% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex

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\def\repartthemes{%
	{Probabilités / Loi binomiale / Variables aléatoires},
	{Suites / Python / Équations différentielles},
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	{Logarithme / Variations / Convexité}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}

\title{\nomfichier}

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%transcription principale faite par mistral.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \lieu{} - Sujet \numsujet}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
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%divers
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\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
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\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
	\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
		\foreach \i in {1,...,#1}{%
			\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
			\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
		}%
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	\vspace*{0.5cm}

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		L’usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
		L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
		La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. \\
		Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
	\end{tcolorbox}%

	\vspace*{0.5cm}

	\hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}

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%script python
\begin{scontents}[overwrite,write-out=an2026j1exo2.py]
def population(s) :
    u = 4
    n=0
    while ... :
        u = ...
        n = ...
    return n
\end{scontents}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{amnord}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}

\vspace{1cm}

\sujetbaclabelexos{4}

\pagebreak

\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)} %exo1

\medskip

Une plateforme de diffusion musicale propose trois types d'abonnements : « Étudiant », « Classique » et « Famille ». Elle propose également une option « Écoute hors-ligne » qu'on peut activer pour chaque type d'abonnement et qui permet de télécharger de la musique.

\smallskip

Une étude statistique menée sur les abonnés a permis d'établir que :

\begin{itemize}
  \item $25\,\%$ des abonnés ont choisi l'abonnement « Étudiant » et $15\,\%$ ont choisi l'abonnement « Famille » ;
  \item $45\,\%$ des abonnés « Étudiant » ont activé l'option « Écoute hors-ligne » ;
  \item $30\,\%$ des abonnés « Classique » ont activé l'option « Écoute hors-ligne » ;
  \item $12\,\%$ des abonnés ont choisi l'abonnement « Famille » et ont activé l'option « Écoute hors-ligne ».
\end{itemize}

On prélève au hasard le profil d'un abonné et on considère les événements suivants :

\begin{itemize}
  \item $E$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Étudiant » ;
  \item $C$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Classique » ;
  \item $F$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Famille » ;
  \item $H$ : l'abonné a activé l'option « Écoute hors-ligne ».
\end{itemize}

\smallskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item Recopier l'arbre de probabilités suivant, en complétant les pointillés :

  \begin{Centrage}
    \ArbreProbasTikz[Type=3x2,PositionProbas=auto]{$E$/\numdots/,$H$/\numdots/,$\overline{H}$/\numdots/,$C$/\numdots/,$H$/\numdots/,$\overline{H}$/\numdots/,$F$/\numdots/,$H$/\numdots/,$\overline{H}$/\numdots/,}
  \end{Centrage}

  \item Calculer la valeur exacte de $P(E \cap H)$.

  \item Démontrer que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est de $0{,}4125$.

  \item Un abonné a activé l'option « Écoute hors-ligne ». Déterminer la probabilité qu'il ait choisi l'abonnement « Étudiant ». \textit{On arrondira le résultat au millième.}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On choisit huit abonnés de cette plateforme, au hasard et de manière indépendante. On considère qu'il y a suffisamment d'abonnés pour que ce choix soit assimilé à un tirage avec remise.

On rappelle que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est de $0{,}4125$.

\smallskip

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'abonnés ayant activé l'option « Écoute hors-ligne ».

\begin{enumerate}
  \item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

  \item Calculer la probabilité qu'aucun de ces huit abonnés n'ait activé l'option « Écoute hors-ligne ». \textit{On arrondira le résultat au millième.}

  \item Dans cette question, $n$ est un entier naturel non nul.
  On s'intéresse à un échantillon de $n$ abonnés, qu'on assimile à un tirage avec remise.
  On note $q_n$ la probabilité qu'au moins un abonné de cet échantillon ait activé l'option « Écoute hors-ligne ».
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $q_n = 1 - 0{,}5875^n$.
    \item Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité qu'au moins un abonné de l'échantillon ait activé l'option « Écoute hors-ligne » soit supérieure ou égale à $99{,}9\,\%$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie C}

\medskip

La plateforme propose les tarifs mensuels suivants :

\begin{itemize}
  \item Abonnement « Étudiant » : $5$~€ par mois ;
  \item Abonnement « Classique » : $10$~€ par mois ;
  \item Abonnement « Famille » : $16$~€ par mois ;
  \item Option « Écoute hors-ligne » : $2$ euros de plus par mois quel que soit l'abonnement choisi.
\end{itemize}

On note $Y$ la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné.

\begin{enumerate}
  \item Donner les six valeurs possibles prises par la variable aléatoire $Y$.

  \item Dresser le tableau décrivant la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$.

  \item Démontrer que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y$ vaut $10{,}475$ et interpréter ce résultat dans le contexte.

  \item À l'aide de la calculatrice, donner la variance de la variable aléatoire $Y$, arrondie au centième.

