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\begin{document}

\pagestyle{fancy}

{\hfill\Huge \faGraduationCap\hfill~}

\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet\ (secours)}

\vspace{0.25cm}

\section*{Exercice 1\dotfill{}(5 points)} %exo1

\medskip

On considère le repère orthonormé $\left(A;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)$ de l'espace dans lequel on place les points ${B(4;0;0)}$, ${D(0;4;0)}$, ${E(0;0;4)}$ et les points $C$, $F$, $G$ et $H$ de sorte que le solide $ABCDEFGH$ soit un cube.

\begin{Centrage}
	\begin{EnvTikzEspace}[UniteX={0:0.8cm},UniteY={52.5:0.56cm},UniteZ={90:0.8cm}]<line width=0.8pt>
		%\filldraw[red] (2,4,3) circle[radius=1pt] ; \draw[red] (0,0,0) -- (2,4,3) ;
		\draw[->,>=latex] (0,0,0)--(1,0,0) node[midway,below,font=\footnotesize] {$\vect{\imath}$} ;
		\draw[->,>=latex] (0,0,0)--(0,1,0) node[right,font=\footnotesize] {$\vect{\jmath}$} ;
		\draw (-2,0,0)--(6,0,0) (0,0,-1.5)--(0,0,6.5) ;
		\draw[densely dashed] (0,4,0)--(0,5,0) ;
		\PlacePointsEspace{A/0,0,0/bg B/4,0,0/b C/4,4,0/hd D/0,4,0/g E/0,0,4/g F/4,0,4/d G/4,4,4/h H/0,4,4/h I/2,0,4/h}
		\draw (A)--(B)--(C)--(G)--(H)--(E)--cycle (B)--(F)--(G) (F)--(E) ;
		\draw[densely dashed] (A)--(D) (H)--(D)--(C) (I)--(C) ;
		\draw[->,>=latex] (0,0,0)--(0,0,1) node[midway,left,font=\footnotesize] {$\vect{k}$} ;
		\def\abstG{-0.8}\def\abstH{1.125}
		\draw ({2+2*\abstG},{4*\abstG},{4-4*\abstG})--(I) (C)--({2+2*\abstH},{4*\abstH},{4-4*\abstH});
	\end{EnvTikzEspace}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
	\item Donner les coordonnées des points $C$, $F$, $G$ et $H$.
	\item On considère le point $I$ milieu de l’arête $[EF]$.
	
	Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite $(IC)$ est donnée par : \[ \begin{dcases} x=2+2t\\y=4t\\z=4-4t\end{dcases} \text{ où } t \in \R. \]
	\item On désigne par $\mathcal{P}$ le plan orthogonal à la droite $(IC)$ passant par le point $G$, et par $J$ l'intersection de $\mathcal{P}$ avec $(IC)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est donnée par \[ x+2y-2z-4=0. \]
		\item Justifier que le point de coordonnées $\left(\frac{28}{9};\frac{20}{9};\frac{16}{9}\right)$. Que représente $J$ par rapport à $C$ ?
		\item Vérifier que le point $K(0;2;0)$ appartient au plan $\mathcal{P}$.
		\item Justifier que $(BK)$ est l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$.
	\end{enumerate}
	\item On rappelle que le volume d'une pyramide est données par la formule $\mathcal{V}=\frac{\mathcal{B}\times h}{3}$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la volume de la pyramide $CBKG$.
		\item En déduire que l'aire du triangle $BKG$ est égale à 12.
	\end{enumerate}
	\item Justifier que la droite $(BG)$ est incluse dans $\mathcal{P}$.
	\item On note $I'$ un point de l'arête $[EF]$, et $\mathcal{P}'$ le plan orthogonal à la droite $(I'C)$ passant par $G$.
	
	Peut-on affirmer que la droite $(BG)$ est incluse dans $\mathcal{P}'$ ?
\end{enumerate}

\vspace*{5mm}

\section*{Exercice 2\dotfill{}(4 points)} %exo2

\medskip

\begin{Centrage}
	\textbf{Partie A}
\end{Centrage}

Suite à une étude statistique réalisée dans la station-service Carbuplus, on évalue à $0,25$ la probabilité qu'un client venant alimenter son véhicule en carburant passe moins de 12 minutes dans la station avant de la quitter.

On choisit au hasard et de façon indépendante 10 clients de la station et on assimile ce choix à un tirage avec remise. On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 10 clients associe le nombre de ces clients ayant passé moins de 12 minutes à la station.

\begin{enumerate}
	\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres.
	\item Quelle est la probabilité qu'au moins 4 clients dans un échantillon de 10 passent moins de 12 minutes à la station ? On arrondira si besoin le résultat à $10^{-3}$ près.
	\item Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\begin{Centrage}
	\textbf{Partie B}
\end{Centrage}

Un client arrive à la station et se dirige vers une pompe. Il constate que deux voitures sont devant lui, la première accédant à la pompe au moment de son arrivée.

