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  {Probabilités conditionnelles / Bienaymé-Tchebychev / Suites},
  {Géométrie dans l'espace},
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\title{\nomfichier}

\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \lieu{} - Sujet \numsujet}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
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\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
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\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
  \begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
    \foreach \i in {1,...,#1}{%
      \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
      \hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
    }%
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    L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
    L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
    La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
    Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
  \end{tcolorbox}%
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  \hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{reunion.v1}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}

\vspace{1cm}

\sujetbaclabelexos{4}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================

\medskip

\textit{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip

On s'intéresse à un réseau de communication constitué d'une chaine de relais (satellites, antennes, opérateurs\ldots) pour transmettre des messages.

À chaque transmission entre deux relais successifs, des erreurs peuvent apparaitre dans le message. Une étude statistique a permis d'établir que pour chaque relai :
\begin{itemize}
  \item si le message reçu est sans erreur, il a $94\,\%$ de chances d'être transmis sans erreur au relai suivant ;
  \item si le message reçu comporte des erreurs, il y a $35\,\%$ de chances que les erreurs soient corrigées et donc que le message soit transmis sans erreur au relai suivant.
\end{itemize}

On choisit au hasard un message envoyé au cours d'une journée.

Pour un événement $E$ quelconque, on désigne par $\overline{E}$ son événement contraire et par $P(E)$ sa probabilité.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère les évènements suivants :

\begin{wrapstuff}[r]
  \def\ArbreExoUn{
    $A_1$/\numdots/,
    $A_2$/\numdots/,
    $\overline{A_2}$/\numdots/,
    $\overline{A_1}$/\numdots/,
    $A_2$/\numdots/,
    $\overline{A_2}$/\numdots/
  }%
  \ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto,Type=2x2,EspaceFeuille=1,EspaceNiveau=2.5]{\ArbreExoUn}
\end{wrapstuff}

\begin{itemize}
  \item $A_1$ : \og le message reçu par le premier relai est sans erreur \fg{} ;

  \item $A_2$ : \og le message reçu par le deuxième relai est sans erreur \fg.
\end{itemize}

On admet que $P(A_1) = 0{,}96$.

\begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre.

  \item Montrer que $P(A_2) = 0{,}9164$.

  \item Calculer $P_{A_2}{\left(\overline{A_1}\right)}$. On arrondira le résultat à $10^{-4}$.

  Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour vérifier le bon fonctionnement d'un relai, des tests indépendants les uns des autres sont effectués. Un test est positif si la présence d'au moins une erreur est détectée.

On admet que la probabilité qu'un test soit positif est égale à $0{,}04$.

On choisit au hasard un échantillon de $50$ tests réalisés sur le relai. Le nombre de tests réalisés est suffisamment grand pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.

\begin{enumerate}
  \item On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de $50$ tests associe le nombre de tests positifs.

  Ainsi la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = 0{,}04$.
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer la probabilité que $4$ tests soient positifs dans cet échantillon. On arrondira le résultat à $10^{-2}$.
    \item Donner la probabilité qu'au moins un test soit positif dans cet échantillon. On arrondira le résultat à $10^{-2}$.
    \item Calculer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $X$.
  \end{enumerate}

  \item On étudie une chaîne de transmission de l'information composée de $25$ relais.

  On considère la variable aléatoire $X_1$ qui à chaque échantillon de $50$ tests pratiqués sur le relai $1$ associe le nombre de tests positifs.

  On définit de la même manière les variables aléatoires $X_2$ pour le relai $2$, \ldots, $X_{25}$ pour le relai $25$.

  On admet que ces $25$ variables aléatoires sont indépendantes entre elles et qu'elles admettent la même espérance égale à $2$ et la même variance égale à $1{,}92$.

  On note $M$ la variable aléatoire donnant la moyenne du nombre de tests positifs lors des contrôles effectués sur les $25$ relais.

  On a donc $M = \frac{X_1+X_2+\ldots+X_{25}}{25}$.
  \begin{enumerate}
    \item Vérifier que $\Esper{M} = 2$ et montrer que $\Varianc{M} = 0{,}0768$.
    \item À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que la moyenne des tests positifs soit strictement inférieure à $7$ est supérieure à $0{,}99$.

    \textit{\underline{Indication}~: on pourra utiliser, sans justification, le fait que :}%
    \[
      P(M < 7) = P(-3 < M < 7).
    \]
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On désigne par $n$ un entier naturel non nul.

