse 0.

Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathcal{C}_f$, la tangente $\Delta$ et le quadrilatère $MNPQ$ tel que $M$ et $N$ sont les deux points de la courbe $\mathcal{C}_f$ d’abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$, et $Q$ et $P$ sont les deux points de la droite $\Delta$ d’abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[x=1.25cm,y=1.25cm,xmin=-6,xmax=6,xgrille=1,xgrilles=0.2,ymin=-1,ymax=5,ygrille=1,ygrilles=0.2]
		\def\tmpvalalpha{3.92153}
		\GrilleTikz[][thin,lightgray][ultra thin,lightgray] \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0]
		%\AxexTikz{} \AxeyTikz{grady}
		\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ;
		\draw (0,0) node[below left=2pt] {$O$} ;
		\draw[line width=1pt,->,>=latex] (0,0)--++(1,0) node[midway,below] {$\vect{\imath}$} ;
		\draw[line width=1pt,->,>=latex] (0,0)--++(0,1) node[midway,left] {$\vect{\jmath}$} ;
		\draw[blue,line width=1.15pt,samples=2,domain=\xmin:\xmax] plot ({\x},{-0.25*\x+ln(2)}) ;
		\draw[line width=1.15pt,densely dashed] ({-\tmpvalalpha},{-0.25*(-\tmpvalalpha)+ln(2)}) -- ({-\tmpvalalpha},0) node[below] {$-\alpha$} ;
		\draw[teal,line width=1.15pt,fill=teal!10,fill opacity=0.5] ({-\tmpvalalpha},{-0.25*(-\tmpvalalpha)+ln(2)}) -- ({-\tmpvalalpha},{ln(1+exp(--\tmpvalalpha))+0.25*(-\tmpvalalpha)}) -- ({\tmpvalalpha},{ln(1+exp(-\tmpvalalpha))+0.25*(\tmpvalalpha)}) -- ({\tmpvalalpha},{-0.25*(\tmpvalalpha)+ln(2)}) -- cycle ;
		\draw[red,line width=1.15pt,samples=500,domain=\xmin:\xmax] plot ({\x},{ln(1+exp(-\x))+0.25*\x}) ;
		%labels
		\draw ({-\tmpvalalpha},{-0.25*(-\tmpvalalpha)+ln(2)}) node[below left] {$P$} ;
		\draw ({-\tmpvalalpha},{ln(1+exp(--\tmpvalalpha))+0.25*(-\tmpvalalpha)}) node[above right] {$N$} ;
		\draw ({\tmpvalalpha},{ln(1+exp(-\tmpvalalpha))+0.25*(\tmpvalalpha)}) node[above] {$M$} ;
		\draw ({\tmpvalalpha},{-0.25*(\tmpvalalpha)+ln(2)}) node[below] {$Q$} ;
		\draw ({\tmpvalalpha},{0}) node[below right] {$\alpha$} ;3
		\draw[red] (-5,3.85) node[below left,font=\large] {$\mathcal{C}_f$} ;
		\draw[blue] (-5,1.95) node[below left,font=\large] {$\Delta$} ;
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier le signe de $f''(x)$ pour $x \in \R$.
		\item En déduire que la portion de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur l’intervalle $\intervFF{\alpha}{-\alpha}$ est inscrite dans le quadrilatère $MNPQ$.
	\end{enumerate}
	\item Montrer que $f(-\alpha) = \ln\big(\e^{-\alpha}+1\big)+\dfrac34 \alpha$.
	\item Démontrer que le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
\end{document}