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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\session}{2025}
\newcommand{\annee}{2025}
\newcommand{\serie}{Gé.}
\newcommand{\lieu}{Nouv. Cal.}%merci à Pauline DM. pour le sujet
\newcommand{\jour}{20}
\newcommand{\mois}{novembre}
\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\codesujet}{25-MATJ1NC1}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC \serie{} \annee{}] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3,4}
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\def\repartpts{5,4,6,5}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
	{Probabilités conditionnelles / Variables aléatoires},
	{Espace},
	{Fonctions / Exponentielle / Intégration / Suites / Python},
	{VRAI\&{}FAUX}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}

\title{\nomfichier}
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%transcription principale faite par mistral.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
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\setlength{\parindent}{0pt}
%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)}
\newcommand\intervOO[2]{\left]#1;#2\right[}
\newcommand\intervFF[2]{\left[#1;#2\right]}
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\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
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\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
	\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
		\foreach \i in {1,...,#1}{%
			\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
			\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
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	\vspace*{0.5cm}
	
	\settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1.5cm]{memo}}}%
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		L’usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
		L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
		La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. \\
		Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
	\end{tcolorbox}%
	
	\vspace*{0.5cm}
	
	\hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}

\usepackage{scontents}
%script python
\begin{scontents}[overwrite,write-out=nouvcal2025j1exo3.py]
from math import exp

def suite() :
	u = ...
	for n in range(1, ...) :
		u = ...
	return u
\end{scontents}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

%\hfill\twemoji[height=5cm]{1f3dd}\hfill\null
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{nouvcal}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}

\vspace{0.6cm}

\sujetbaclabelexos{4}

\pagebreak

\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)} %exo1

\medskip

On dispose d'un sac et de deux urnes A et B.

Le sac contient 4 boules : 1 boule avec la lettre A et 3 boules avec la lettre B.

L'urne A contient 5 billets : 3 billets de 50 euros et 2 billets de 10 euros.

L'urne B contient 4 billets : 1 billet de 50 euros et 3 billets de 10 euros.

\smallskip

Un joueur prend au hasard une boule dans le sac.

Si c'est une boule avec la lettre A, il prend au hasard un billet dans l'urne A.

Si c'est une boule avec la lettre B, il prend au hasard un billet dans l'urne B.

\smallskip

On note les évènements suivants :

\begin{wrapstuff}[r]
	\ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto,EspaceNiveau=2]{$A$/\numdots/,$C$/\numdots/,$\overline{C}$/\numdots/,$\overline{A}$/\numdots/,$C$/\numdots/,$\overline{C}$/\numdots/}
\end{wrapstuff}

$A$ : \og le joueur obtient une boule avec la lettre A \fg.

$C$ : \og le joueur obtient un billet de 50 euros \fg.


\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter l'arbre ci-contre représentant la situation.
	
	\item Quelle est la probabilité de l'évènement :
	
	« \textit{Le joueur obtient une boule avec la lettre A et un billet de 50 euros} » ?
	
	\item Démontrer que la probabilité $P(C)$ est égale à \num{0,3375}.
	
	\item Le joueur a obtenu un billet de 10 euros.
	
	L'affirmation « \textit{Il y a plus de 80\,\% de chances qu'il ait au préalable obtenu une boule avec la lettre B} » est-elle vraie ? Justifier.
	
	\item On note $X_1$ la variable aléatoire qui donne la somme, en euros, obtenue par le joueur. Exemple : si le joueur obtient un billet de 50 euros, on a $X_{1} = 50$.
	
	\smallskip
	
	Montrer que l'espérance $\Esper{X_1}$ est égale à $23,50$ et que la variance $\Varianc{X_{1}}$ est égale à $357,75$.
	
	\item Après avoir remis la boule dans le sac et le billet dans l'urne où il a été pris, le joueur joue une deuxième partie. On note $X_2$ la variable aléatoire qui donne la somme obtenue par le joueur lors de cette deuxième partie.
	
	On note $Y$ la variable aléatoire ainsi définie : $Y = X_1 + X_2$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\Esper{Y} = 47$.
		
		\item Expliquer pourquoi on a $\Varianc{Y} = \Varianc{X_{1}} + \Varianc{X_{2}}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Le joueur joue de même une troisième, une quatrième, \ldots, une centième partie.
	
	On définit donc de la même façon les variables aléatoires $X_3$, $X_4$, $\ldots$, $X_{100}$.
	
	On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = X_1 + X_2 + \ldots + X_{100}$.
	