On s'intéresse à une chaine de transmission de l'information composée de $n$ relais.

On considère l'évènement $A_n$ : \og le message reçu par le $n$-ième relai est sans erreur \fg.

On note $p_n$ la probabilité que le message reçu au $n$-ième relai soit sans erreur.

On a ainsi $p_n = P(A_n)$ et $p_1 = 0{,}96$.

On admet que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$,%
\[
  p_{n+1} = 0{,}59\,p_n + 0{,}35.
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $p_{n+1} \leqslant p_n$.
  \item Montrer que la suite $\suiten[p]$ est convergente.
  \item Déterminer la valeur exacte de sa limite.
\end{enumerate}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================

\medskip

Dans une salle d'escalade, un nouveau module en forme de tétraèdre, destiné à être posé au sol, est en cours de fabrication. Ce module servira à créer des plans inclinés.

On munit l'espace d'un repère orthonormé $\left(A;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$. L'unité est le mètre.

On considère les trois points suivants : $B\left(\dfrac{9}{2};0;0\right)$, $C\left(\dfrac{9}{4};3;0\right)$ et $D\left(\dfrac{3}{2};1;3\right)$.

On modélise le module par le tétraèdre $ABCD$.

On souhaite analyser ce module pour des raisons de construction et de sécurité.

\begin{Centrage}
\begin{EnvTikzEspace}[UniteX={-17.5:1cm},UniteY={7.5:1.2cm},UniteZ={90:1.5cm}]
  %axes
  \draw[semithick] (-5,0,0) -- (0,0,0) ;
  \draw[semithick] (0,-5.8,0) -- (0,0,0) ;
  \draw[semithick] (0,0,-1.5) -- (0,0,3.75) ;
  \draw[semithick,dashed] (0,0,0) -- (0,4.33,0) ;
  \draw[semithick] (0,4.33,0) -- (0,5.25,0) ;
  %arêtes du tétraèdre
  \PlacePointsEspace{A/0,0,0/bg B/4.5,0,0/b C/2.25,3,0/d D/1.5,1,3/h}
  \PlacePointsEspace*{W/1.9,1.3,3.3 U/-2.9,-2.3,-0.3}
  \PlacePointEspace[Couleur=black,PosLabel=b]{H}{1.5,1,0}
  \PlacePointEspace[PosLabel=h]{L}{-2.5,-2,0}
  \TraceSegmentsEspace[very thick]{A/B B/C A/D B/D C/D L/W}
  \TraceSegmentsEspace[very thick,dashed]{A/C L/U}
  %hauteur DH (projeté orthogonal)
  \TraceSegmentEspace[very thick,dashed](D)(H)
  \MarquePointsEspace[TailleMarque=1.5pt]{A,B,C,D,H}
  %droite Delta et point L (cf partie B)
  \MarquePointEspace[TailleMarque=1.5pt]{L}
  %repère
  \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0,0) -- (1,0,0) node[below left] {$\vec{\imath}$} ;
  \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0,0) -- (0,1,0) node[above] {$\vec{\jmath}$} ;
  \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0,0) -- (0,0,1) node[below left] {$\vec{k}$} ;
  \node at (-2,0,1.2) {$\Delta$} ;
\end{EnvTikzEspace}
\end{Centrage}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{wrapstuff}[r]
  \begin{tikzpicture}
    \coordinate (A) at (0,0) ;
    \coordinate (B) at (6,0) ;
    \coordinate (Cc) at (3,4) ;
    \coordinate (Hp) at (3,0) ;
    \draw[very thick] (A) -- (B) -- (Cc) -- cycle ;
    \draw[darkgray,very thick] (Hp) rectangle ++(0.4,0.4) ;
    \draw[very thick,dashed] (Cc) -- (Hp) ;
    \node[below left] at (A) {$A$} ;
    \node[below right] at (B) {$B$} ;
    \node[above] at (Cc) {$C$} ;
  \end{tikzpicture}
\end{wrapstuff}

\begin{enumerate}
  \item On représente ci-dessous le triangle $ABC$ et sa hauteur issue de $C$.

  \begin{enumerate}
    \item Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle en $C$.

    \item Montrer que l'aire du triangle $ABC$ est égale à $6{,}75$ m².
  \end{enumerate}

  \item

  \begin{enumerate}
    \item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $z = 0$.

