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\begin{document}

\pagestyle{fancy}

{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}

\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet\ (secours)}

\vspace{0.25cm}

\section*{Exercice 1\dotfill{}(4 points)} %exo1

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\vspace*{0.75cm}

\textbf{\underline{Affirmation 1 :}} Soit $(E)$ l’équation différentielle : $y' - 2y = -6x +1$.

\medskip

La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{2x}-6x+1$ est une solution de l’équation différentielle $(E)$.

\bigskip

\textbf{\underline{Affirmation 2 :}} On considère la suite $\Suite{u}$ définie sur $\N$ par%
\[ u_n  = 1 + \frac34 + {\left(\frac34\right)}^2 + \ldots {\left(\frac34\right)}^n. \]
La suite $\Suite{u}$ a pour limite $+\infty$.

\bigskip

\textbf{\underline{Affirmation 3 :}} On considère la suite $\Suite{u}$ définie dans l’affirmation 2.

\medskip

L’instruction \texttt{suite(50)} ci-dessous, écrite en langage \textsf{Python}, renvoie $u_{50}$.

\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=0.4\linewidth]{center}
def suite(k) :
	S = 0
	for i in range(k) :
		S = S + (3/4)**k
	return S
\end{CodePythonLstAlt}

\bigskip

\textbf{\underline{Affirmation 4 :}} Soit $a$ un réel et $f$ la fonction définie sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par%
\[ f(x)=a\,\ln(x)-2x. \]
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère $\Rij$.

\smallskip

Il existe une valeur de $a$ pour laquelle la tangente à $\mathcal{C}$ au point d’abscisse 1 est parallèle à l’axe des abscisses.

\pagebreak

\section*{Exercice 2\dotfill{}(5 points)} %exo2

\medskip

Au cours d’une séance, un joueur de volley-ball s’entraîne à faire des services. La probabilité qu’il réussisse le premier service est égale à $0,85$.

\smallskip

On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées :

\begin{itemize}
	\item si le joueur réussit un service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant est égale à $0,6$ ;
	\item si le joueur ne réussit pas un service, alors la probabilité qu’il ne réussisse pas le suivant est égale à $0,6$.
\end{itemize}

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ l’évènement « le joueur réussit le $n$-ième service » et $\overline{R_n}$ l’évènement contraire.

\bigskip

\textbf{\underline{Partie A :}}

\medskip

On s’intéresse aux deux premiers services de l’entraînement.

\begin{enumerate}
	\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
	\item Démontrer que la probabilité de l’événement $R_2$ est égale à $0,57$.
	\item Sachant que le joueur a réussi le deuxième service, calculer la probabilité qu’il ait raté le premier.
	\item Soit $Z$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis au cours des deux premiers services.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la loi de probabilité de $Z$ (on pourra utiliser l’arbre pondéré de la question 1).
		\item Calculer l’espérance mathématique $\Esper{Z}$ de la variable aléatoire $Z$.
		
		Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{\underline{Partie B :}}

\medskip

On s’intéresse maintenant au cas général.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $x_n$ la probabilité de l’évènement $R_n$.

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_n} \big(R_{n+1}\big)$ et $P_{\overline{R_n}} \big(\overline{R_{n+1}}\big)$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $x_{n+1}=0,2x_n+0,4$.
	\end{enumerate}
	\item Soit la suite $\Suite{u}$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n = x_n - 0,5$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\Suite{u}$ est une suite géométrique.
		\item Déterminer l’expression de $x_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\Suite{x}$.
		\item Interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\section*{Exercice 3\dotfill{}(7 points)} %exo3

\medskip

Un organisme certificateur est missionné pour évaluer deux appareils de chauffage, l’un d’une marque A et l’autre d’une marque B.

\begin{Centrage}
	\textit{Les parties 1 et 2 sont indépendantes.}
\end{Centrage}

\medskip

\textbf{\underline{Partie 1 :} appareil de la marque A}

\medskip

À l’aide d’une sonde, on a mesuré la température à l’intérieur du foyer d’un appareil de la marque A.

On a représenté, ci-dessous, la courbe de la température en degrés Celsius à l’intérieur du foyer en fonction du temps écoulé, exprimé en minutes, depuis l’allumage du foyer.

\begin{Centrage}
	\begin{GraphiqueTikz}[x=0.01cm,y=0.02cm,Xmin=0,Xmax=1200,Xgrille=50,Xgrilles=50,Ymin=0,Ymax=400,Ygrille=25,Ygrilles=25]
		\TracerAxesGrilles[Police=\small]{0,100,...,1100}{0,50,...,350}
		\PlacerTexte[Position=below,Police=\large]{(\pflxmax,-25)}{Temps (en min)}
		\PlacerTexte[Position=above,Police=\large]{(0,\pflymax)}{Température (en °C)}
		%définition de la fonction + tracé de la courbe
		%\DefinirCourbe[Nom=cf,Debut=0,Fin=1200,Trace,Couleur=red]<f>{1.75*x*exp(-0.005*x+1)}
		\DefinirCourbe[Nom=cf,Debut=0,Fin=1200,Trace,Couleur=red]<f>{20+4.485*x*exp(-0.005*x)}
	\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\underline{Par lecture graphique :}

\begin{enumerate}
	\item Donner le temps au bout duquel la température maximale est atteinte à l’intérieur du foyer.
	\item Donner une valeur approchée, en minutes, de la durée pendant laquelle la température à l’intérieur du foyer dépasse 300°C.
	\item On note $f$ la fonction représentée sur le graphique.
	
