% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex

\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\annee}{2026}
\newcommand{\serie}{Gé.}
\newcommand{\lieu}{Asie}
\newcommand{\jour}{9}
\newcommand{\mois}{juin}
\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\codesujet}{26-MATJ1JA1}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC \serie{} \annee{}] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3,4}
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\def\repartpts{5,5,5,5}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
  {Probabilités / Suites},
  {Vrai ou Faux},
  {Géométrie dans l'espace},
  {Fonctions / Trigonométrie}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}

\title{\nomfichier}

\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \lieu{} - Sujet \numsujet}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
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\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
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\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}

\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
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\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
  \begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
    \foreach \i in {1,...,#1}{%
      \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
      \hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
    }%
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  \vspace*{0.5cm}

  \settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1.5cm]{memo}}}%
  \begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.625\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1.5cm]{memo}} ;}]
    L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
    L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
    La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
    Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
  \end{tcolorbox}%

  \vspace*{0.5cm}

  \hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}

% Script Python exercice 1
\begin{scontents}[overwrite,write-out=ja2026j1exo1.py]
def seuil():
  n = 1
  p = 0.5
  while ... :
    n = ...
    p = ...
  return ...
\end{scontents}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{asie}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}

\vspace{1cm}

\sujetbaclabelexos{4}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================

\medskip

Un tireur à l'arc s'entraîne sur une cible dans le but d'atteindre son centre.
On modélise la situation de la façon suivante :
\begin{itemize}
  \item au premier tir, il atteint le centre de la cible avec une probabilité de $\dfrac{1}{2}$ ;
  \item pour les tirs suivants :
  \begin{itemize}
    \item lorsqu'il a atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu'il atteigne à nouveau le centre de la cible est $\dfrac{4}{5}$ ;
    \item lorsqu'il n'a pas atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu'il atteigne le centre de la cible est $\dfrac{1}{3}$.
  \end{itemize}
\end{itemize}

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'événement $T_n$ : \og Le tireur atteint le centre de la cible au $n$-ième tir \fg.
On note $p_n = P(T_n)$ la probabilité que l'événement $T_n$ se réalise.

\begin{enumerate}
  \item Donner la valeur de $p_1$ et montrer que $p_2 = \dfrac{17}{30}$.

  \item Recopier sur la copie l'arbre de probabilité suivant et compléter les pointillés avec les probabilités qui conviennent :

  \medskip

  \def\ArbreExoUn{
    $T_n$/$p_n$/,
    $T_{n+1}$/$\frac{4}{5}$/,
    $\overline{T_{n+1}}$/\numdots/,
    $\overline{T_n}$/\numdots/,
    $T_{n+1}$/\numdots/,
    $\overline{T_{n+1}}$/\numdots/
  }

  \begin{Centrage}
  \ArbreProbasTikz{\ArbreExoUn}
  \end{Centrage}

  \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul :%
  \[ p_{n+1} = \frac{7}{15}\,p_n + \frac{1}{3} \]
  %
  \item On considère la suite $\suiten[p]$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :
  \[ u_n = p_n - \frac{5}{8} \]
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que la suite $\suiten$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{7}{15}$.
    \item Déterminer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    \item En déduire une expression de $p_n$ en fonction de $n$.
  \end{enumerate}

  \item Déterminer la limite de la suite $\suiten[p]$ et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.

  \item On considère ci-dessous une fonction \AffVignette[Type=py]{seuil}, incomplète, écrite en langage \textsf{Python}.

  Recopier cette fonction sur la copie en complétant les pointillés afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de l'entier $n$ telle que $p_n$ soit supérieur ou égal à $0{,}6$.

  \CodePythonLstFichierAlt*[8cm]{center}{ja2026j1exo1.py}

  \item Résoudre dans $\mathbb{N}$ l'inéquation $p_n \geqslant 0{,}6$.
\end{enumerate}

\bigskip

%===============================================================
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte dans l'évaluation.

\medskip

\begin{enumerate}
  \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOO{1}{+\infty}$ par :%
  \[ f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}} \]
  %
  \textbf{Affirmation 1 :} La fonction $f$ admet pour limite $1$ en $+\infty$.

  \item On considère la suite $\suiten[w]$ définie par $w_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par :
  \[ w_{n+1} = w_n + 2n + 3 \]

  \textbf{Affirmation 2 :} Pour tout entier naturel $n$, $w_n = (n+1)^2$.