    \item Montrer que le point $H\left(\dfrac{3}{2}\,;1\,;0\right)$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
  \end{enumerate}

  \item On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à la base $\mathcal{B}$.

  En déduire le volume du module.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item On considère le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}4\\3\\3\end{pmatrix}$.
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(BCD)$.
    \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(BCD)$ est :%
    \[
      4x + 3y + 3z - 18 = 0.
    \]
    \item Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan $(BCD)$ et passant par $D$.
  \end{enumerate}

  \item On admet que la droite $\Delta$ et le plan $(ABC)$ sont sécants et on désigne par $L$ leur point d'intersection.

  Montrer que $L$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{5}{2}\,;-2\,;0\right)$.

  \item Le module est considéré adapté aux débutants si l'angle $\widehat{LDH}$ est strictement inférieur à $60°$.

  Montrer que ce module est adapté aux débutants.
\end{enumerate}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)}
%===============================================================

\medskip

\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item Le plan est muni d'un repère orthonormé.
  \begin{enumerate}
    \item On considère l'équation différentielle $(E_1)$~: $y' + 2y = 0$, où $y$ est une fonction de la variable $x$ définie sur $\mathbb{R}$.

    On note $f$ la solution de l'équation différentielle $(E_1)$ telle que $f(0) = 1$.

    \medskip

    \textbf{Affirmation 1~:} La courbe représentative de la fonction $f$ passe par le point $A$ de coordonnées $\left(\ln 2;\dfrac{1}{2}\right)$.

    \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervFF{\dfrac{\pi}{2}}{\pi}$ par :%
    \[
      f(x) = x - \cos(x).
    \]

    \medskip

    \textbf{Affirmation 2~:} Sur l'intervalle $\intervFF{\dfrac{\pi}{2}}{\pi}$, la courbe représentative de la fonction $f$ est au-dessus de ses tangentes.

    \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par :%
    \[
      f(x) = 1 + \frac{\sin(x)}{x}.
    \]

    \medskip

    \textbf{Affirmation 3~:} La droite d'équation $y = 1$ est une asymptote horizontale de la courbe représentative de la fonction $f$.
  \end{enumerate}

  \item On considère l'équation différentielle $(E_2)$~: $y' - 3y = 2 - 6x$, où $y$ est une fonction de la variable $x$ définie sur $\mathbb{R}$.

  \medskip

  \textbf{Affirmation 4~:} La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x - \e^{3x}$ est une solution de l'équation $(E_2)$.
\end{enumerate}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)}
%===============================================================

\medskip

On considère la fonction $f_k$ définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par :
\[
  f_k(x) = 1 - x + \frac{k(1+\ln x)}{x}
\]
où $k$ est un réel strictement positif et $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On désigne par $\mathcal{C}_k$ la représentation graphique de la fonction $f_k$ dans un repère orthonormé.

On admet que la fonction $f_k$ est deux fois dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$. On note $f_k'$ sa dérivée première et $f_k''$ sa dérivée seconde.

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'un premier cas particulier}

\medskip

Dans cette partie, on se place dans le cas $k = 2$.

La courbe $\mathcal{C}_2$ est représentée sur le graphique ci-dessous. On précise que :
\begin{itemize}
  \item le point $A$ est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_2$ ;
  \item $T_2$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_2$ au point $A$.
\end{itemize}

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=2.25cm,y=2.25cm,Xmin=-0.25,Xmax=3.75,Xgrilles=0.5,Ymin=-1.6,Ymax=2.4,Ygrilles=0.5]
  \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{}
  \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Debut=0.1,Pas=0.01]{1-x+2*(1+ln(x))/x}
  \TracerCourbe[Couleur=red,StyleTrace=dashed]{3.426-1.368*x}
  \MarquerPts[Couleur=black,Style=o]{(1.6487,1.171)/$A$/above right}
  \PlacerTexte[Couleur=blue]{(0.5,-1.25)}{$\mathcal{C}_2$}
  \PlacerTexte[Couleur=red]{(1,2.35)}{$T_2$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
  \item On considère une primitive $F_2$ de la fonction $f_2$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$. Avec la précision permise par le graphique, donner les variations de la fonction $F_2$ sur l'intervalle $\intervOF{0}{3}$.

