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	{Probabilités / Variables aléatoires / Bienaymé-Tchebychev},
	{Étude de fonctions / Suites / Python},
	{Géométrie dans l'espace},
	{Fonctions logarithme / Intégration}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}

\title{\nomfichier}

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%transcription principale faite par mistral.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \lieu{} - Sujet \numsujet}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
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%divers
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	\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
		\foreach \i in {1,...,#1}{%
			\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
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		L’usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
		L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
		La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. \\
		Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
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}

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%script python
\begin{scontents}[overwrite,write-out=an2026j2exo2.py]
from math import*

def termes(p) :
    u = ...
    S = 0
    L = []
    for i in range(p) :
      S = ...
      u = ...
      L.append(S)
    return L
\end{scontents}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{amnord}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}

\vspace{1cm}

\sujetbaclabelexos{4}

\pagebreak

\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)} %exo1

\medskip

Un supermarché dispose d'un stock de tomates provenant de deux fournisseurs $A$ et $B$.

\smallskip

Il a été constaté que :

\begin{itemize}
  \item $91\,\%$ du stock de tomates est commercialisable ;
  \item $60\,\%$ du stock de tomates provient du fournisseur $A$ ;
  \item parmi les tomates provenant du fournisseur $A$, la proportion de tomates commercialisables est de $95\,\%$.
\end{itemize}

On choisit au hasard une tomate dans le stock.

On désigne par :

\begin{itemize}
  \item $A$ l'événement « La tomate provient du fournisseur $A$ » ;
  \item $B$ l'événement « La tomate provient du fournisseur $B$ » ;
  \item $C$ l'événement « La tomate est commercialisable ».
\end{itemize}

Pour un événement quelconque $E$, on note $P(E)$ la probabilité de $E$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
  \item Recopier l'arbre ci-dessous en complétant les pointillés.

  \begin{Centrage}
    \ArbreProbasTikz[Type=2x2,PositionProbas=auto]{$A$/\numdots/,$C$/\numdots/,$\overline{C}$/\numdots/,$B$/\numdots/,$C$/\numdots/,$\overline{C}$/\numdots/,}
  \end{Centrage}

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer la probabilité que la tomate choisie soit commercialisable et provienne du fournisseur $A$.

    \item Démontrer que $P_B(C)=0{,}85$.

    \item La tomate choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu'il y a deux fois moins de chances qu'elle provienne du fournisseur $A$ que du fournisseur $B$. A-t-il raison ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On rappelle que $9\,\%$ des tomates du stock ne sont pas commercialisables.

\begin{enumerate}
  \item On prend $15$ tomates dans le stock au hasard et de manière indépendante. On considère que le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
  On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables dans cet échantillon de $15$ tomates.

  \begin{enumerate}
    \item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. En préciser les paramètres.
    \item Déterminer la probabilité qu'exactement deux tomates soient non commercialisables.

    \textit{On donnera la valeur arrondie au millième.}
    \item Déterminer la probabilité qu'au plus deux tomates soient non commercialisables.

    \textit{On donnera la valeur arrondie au millième.}
  \end{enumerate}

  \item On constitue désormais un échantillon de $n$ tomates, toujours dans les mêmes conditions, où $n$ désigne un entier naturel non nul.

  On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables et $F_n$ la variable aléatoire égale à la fréquence de tomates non commercialisables dans cet échantillon de $n$ tomates.

  On a donc $F_n = \dfrac{X_n}{n}$.

  On admet que la variable aléatoire $X_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0{,}09$.

  \begin{enumerate}
    \item Calculer l'espérance $\Esper{F_n}$ et exprimer la variance $\Varianc{F_n}$ en fonction de $n$.

    \item Démontrer que $P{\left(0{,}04 < F_n < 0{,}14\right)} \geqslant 1 - \dfrac{32{,}76}{n}$.

    \item Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de $500$ tomates. Il s'aperçoit que $55$ tomates ne sont pas commercialisables. Est-ce conforme à ce qu'il pouvait attendre ? Justifier la réponse.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)} %exo2

\medskip

\textbf{Partie A : étude du sens de variation d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{1+x^2}}$.

\begin{enumerate}
  \item Résoudre l'équation $f(x) = x$.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.

    Vérifier que, pour tout réel $x$, on a $f'(x) = \dfrac{2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$.

    \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B : étude de la convergence d'une suite récurrente}

\medskip

La suite $\suiten$ est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.

\begin{enumerate}
  \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} < \sqrt{3}$.

  \item En déduire que la suite $\suiten$ converge et déterminer sa limite.

  \item Le but de cette question est de retrouver par une autre méthode les résultats de la question~\textbf{2.} de la \textbf{partie B}.