	Estimer la valeur de $\dfrac{1}{600} \displaystyle\int_0^{600} f(t) \dx[t]$. Interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{\underline{Partie 2 :}  étude d’une fonction}

\medskip

Soit la fonction $g$ définie sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par $g(t)=10t\,\e^{-0,01t}+20$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $t \in \IntervalleFO{0}{+\infty}$, $g'(t)=(-0,1t+10)\e^{-0,01t}$.
		\item Étudier les variations de la fonction $g$ sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ et construire son tableau de variations.
	\end{enumerate}
	\item Démontrer que l’équation $g(t)=300$ admet exactement deux solutions distinctes sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. En donner des valeurs approchées à l’unité.
	\item À l’aide d’une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_0^{600} g(t) \dx[t]$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{\underline{Partie 3 :}  évaluation}

\medskip

Pour un appareil de la marque B, la température en degrés Celsius à l’intérieur du foyer $t$ minutes après l’allumage est modélisée sur $\IntervalleFF{0}{600}$ par la fonction $g$.

\smallskip

L’organisme certificateur attribue une étoile par critère validé parmi les quatre suivants :

\begin{itemize}
	\item Critère 1 : la température maximale est supérieure à 320°C.
	\item Critère 2 : la température maximale est atteinte en moins de 2 heures.
	\item Critère 3 : la température moyenne durant les 10 premières heures après l’allumage dépasse 250°C.
	\item Critère 4 : la température à l’intérieur du foyer ne doit pas dépasser 300°C pendant plus de 5 heures.
\end{itemize}

Chaque appareil obtient-il exactement trois étoiles ? Justifier votre réponse.

\pagebreak

\section*{Exercice 4\dotfill{}(4 points)} %exo4

\medskip

On modélise un passage de spectacle de voltige aérienne en duo de la manière suivante :

\begin{itemize}
	\item on se place dans un repère orthonormé $\Rijk$, une unité représentant un mètre ;
	\item l’avion n°1 doit relier le point O au point $A(0; 200; 0)$ selon une trajectoire rectiligne, à la vitesse constante de 200 m/s ;
	\item l’avion n°2 doit, quant à lui, relier le point $B(-33; 75; 44)$ au point $C(87; 75; -116)$ également selon une trajectoire rectiligne, et à la vitesse constante de 200 m/s.
	\item au même instant, l’avion n°1 est au point $O$ et l’avion n°2 est au point $B$.
\end{itemize}

\begin{Centrage}
	\begin{EnvTikzEspace}[UniteX={-155:0.0385cm},UniteY={0:0.0347cm},UniteZ={90:0.0341cm}]
		%axes
		\draw[semithick,->,>=latex] (0,0,0)--(150,0,0) node[left] {$x$} ; \draw[thin] (0,0,0)--(-150,0,0) ;
		\draw[semithick,->,>=latex] (0,0,0)--(0,250,0) node[right] {$y$} ;
		\draw[semithick,->,>=latex] (0,0,0)--(0,0,80) node[above] {$z$} ; \draw[thin] (0,0,0)--(0,0,-200) ;
		\draw (0,0,2) node[above right] {$O$} ;
		%figure dessus
		\PlacePointsEspace*{O/0,0,0 A/0,75,44 B/-33,75,44 C/-33,75,0 D/0,75,0 E/0,0,44 F/-33,0,44 G/-33,0,0}
		\TraceSegmentsEspace[very thick,CouleurVertForet,dashed]{A/B B/C C/D D/A O/E E/F F/G G/O E/A F/B G/C}
		%figure dessus
		\PlacePointsEspace*{K/87,0,0 L/87,0,-116 M/87,75,-116 N/0,75,-116 P/87,75,0 Q/0,0,-116}
		\TraceSegmentsEspace[very thick,purple,dashed]{O/K K/P P/D Q/L L/M M/N O/Q K/L Q/N P/M D/N}
		%labels
		\draw (K) node[above left,font=\small,fill=white] {$87$} ;
		\draw (E) node[left=2pt,font=\small,fill=white] {$44$} ;
		\draw (Q) node[above left=2pt,font=\small,fill=white] {$-116$} ;
		\draw (G) node[above left=2pt,font=\small,fill=white] {$-33$} ;
		\draw (D) node[below right=2pt,font=\small,fill=white] {$75$} ;
		\filldraw (0,200,0) circle[radius=2pt] node[above right] {$A$} ;
		\filldraw (B) circle[radius=2pt] node[above right] {$B$} ;
		\filldraw (M) circle[radius=2pt] node[below=2pt] {$C$} ;
		%segments de contruction
		\draw[ultra thick] (M)--(B) (O)--(0,200,0) ;
	\end{EnvTikzEspace}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
	\item Justifier que l’avion n°2 mettra autant de temps à parcourir le segment $[BC]$ que l’avion n°1 à parcourir le segment $[OA]$.
	\item Montrer que les trajectoires des deux avions se coupent.
	\item Les deux avions risquent-ils de se percuter lors de ce passage ? 
\end{enumerate}

\end{document}