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\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
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\forestset{
	fleche/.style = {edge={thick}},
	aproba/.style = {edge label = {node[above=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
	bproba/.style = {edge label = {node[below=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids en-dessous
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	ptcroix/.pic = {
		\draw[rotate = 45] (-#1,0) -- (#1,0);
		\draw[rotate = 45] (0,-#1) -- (0, #1);
	}
}
\newcommand\qcmdeux[4]{%
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
		(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
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		(a)~~#1 & (b)~~#2 & (c)~~#3 & (d)~~#4 \\
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}
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%script python
%script python
\begin{scontents}[overwrite,write-out=as2024j2exo1.py]
def proba(k) :
	p = 0
	for i in range(k+1) :
		p = p + binomiale(i, 50, 0.065)
	return p
\end{scontents}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}

\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}

\vspace{0.25cm}

\section*{Exercice 1\dotfill{}(5 points)} %exo1

\medskip

Voici la répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France.

\begin{Centrage}
\fbox{%
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=0.15cm]
	\foreach \x in {0,5,...,45}{%
		\draw[very thin,gray!75] (-1,\x) node[left,text=black,font=\small] {\pflpcent[1]{\x}}--++ (9,0) ;
	}
	\foreach \gpe [count=\i from 0] in {A+,O+,B+,A$-$,O$-$,AB+,B$-$,AB$-$}{%
		\draw (\i,0) node[below,font=\small] {\gpe} ;
	}
	\fill ({0-0.15},0) rectangle++ (0.30,38.2) node[above,font=\small] {$38,2\,\%$} ;
	\fill ({1-0.15},0) rectangle++ (0.30,36.5) node[above,font=\small] {$36,5\,\%$} ;
	\fill ({2-0.15},0) rectangle++ (0.30,7.7) node[above,font=\small] {$7,7\,\%$} ;
	\fill ({3-0.15},0) rectangle++ (0.30,6.8) node[above,font=\small] {$6,8\,\%$} ;
	\fill ({4-0.15},0) rectangle++ (0.30,6.5) node[above,font=\small] {$6,5\,\%$} ;
	\fill ({5-0.15},0) rectangle++ (0.30,2.5) node[above,font=\small] {$2,5\,\%$} ;
	\fill ({6-0.15},0) rectangle++ (0.30,1.4) node[above,font=\small] {$1,4\,\%$} ;
	\fill ({7-0.15},0) rectangle++ (0.30,0.4) node[above,font=\small] {$0,4\,\%$} ;
	\draw (-2.5,22.5) node[rotate=90] {Partie des Français} ;
\end{tikzpicture}%
}

\medskip

{\footnotesize Source : \url{https://fr.statista.com/statistiques/656036/groupes-sanguins-repartition-rh-france/}.}
\end{Centrage}

\medskip

$A+$, $O+$, $B+$, $A-$, $O-$, $AB+$, $B-$ et $AB-$ sont les différents groupes sanguins combinés aux rhésus.

\smallskip

Par exemple : $A+$ est le groupe sanguin $A$ de rhésus $+$.

\smallskip

Une expérience aléatoire consiste à choisir une personne au hasard dans la population française et à déterminer son groupe sanguin et son rhésus.

\smallskip

Dans l'exercice, on adopte les notations du type :


$A+$ est l'événement \og la personne est de groupe sanguin $A$ et de rhésus $+$ \fg

$A-$ est l'événement \og la personne est de groupe sanguin $A$ et de rhésus $-$ \fg

$A$ est l'événement \og la personne est de groupe sanguin A \fg

\smallskip

Les \textbf{parties} \textbf{1} et \textbf{2} sont indépendantes.

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

On note $R\text{h}+$ l'évènement «La personne est de rhésus positif ».

\begin{enumerate}
	\item Justifier que la probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à $0,849$.
	\item Démontrer à l'aide des données de l'énoncé que $P_{R\text{h}+}(A)=0,450$ à $0,001$ près.
	\item Une personne se souvient que son groupe sanguin est $AB$ mais a oublié son rhésus. Quelle est la probabilité que son rhésus soit négatif ? Arrondir le résultat à $0,001$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $0,001$ près.