  Pour tout entier naturel $n$, on pose :%
  \[ v_n = \frac{u_n^2}{3-u_n^2}. \]
  On admet que la suite $\suiten[v]$ est bien définie.

  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que la suite $\suiten[v]$ est une suite géométrique de raison $4$ dont on précisera le premier terme.

    \item En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis que $u_n = \sqrt{\frac{1{,}5 \times 4^n}{1+0{,}5 \times 4^n}}$ pour tout entier naturel $n$.

    \item En déduire la limite de la suite $\suiten$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie C : étude de la convergence de la somme de termes}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $S_n = u_0^2 + u_1^2 + \ldots + u_{n-1}^2$.

\begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter le script \textsf{Python} ci-dessous afin que celui-ci permette de lister les $p$ premiers termes de la suite $\suiten[S]$.

  \CodePythonLstFichierAlt*[10cm]{center}{an2026j2exo2.py}

  Remarque : on rappelle qu'en langage \textsf{Python},

  \begin{itemize}
    \item la commande \AffVignette[Type=py]{L=[]} crée une liste vide ;
    \item la commande \AffVignette[Type=py]{L.append(S)} ajoute, à la fin de la liste \AffVignette[Type=py]{L}, l'élément supplémentaire \AffVignette[Type=py]{S}.
  \end{itemize}

  \item On rappelle que, pour tout entier naturel $k$, on a $1 \leqslant u_k \leqslant \sqrt{3}$.

  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $n \leqslant S_n \leqslant 3n$.

  \item En déduire les limites respectives de $S_n$ et de $\dfrac{S_n}{n^2}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}

\pagebreak

\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)} %exo3

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$.

On considère :

\begin{itemize}
  \item les points $A(4;2;2)$, $B(5;-2;3)$ et $C(1;1;1)$ ;
  \item la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est donnée par%
  \[ \begin{cases} x = 1+2t \\ y = 1+t \\ z = 1+2t \end{cases} \text{ avec } t \in \R ~ ; \]
  \item le plan $\mathcal{P}$ passant par le point $A$ et perpendiculaire à la droite $\Delta$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \item Vérifier que la droite $\Delta$ passe par le point $C(1;1;1)$ mais pas par le point $A$.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $2x + y + 2z - 14 = 0$.
    \item Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ passe par le point $B$ mais pas par le point $C$.
  \end{enumerate}

  \item On considère le point $D(3;2;3)$.
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que le point $D$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $\mathcal{P}$.
    \item Justifier que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
    \item Calculer le produit scalaire $\vect{AB}\cdot\vect{AD}$.
    \item Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.

    \textit{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par} $V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$ \textit{où} $B$ \textit{est l'aire d'une base du tétraèdre et} $h$ \textit{la hauteur relative à cette base.}
  \end{enumerate}

  \item On appelle $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(BC)$.
  \begin{enumerate}
    \item Vérifier que les coordonnées du point $H$ sont $\left(\dfrac{73}{29};\dfrac{-4}{29};\dfrac{51}{29}\right)$.

    \item Démontrer que l'aire du triangle $ABC$ est $\dfrac{3\sqrt{22}}{2}$.

    \item En déduire la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)} %exo4

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par $f(x) = x(\ln x)^2$.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. On note $f'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
  \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

  \item Pour tout réel $x > 0$, on pose $g(x) = x \ln x$.
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que pour tout réel $x > 0$, on a $f(x) =  4{\Big(g\!\big(\sqrt{x}\big)\Big)}^{2}$.

    \item En déduire $\lim_{x \to 0} f(x)$.
  \end{enumerate}

  \item Dans cette question, on étudie les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, $f'(x) = \left(\ln x\right)\left(2 + \ln x\right)$.

    \item En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.

    \item Donner la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOF{0}{1}$.
  \end{enumerate}

  \item On considère l'équation $f(x) = 2$.
  \begin{enumerate}
    \item Justifier que, sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, cette équation admet une unique solution. On note $\alpha$ cette solution.

    \item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.
  \end{enumerate}

  \item Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $\intervOF{0}{1}$.
  \begin{enumerate}
    \item Donner une interprétation géométrique de $\displaystyle\int_a^1 f(x) \dx$.

    \item À l'aide d'une intégration par parties, justifier que :%
    \[ \int_a^1 f(x) \dx = -\frac{a^2}{2}(\ln a)^2 - \int_a^1 x\ln x \dx. \]%erreur énoncé sujet original

    \item En utilisant à nouveau une intégration par parties, démontrer que :%
    \[ \int_a^1 f(x) \dx = -\frac{a^2}{2}(\ln a)^2 + \frac{a^2}{2}\ln a + \frac{1}{4} - \frac{a^2}{4}. \]

    \item Déterminer la limite de $\displaystyle\int_a^1 f(x)\ dx$ quand $a$ tend vers $0$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}