On désigne par $T_1$, $T_2$, $T_3$ les variables aléatoires qui modélisent les temps passés en minute par chacun des trois clients, dans leur ordre d'arrivée, pour alimenter son véhicule entre l'instant où la pompe est disponible pour lui et celui où il la libère.

\smallskip

On suppose que $T_1$, $T_2$, $T_3$ sont des variables aléatoires indépendantes de même espérance égale à 6 et de même variance égale à 1.

\smallskip

On note $S$ la variable aléatoire correspondant au temps d'attente total passé à la station du troisième client entre son arrivée à la station et son départ de la pompe après avoir alimenté son véhicule.

\begin{enumerate}
	\item Exprimer $S$ en fonction de $T_1$, $T_2$ et $T_3$.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'espérance de $S$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
		\item Quelle est la variance du temps d'attente total $S$ de ce troisième client ?
	\end{enumerate}
	\item Montrer que la probabilité que le troisième client passe un temps strictement compris entre 14 et 22 minutes à la station est supérieure ou égale à $0,81$.
\end{enumerate}

\vspace*{5mm}

\section*{Exercice 3\dotfill{}(6 points)} %exo3

\medskip

\begin{Centrage}
	\textbf{Partie A : étude d'une fonction.}
\end{Centrage}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x-\ln\big(x^2+1\big)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

\begin{enumerate}
	\item On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout nombre réel $x$, on a : \[ f'(x)=\frac{(x-1)^2}{x^2+1}. \]
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
	\item Montrer que pour tout nombre réel $x>0$, on a : \[ f(x) = x-2\,\ln(x)-\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right). \]
	\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}

\begin{Centrage}
	\textbf{Partie B : étude d'une suite.}
\end{Centrage}

On considère la suite $\Suite{u}$ définie par : \[ \begin{dcases}u_0=7 \\ u_{n+1}=f\big(u_n\big)=u_n - \ln\big(u_n^2+1\big) \text{ pour tout } n \in \N.\end{dcases} \]
%
\begin{enumerate}
	\item Montrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ : \[ u_n \geqslant 0. \]
	\item Montrer que la suite $\Suite{u}$ est décroissante.
	\item En déduire la convergence de la suite $\Suite{u}$.
	\item On note $\ell$ la limite de la suite $\Suite{u}$. Déterminer la valeur de $\ell$.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le script ci-dessous écrit en langage \textsf{Python} afin qu'il renvoie la plus petite valeur de l'entier $n$ à partir de laquelle $u_n \leqslant h$, où $h$ est un nombre réel strictement positif.

\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=10cm]{center}
from math import log as ln
#permet d'utiliser la fonction ln :
#Le Logarithme népérien

def seuil(h) :
	n = 0
	u = 7
	while ... :
		n = n + 1
		u = ...
	return n
\end{CodePythonLstAlt}
	
	\item Déterminer la valeur renvoyée lorsqu'on saisit \texttt{seuil(0.01)} dans la console \textsf{Python}. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\begin{Centrage}
	\textbf{Partie C : étude d'une intégrale.}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
	\item Étudier le signe de la fonction $f$ sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$.
	\item Interpréter l'intégrale : \[ I=\int_2^4 f(x)\dx. \]
	\item On admet dans cette question que, pour tout nombre réel $x \in \IntervalleFF{2}{4}$, on a l'encadrement : \[ 0,5x-1 \leqslant f(x) \leqslant 0,25x+0,25. \]
	En déduire l'encadrement : \[ 1 \leqslant I \leqslant 2. \]
\end{enumerate}

\vspace*{5mm}

\section*{Exercice 4\dotfill{}(4 points)} %exo4

\medskip

\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item On considère ci-dessous la tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur $\R \backslash\{-2\}$.
	
	\begin{Centrage}
		\begin{tikzpicture}[double distance=2pt]
			\tkzTabInit{$x$/1,$f$/2}{$-\infty$,$-2$,$1$,$+\infty$}
			\tkzTabVar{+/$5$,-D-/$-\infty$/$-\infty$,+/{3},-/$1$}
		\end{tikzpicture}
	\end{Centrage}
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Affirmation 1 :}
		
		La droite d'équation $y=-2$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$.
		\item \textbf{Affirmation 2 :}
		
		$\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{2}{f(x)-5} = +\infty$.
	\end{enumerate}
	\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x\,\e^{-x}$.
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Affirmation 3 :}
		
		Le point $A\left(2;\frac{2}{\e^2}\right)$ est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$.
		\item \textbf{Affirmation 4 :}
		
		Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $\IntervalleOO{-\infty}{2}$, on a : $g(x) \leqslant x$.
	\end{enumerate}
	\item \textbf{Affirmation 5 :}
	
	L'équation $x\,\ln(x)=1$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$.
\end{enumerate}

\end{document}