\smallskip

Un donneur universel de sang est une personne de groupe sanguin O et de rhésus négatif. On rappelle que $6,5\,\%$ de la population française est de groupe $0-$.

\begin{enumerate}
	\item On considère 50 personnes choisies au hasard dans la population française et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de donneurs universels.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que 8 personnes soient des donneurs universels.
		
		Justifier votre réponse.
		\item On considère la fonction ci-dessous nommée \texttt{proba} d'argument \texttt{k} écrite en langage \textsf{Python}.
		
		\CodePythonLstFichierAlt*[0.66\linewidth]{center}{as2024j2exo1.py}
		
		Cette fonction utilise la fonction \texttt{binomiale} d'argument \texttt{i}, \texttt{n} et \texttt{p}, créée pour l'occasion, qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X=i)$ dans le cas où $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
		
		Déterminer la valeur numérique renvoyée par la fonction \texttt{proba} lorsqu'on saisit \texttt{proba(8)} dans la console \textsf{Python}. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

	\end{enumerate}
	\item Quel est le nombre minimal de personnes à choisir au hasard dans la population française pour que la probabilité qu'au moins une des personnes choisies soit donneur universel, soit supérieure à $0,999$.
\end{enumerate}

\vspace*{5mm}

\section*{Exercice 2\dotfill{}(5 points)} %exo2

\medskip

Cet exercice contient 5 affirmations.

\smallskip

Pour chaque affirmation, répondre par VRAI ou FAUX en justifiant la réponse.

Toute absence de justification ou justification incorrecte ne sera pas prise en compte dans la notation.

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

On considère la suite $\Suite{u}$ définie par :

$u_{0}=10$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\frac{1}{3} u_{n}+2$.

\begin{enumerate}
	\item \textbf{Affirmation 1} : La suite $\Suite{u}$ est décroissante minorée par $0$.
	\item \textbf{Affirmation 2} : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=0$.
	\item \textbf{Affirmation 3} : La suite $\Suite{v}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=u_{n}-3$ est géométrique.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y'=\frac{3}{2} y+2$ d'inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur $\R$.

\begin{enumerate}
	\item \textbf{Affirmation 4} : Il existe une fonction constante solution de l'équation différentielle $(E)$.
	\item Dans un repère orthonormé $\Rij$ on note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ solution de $(E)$ tel que $f(0)=0$.
	
	\textbf{Affirmation 5} : La tangente au point d'abscisse 1 de $\mathcal{C}_{f}$ a pour coefficient directeur $2\,\e^{\frac{3}{2}}$.
\end{enumerate}

\vspace*{5mm}

\section*{Exercice 3\dotfill{}(5 points)} %exo3

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par : \[ f(x)=\left(x^{2}-4\right) e^{-x}. \]
%
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
	\item Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x)=\left(-x^{2}+2 x+4\right)\,\e^{-x}$.
	\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

On considère la suite $\Suite{I}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_{n}=\int_{-2}^{0} x^{n}\,\e^{-x} \dx$.

\begin{enumerate}
	\item Justifier que $I_{0}=\e^{2}-1$.
	\item En utilisant une intégration par partie, démontrer l'égalité : \[ I_{n+1}=(-2)^{n+1}\,\e^{2}+(n+1) I_{n}. \]
	\item En déduire les valeurs exactes de $I_{1}$ et de $I_{2}$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{wrapstuff}[r]
\begin{GraphiqueTikz}%
	[x=0.33cm,y=0.33cm,Xmin=-4,Xmax=6,Ymin=-9,Ymax=4]
	\DefinirCourbe[Nom=cf,Debut=-4,Fin=10]<f>{(x^2-4)*exp(-x)}
	\TracerIntegrale[Type=fct,Style=hachures,Couleurs=orange]{f(x)}{-2}{0}
	\TracerAxesGrilles[Grille=false]{}{}
	\TracerCourbe[Couleur=blue]{f(x)}
	\draw[pflaxes] (0,0)--++(1,0) node[below,midway,font=\tiny] {$\Vecteur{\imath}$} ;
	\draw[pflaxes] (0,0)--++(0,1) node[left,midway,font=\tiny] {$\Vecteur{\jmath}$} ;
	\PlacerTexte[Police=\small]{(-3,1)}{$\mathcal{C}_{f}$}
	\PlacerTexte[Police=\tiny,Position=below left]{(0,0)}{$O$}
	\PlacerTexte[Police=\small]{(-1,-4)}{$\bm{D}$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}