	\smallskip
	
	Démontrer que la probabilité que $Z$ appartienne à l'intervalle $\IntervalleOO{\num{1950}}{\num{2750}}$ est supérieure ou égale à $0,75$.
\end{enumerate}

\pagebreak

\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)} %exo2

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\Rijk$, on considère les points :
\[ A(4; -4; 4),~ B(5; -3; 2),~ C(6; -2; 3) \text{ et } D(5; 1; 1). \]
%
\begin{enumerate}
	\item Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
	\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : \[ x - y - 8 = 0. \]
	\item On note $d$ la droite passant par le point $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
		\item On note $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
		
		Déterminer les coordonnées du point $H$.
		\item Montrer que $DH = 2\sqrt{2}$.
	\end{enumerate}
	\item Montrer que le volume de la pyramide $ABCD$ est égal à 2.
	
	\smallskip
	
	\emph{On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'une pyramide se calcule à l'aide de la formule : \[ \mathcal{V} = \frac13 \times \mathcal{B} \times h \]
	%
	où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base de la pyramide et $h$ la hauteur correspondante.}
	\item On admet que l'aire du triangle $BCD$ est égale à $\dfrac{\sqrt{42}}{2}$.
	
	En déduire la valeur exacte de la distance du point $A$ au plan $(BCD)$.
\end{enumerate}

\pagebreak

\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)} %exo3

\medskip

On considère $n$ un entier naturel non nul.

On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$ par : \[ f_n(x) = x^n\,\e^{1-x}.\]
%
On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur $\IntervalleFF{0}{1}$ et on note $f_n'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on étudie le cas où $n = 1$.

On étudie donc la fonction $f_1$ définie sur $\IntervalleFF{0}{1}$ par : \[ f_1(x) = x\,\e^{1-x}.\]
%
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $f_1'(x)$ est strictement positif pour tout réel $x$ de l'intervalle $\IntervalleFO{0}{1}$.
	\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f_1$ sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$.
	\item En déduire que l'équation $f_1(x) = 0,1$ admet une unique solution dans l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\Suite{u}$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par
\[ u_n = \int_0^1 f_n(x) \dx \quad \text{c'est-à-dire} \quad u_n = \int_0^1 x^n\,\e^{1-x} \dx.\]
%
On admet que $u_1 = \e - 2$.

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout $x \in \IntervalleFF{0}{1}$ et pour tout entier naturel $n$ non nul,%
		\[ 0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n. \]
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul,%
		\[ 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.\]
		\item Montrer que la suite $\Suite{u}$ est convergente.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a :%
		\[ u_{n+1} = (n+1) u_n - 1.\]
		\item On considère le script \textsf{Python} ci-dessous définissant la fonction \AffVignette[Type=py]{suite()} :
		
		\CodePythonLstFichierAlt*[8cm]{center}{nouvcal2025j1exo3.py}
	
		Recopier et compléter le script \textsf{Python} ci-dessus pour que la fonction \AffVignette[Type=py]{suite()} renvoie la valeur de $\displaystyle\int_0^1 x^8\,\e^{1-x} \dx$.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a :%
		\[ u_n \leqslant \frac{\e}{n+1}.\]
		\item En déduire la limite de la suite $\Suite{u}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)} %exo4

\medskip

\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est \textbf{vraie} ou \textbf{fausse}, en \textbf{justifiant} la réponse.\\Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.\\Une absence de réponse n’enlève pas de points.}

\begin{enumerate}
	\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par :%
	\[ f(x) = \ln(x) - x^2.\]
	
	\textbf{Affirmation 1} : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.
	
	\medskip
	\item On considère l'équation différentielle $(E)~:~-2 y' + 3 y = \sin(x) + 8\cos(x)$.
	
	On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
	\[ f(x) = 2 \cos(x) - \sin(x).\]
	
	\textbf{Affirmation 2} : La fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
	
	\medskip
	\item On considère la fonction $g$, définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par :
	\[ g(x) = \ln(3x + 1) + 8.\]
	%
	On considère la suite $\Suite{u}$ définie par $u_0 = 25$ et pour tout entier naturel $n$,%
	\[ u_{n+1} = g\big(u_n\big).\]
	
	On admet que la suite $\Suite{u}$ est strictement positive.
	
	\textbf{Affirmation 3} : La suite $\Suite{u}$ est décroissante.
	
	\medskip
	\item On considère une fonction affine $h$ définie sur $\R$.
	
	On note $k$ la fonction définie sur $\R$ par $k(x) = x^4 + x^2 + h(x)$.
	
	\textbf{Affirmation 4} : La fonction $k$ est convexe sur $\R$.
	
	\medskip
	\item Une anagramme d'un mot est le résultat d'une permutation des lettres de ce mot.
	
	Exemple : le mot BAC possède 6 anagrammes : BAC, BCA, ABC, ACB, CAB, CBA.
	
	\textbf{Affirmation 5} : Le mot EULER possède 120 anagrammes.
\end{enumerate}

\end{document}