  \item Soit $p$ un nombre réel tel que $0 < p < 1$.
  On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $3$ et $p$.

  On note $P(X=1)$ la probabilité de l'événement $(X=1)$.

  \textbf{Affirmation 3 :} $P(X=1) = 3p - 6p^2 + 3p^3$.

  \item On considère la suite $\suiten[v]$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par :
  \[ v_n = \int_0^1 \e^{nx}\,\dx \]

  \textbf{Affirmation 4 :} Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $v_n = \dfrac{\e^n}{n}$.

  \item On colorie en rouge, jaune ou noir chacune des $16$ cases d'un quadrillage.

  \textbf{Affirmation 5 :} On peut réaliser $\dbinom{16}{3}$ coloriages différents.
\end{enumerate}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)}
%===============================================================

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\Rijk$ de l'espace, on considère les points suivants :%
\[ A(0;0;1) \text{ ; } B(1;2;3) \text{ ; } C(3;3;1) \text{ ; } E(2;-2;2) \text{ ; } F(3;0;4) \text{ et } G(5;1;2) \]

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que les points $B$, $C$ et $E$ ne sont pas alignés.
    \item Justifier que le vecteur $\vect{AF}$ est normal au plan $(BCE)$.
    \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(BCE)$ est $x + z - 4 = 0$.
  \end{enumerate}

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que le point $G$ n'appartient pas au plan $(BCE)$.
    \item Montrer que les vecteurs $\vect{BE}$, $\vect{BC}$ et $\vect{AG}$ ne sont pas coplanaires.
    \item En déduire que la droite $(AG)$ et le plan $(BCE)$ sont sécants.
  \end{enumerate}

  Pour la suite de l'exercice, on appellera $P$ le point d'intersection de la droite $(AG)$ et du plan $(BCE)$.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(AG)$ est :
    \[ \begin{cases} x = 5t \\ y = t \\ z = 1 + t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} \]
    \item En déduire les coordonnées du point $P$.
    \item Montrer que le point $P$ est le milieu du segment $[EC]$.
  \end{enumerate}

  \item Déterminer l'intersection des plans $(BCE)$ et $(ACG)$.
\end{enumerate}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)}
%===============================================================

\medskip

\begin{enumerate}
  \item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\intervFF{0}{2\pi}$ par :%
  \[ g(x) = x\cos(x) - \sin(x) \]
  On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $\intervFF{0}{2\pi}$ et on note $g'$ sa dérivée.

  \begin{enumerate}
    \item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\intervFF{0}{2\pi}$, on a $g'(x) = -x\sin(x)$.

    \item On donne le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $\intervFF{0}{2\pi}$ ci-dessous.
    Justifier chacun des éléments qui figurent dans ce tableau de variations.

    \medskip

    \begin{Centrage}
    \begin{tikzpicture}
      \tkzTabInit{$x$/1,$g$/2}{$0$,$\pi$,$2\pi$}
      \tkzTabVar{+/$0$,-/$-\pi$,+/$2\pi$}
    \end{tikzpicture}
    \end{Centrage}

    \item Montrer qu'il existe une unique valeur réelle $\alpha$ dans l'intervalle $\intervFF{\pi}{2\pi}$ telle que $g(\alpha) = 0$.

    \item En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $\intervFF{0}{2\pi}$.
  \end{enumerate}

  \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOF{0}{2\pi}$ par :
  \[ f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \]
  On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\intervOF{0}{2\pi}$ et on note $f'$ sa dérivée.

  \begin{enumerate}
    \item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\intervOF{0}{2\pi}$ on a :
    \[ f'(x) = \frac{g(x)}{x^2} \]

    \item Étudier le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle $\intervOF{0}{2\pi}$.

    \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOF{0}{2\pi}$.

    \item Déterminer la limite de $f$ en $0$. On pourra utiliser le taux d'accroissement de la fonction sinus en $0$.
  \end{enumerate}

  \item On considère deux nombres réels $r$ et $s$ qui vérifient l'inégalité : $0 < r < s < \pi$.

  Montrer que :
  \[ \frac{r}{s} < \frac{\sin(r)}{\sin(s)} \]
\end{enumerate}

\end{document}