\textbf{Partie 3}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Déterminer le signe sur $\R$ de la fonction $f$ définie dans la \textbf{partie 1}.
	\item On a représenté ci-contre la courbe $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\Rij$.
	
	\smallskip
	
	Le domaine $\bm{D}$ du plan hachuré ci-contre est délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
	
	Calculer la valeur exacte, en unité d'aire, de l'aire $S$ du domaine $\bm{D}$.
\end{enumerate}

\pagebreak

\section*{Exercice 4\dotfill{}(5 points)} %exo4

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$.

On considère les trois points $A(3;0;0)$, $B(0;2;0)$ et $C(0;0;2)$.

\begin{Centrage}
	\begin{EnvTikzEspace}[UniteX={-145:0.875cm},UniteY={0:0.9cm},UniteZ={90:0.9cm}]
		\draw[semithick] (0,0,0)--(3.5,0,0) ;
		\draw[semithick] (0,0,0)--(0,3.5,0) ;
		\draw[semithick] (0,0,0)--(0,0,3.5) ;
		\draw[thick,->,>=latex] (0,0,0)--(1,0,0) node[pos=0.66,above,font=\footnotesize] {$\Vecteur{\imath}$} ;
		\draw[thick,->,>=latex] (0,0,0)--(0,1,0) node[pos=0.66,above,font=\footnotesize] {$\Vecteur{\jmath}$} ;
		\draw[thick,->,>=latex] (0,0,0)--(0,0,1) node[pos=0.66,left,font=\footnotesize] {$\Vecteur{k}$} ;
		\draw (0,0,0) node[below,font=\footnotesize] {$O$} ;
		\foreach \i in {1,2,3}{%
			\filldraw (\i,0,0) circle[radius=0.6pt] ;
			\filldraw (0,\i,0) circle[radius=0.6pt] ;
			\filldraw (0,0,\i) circle[radius=0.6pt] ;
		}
		\PlacePointsEspace{A/3,0,0,/hg B/0,2,0/h C/0,0,2/g}
		\MarquePointsEspace[StyleMarque=x]{A,B,C}
	\end{EnvTikzEspace}
\end{Centrage}

L'objectif de cet exercice est de démontrer la propriété suivante :

\textbf{\emph{\og Le carré de l'aire du triangle \emph{ABC} est égal a la somme des carrés des aires des 3 autres faces du tétraèdre \emph{OABC} \fg.}}

\medskip

\textbf{Partie 1 : Distance du point $\bm{O}$ au plan $\bm{(ABC)}$}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que le vecteur $\Vecteur{n} \CoordVecEsp{2}{3}{3}$ est normal au plan $(ABC)$.
	\item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est: $2 x+3 y+3 z-6=0$.
	\item Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par $O$ est de vecteur directeur $\Vecteur{n}$.
	\item On note $H$ le point d'intersection de la droite $d$ du plan $(ABC)$. Déterminer les coordonnées du point $H$.
	\item En déduire que la distance du point $O$ au plan $(ABC)$ est égale à $\frac{3 \sqrt{22}}{11}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2: Démonstration de la propriété}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que le volume du tétraèdre $OABC$ est égal à 2.
	\item En déduire que l'aire du triangle $ABC$ est égale sa $\sqrt{22}$.
	\item Démontrer que pour le tétraèdre $OABC$, \emph{\og le carré de l'aire de triangle \emph{ABC} est égal à la somme des carres des aires des 3 autres faces du tétraèdre \fg}.
	
	\medskip
	
	\textit{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V=\frac{1}{3} \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.}
\end{enumerate}


\end{document}