  \item Une plateforme vidéo propose les mêmes types d'abonnements. On note $Z$ la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné à cette plateforme vidéo.
  On admet que l'espérance de la variable aléatoire $Z$ vaut $9$ et son écart-type $2$.
  \begin{enumerate}
    \item Calculer la variance de la variable aléatoire $Z$.
    \item Un responsable affirme que si on interroge un abonné de cette plateforme vidéo au hasard, il y a au moins $50\,\%$ de chances pour que le prix de son abonnement soit strictement compris entre $6$ et $12$ euros.

    Justifier cette affirmation.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)} %exo2

\medskip

La perche-soleil est une espèce de poisson envahissante. Un plan de lutte contre la prolifération de cette espèce est mis en place et on étudie dans cet exercice deux modèles d'évolution de la population de perches-soleil dans un étang naturel. On estime que, dans cet étang, le nombre de perches-soleil s'élève à $4\,000$ individus au $1^{\text{er}}$ janvier 2025.

\medskip

\textbf{Partie A} : étude d'un modèle discret

\medskip

Dans cette partie, on modélise le nombre de perches-soleil dans l'étang par une suite $\suiten$. Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de perches-soleil, exprimé en millier, dans l'étang au $1^{\text{er}}$ janvier de l'année $2025 + n$.

La suite $\suiten$ est définie par :
\begin{itemize}
  \item $u_0 = 4$.
  \item pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = 4 - \dfrac{4}{u_n}$.
\end{itemize}

On admet que cette suite est bien définie et qu'en particulier pour tout entier $n$, $u_n > 0$.

\begin{enumerate}
  \item Calculer le nombre de perches-soleil au $1^{\text{er}}$ janvier 2026 donnée par ce modèle.

  \item On note $h$ la fonction définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par $h(x) = 4 - \dfrac{4}{x}$.
  \begin{enumerate}
    \item Justifier que la fonction $h$ est croissante sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.
    \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : \[ 2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4. \]
    \item En déduire que la suite $\suiten$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
    \item Justifier que $\ell = 2$.
    \item Ce modèle prévoit-il une élimination à long terme de l'espèce envahissante ?
  \end{enumerate}

  \item On considère le script \textsf{Python} ci-dessous.
  \begin{enumerate}
    \item Soit $s$ un réel appartenant à l'intervalle $\intervOO{2}{4}$.
    Recopier et compléter ce script de sorte qu'il renvoie, après exécution, le plus petit entier $n$ tel que $u_n < s$.

    \CodePythonLstFichierAlt[10cm]{center}{an2026j1exo2.py}

    \item Quelle valeur renvoie la commande \AffVignette[Type=py]{population(2.2)} ?
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B} : étude d'un modèle continu

\medskip

On note $t$ le temps écoulé, exprimé en année, à partir du $1^{\text{er}}$ janvier 2025. L'évolution du nombre de perches-soleil, exprimé en millier, est modélisée par la fonction $p$ telle que :

\begin{itemize}
  \item la fonction $p$ est définie et dérivable sur l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$ ;
  \item $p(0) = 4$ ;
  \item la fonction $p$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ $y' + y = 2$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \item Donner l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.

  \item En déduire que l'expression de la fonction $p$ sur l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$ est $p(t) = 2\e^{-t} + 2$.

  \item Ce modèle prévoit-il une élimination à long terme de l'espèce envahissante ?
\end{enumerate}

\pagebreak

\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)} %exo3

\medskip

Dans cet exercice l'unité est le cm.

On considère une pyramide à base carrée $SABCD$ comme dans la figure ci-dessous.

\begin{center}%à reprendre ;-)
  \begin{EnvTikzEspace}[UniteX={-135:2cm},UniteY={0:2.75cm},UniteZ={90:2.75cm}]
    \PlacePointsEspace[]{O/0,0,0/hd A/-1,-1,0/hd B/-1,1,0/hd C/1,1,0/bd D/1,-1,0/bg I/1,0,0/b J/0,1,0/bd K/0,0,1/h S/0,0,2/h}
    \draw[thick,->,>=latex] (0,0,0)--(1,0,0) ;
    \draw[thick,->,>=latex] (0,0,0)--(0,1,0) ;
    \draw[thick,->,>=latex] (0,0,0)--(0,0,1) ;
    \TraceSegmentsEspace[semithick]{S/D S/C S/B B/C C/D}
    \TraceSegmentsEspace[semithick,dashed]{S/A A/B A/C A/D A/C D/B}
    \MarquePointsEspace[]{O,A,B,C,D,I,J,K,S}
  \end{EnvTikzEspace}
\end{center}

Dans cette figure :
\begin{itemize}
  \item $AB = BC = CD = DA = OS = 2$~cm
  \item $I$ est le milieu de $[CD]$, $J$ le milieu de $[BC]$ et $K$ le milieu de $[OS]$.
\end{itemize}

L'espace est muni du repère orthonormé $\left(O;\vect{OI},\vect{OJ},\vect{OK}\right)$.