  \item Parmi les trois courbes ci-dessous, indiquer celle qui représente $f_2'$ et celle qui représente $f_2''$. Justifier.

  \begin{Centrage}
  \begin{tabular}{ccc}
  \begin{GraphiqueTikz}[x=1.25cm,y=1.25cm,Xmin=-0.25,Xmax=3.55,Xgrilles=0.5,Ymin=-1.55,Ymax=2.35,Ygrilles=0.5]
    \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{}
    \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1}
    \DefinirCourbe[Trace,Couleur=black,Debut=0.5,Pas=0.01]{-1-2*ln(x)/(x*x)}
  \end{GraphiqueTikz}
  &
  \begin{GraphiqueTikz}[x=1.25cm,y=1.25cm,Xmin=-0.25,Xmax=3.55,Xgrilles=0.5,Ymin=-1.55,Ymax=2.35,Ygrilles=0.5]
    \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{}
    \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1}
    \DefinirCourbe[Trace,Couleur=black,Debut=1.01,Pas=0.01]{(-2+4*ln(x))/(x^3)}
  \end{GraphiqueTikz}
  &
  \begin{GraphiqueTikz}[x=1.25cm,y=1.25cm,Xmin=-0.25,Xmax=3.55,Xgrilles=0.5,Ymin=-1.55,Ymax=2.35,Ygrilles=0.5]
    \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{}
    \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1}
    \DefinirCourbe[Trace,Couleur=black,Debut=0,Pas=0.01]{1.5*(sqrt(x)-sqrt(2.5))}
  \end{GraphiqueTikz}
  \\
  Courbe 1 & Courbe 2 & Courbe 3 \\
  \end{tabular}
  \end{Centrage}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude d'un second cas particulier}

\medskip

Dans cette partie on se place dans le cas $k = 1$.

On considère la fonction $f_1$ définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par :%
\[
  f_1(x) = 1 - x + \frac{1+\ln x}{x}.
\]

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que pour tout réel $x > 0$ :%
    \[
      f_1'(x) = -1 - \frac{\ln x}{x^2}.
    \]
    \item Déterminer la limite de $f_1'(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
  \end{enumerate}

  \item On admet que :
  \begin{itemize}
    \item l'axe des ordonnées est une asymptote de la courbe de $f_1'$ ;
    \item pour tout réel $x > 0$, $f_1''(x) = \dfrac{2\ln x - 1}{x^3}$.
  \end{itemize}

  On donne ci-dessous le tableau de variations de $f_1'$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.

  \medskip

  \begin{Centrage}
  \begin{tikzpicture}[double distance=2pt]
    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$x$/1,$f_1'$/2}{$0$,$\sqrt{\e}$,$+\infty$}
    \tkzTabVar{D+/{$+\infty$},-/{$-1-\tfrac{1}{2\e}$},+/{$-1$}/}
  \end{tikzpicture}
  \end{Centrage}

  \begin{enumerate}
    \item Justifier les variations de la fonction $f_1'$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ et la valeur de l'extremum.
    \item Justifier la limite de la fonction $f_1'$ en $0$.
    \item Montrer qu'il existe une unique solution $\alpha$ à l'équation $f_1'(x) = 0$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$. En déduire que $f_1$ admet un maximum sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.
    \item Recopier et compléter les pointillés du programme écrit en langage \textsf{Python} ci-dessous, afin qu'il renvoie une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la solution $\alpha$ de l'équation $f_1'(x) = 0$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$.

\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=10cm]{center}
from math import log as ln

def d(x) :
    return -1 - ln(x) / x**2

def alpha() :
    u = 0.5
    while d(u) ... 0 :
        u = ...
    return u
\end{CodePythonLstAlt}

    On rappelle que \texttt{x**2} désigne $x^2$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : $\bm{k}$ quelconque}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par $h(x) = \dfrac{1+\ln x}{x}$ et la fonction $H$ définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par $H(x) = \dfrac{1}{2}(1+\ln x)^2$. On admet que $H$ est dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$.

\begin{enumerate}
  \item Montrer que la fonction $H$ est une primitive de $h$.

  On rappelle que $k$ est un réel strictement positif et que $f_k$ est la fonction définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par :
  \[
    f_k(x) = 1 - x + \frac{k(1+\ln x)}{x}.
  \]

  \item Existe-t-il une valeur de $k$ pour laquelle la valeur moyenne de la fonction $f_k$ sur l'intervalle $\intervFF{1}{\e}$ est égale à $0$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\end{document}