On admet que $B(-1;1;0)$, $C(1;1;0)$, et $S(0;0;2)$.

\medskip

\textit{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
  \item Donner les coordonnées des points $A$ et $D$.

  \item Calculer le produit scalaire $\vect{SC}\cdot\vect{SB}$.

  \item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{BSC}$ arrondie au dixième de degré près.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On se propose dans cette partie de déterminer la distance du point $O$ au plan $(SBC)$.

\begin{enumerate}
  \item Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.
  \begin{enumerate}
    \item Justifier que le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $(SBC)$.
    \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(SBC)$ est $2y + z - 2 = 0$.
  \end{enumerate}

  \item On note $H$ le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(SBC)$.
  \begin{enumerate}
    \item Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(OH)$ est
    \[ \begin{cases} x = 0 \\ y = 2t \\ z = t \end{cases} \text{ avec } t \in \R. \]
    \item Calculer les coordonnées du point $H$.
    \item En déduire que la distance du point $O$ au plan $(SBC)$ est égale à $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$~cm.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On se propose ici de retrouver le résultat de la \textbf{partie B} par une autre méthode.

\begin{enumerate}
  \item On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par :
  \[ V = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur.} \]
  \begin{enumerate}
    \item Calculer le volume de la pyramide $SABCD$.
    \item En déduire que le volume de la pyramide $OCBS$ est égal à $\dfrac{2}{3}$~cm$^3$.
  \end{enumerate}

  \item Déterminer l'aire du triangle $SBC$.

  \item Déduire des questions précédentes que la distance du point $O$ au plan $(SBC)$ est égale à $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$~cm.
\end{enumerate}

\pagebreak

\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)} %exo4

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 5\ln(x^2+1) - 3x$ et on admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ et la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse 1.

\begin{Centrage}
  \begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=1cm,Xmin=-6,Xmax=7,Xgrille=1,Xgrilles=1,Ymin=-3,Ymax=6,Ygrille=1,Ygrilles=1]
    \tikzset{pflgrillep/.style={thin,gray,densely dotted}}
    \tikzset{pflgrilles/.style={thin,gray,densely dotted}}
    \TracerAxesGrilles[Police=\small,Elargir=2.5mm]{auto}{auto}
    \TracerCourbe[Couleur=red]{5*ln(x^2+1) - 3*x}
    \TracerCourbe[Couleur=blue]{2*x + 5*ln(2) - 5}
    \PlacerTexte[Couleur=red,Police=\large]{(-1,3)}{$\mathcal{C}_f$}
    \MarquerPts[Style=x]{(1,{2+5*ln(2)-5})/$A$/right} %croix
  \end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
  \item Conjecturer, à l'aide de la représentation graphique de la fonction $f$, les intervalles de $\R$ sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.

  \item Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que, pour tout $x$ réel strictement positif,
    \[ f(x) = x\!\left(10\,\frac{\ln x}{x} - 3\right) + 5\ln\!\left(1 + \frac{1}{x^2}\right). \]
    \item Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
  \end{enumerate}

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que pour tout $x$ réel, $f'(x) = \dfrac{-3x^2+10x-3}{x^2+1}$.
    \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
  \end{enumerate}

  \item On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$ et que pour tout réel $x$,
  \[ f''(x) = \frac{-10x^2+10}{\left(x^2+1\right)^2}. \]
  \begin{enumerate}
    \item Valider ou rejeter la conjecture faite à la question 1.
    \item Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse 1.
    \item En déduire que pour tout $x \geqslant 1$, $\ln(x^2+1) \leqslant x + \ln(2) - 1$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}

\begin{Centrage}
  \begin{GraphiqueTikz}[x=1.9cm,y=0.6cm,Xmin=-3,Xmax=5,Xgrille=1,Xgrilles=1,Ymin=-8,Ymax=7,Ygrille=1,Ygrilles=1]
    \tikzset{pflgrillep/.style={thin,gray,densely dotted}}
    \tikzset{pflgrilles/.style={thin,gray,densely dotted}}
    \TracerAxesGrilles[Police=\small,Elargir=2.5mm]{auto}{auto}
    \TracerCourbe[Couleur=red]{(x^2+3*x+1)*exp(-x)}
    \begin{scope}
      \tikzset{pflcourbe/.append style={densely dashed}}
      \TracerCourbe[Couleur=blue]{(-x^2-x+2)*exp(-x)}
    \end{scope}
    \PlacerTexte[Police=\large,Couleur=red]{(2.25,2)}{$\mathcal{C}_{1}$}
    \PlacerTexte[Police=\large,Couleur=blue]{(2.25,-1.5)}{$\mathcal{C}_{2}$}
  \end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}