% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex

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\newcommand{\jour}{10}
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\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\codesujet}{26-MATJ1G11}
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\def\listenumexos{1,2,3,4}
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\def\repartpts{5,5,4,6}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
  {Probabilités / Loi binomiale / Inégalité de Bienaymé-Tchebychev},
  {Vrai ou Faux},
  {Géométrie dans l'espace / Cube},
  {Logarithme / Convexité / Intégration par parties}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}

\title{\nomfichier}

\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \lieu{} - Sujet \numsujet}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
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\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
  \begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
    \foreach \i in {1,...,#1}{%
      \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
      \hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
    }%
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    L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
    L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
    La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
    Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
  \end{tcolorbox}%
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  \hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}

% Script Python exercice 4
\begin{scontents}[overwrite,write-out=cee2026j1exo4.py]
from math import *
S = 1 / (2*exp(1))
for i in range(2, 10) :
    S = ...
print(S)
\end{scontents}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{ce.v1}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}

\vspace{1cm}

\sujetbaclabelexos{4}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================

\medskip

La fédération internationale d'escrime établit des normes de fabrication sur les lames des armes des tireurs afin de garantir au maximum leur sécurité.
Pour tester la conformité de l'acier employé, la lame est pliée puis redressée toutes les 5 secondes jusqu'à la rupture. La lame est conforme si la rupture intervient après plus de cinq heures de test.

\smallskip

Un équipementier d'escrime se fournit auprès de trois fabricants de lames. Son stock est composé de $60\,\%$ de lames du fournisseur $A$, de $12\,\%$ de lames du fournisseur $B$, le reste venant du fournisseur $C$.

\smallskip

Une étude qualité a montré que :
\begin{itemize}
  \item $90\,\%$ des lames du fournisseur $A$ étaient conformes ;
  \item $95\,\%$ des lames du fournisseur $B$ étaient conformes ;
  \item $85\,\%$ des lames du fournisseur $C$ étaient conformes.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un contrôle est déclenché sur une des lames vendues par l'équipementier.

On considère les événements suivants :
\begin{itemize}
  \item $A$ : \og La lame testée provient du fournisseur $A$ \fg ;
  \item $B$ : \og La lame testée provient du fournisseur $B$ \fg ;
  \item $C$ : \og La lame testée provient du fournisseur $C$ \fg ;
  \item $T$ : \og La lame testée est conforme \fg.
\end{itemize}

On note $\bar{T}$ l'événement contraire de $T$.

\begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous représentant la situation.

  \medskip

  \def\ArbreExoUn{
    $A$/\num{0.6}/,
    $T$/\num{0.9}/,
    $\bar{T}$/\num{0.1}/,
    $B$/\num{0.12}/,
    $T$/\num{0.95}/,
    $\bar{T}$/\num{0.05}/,
    $C$/\num{0.28}/,
    $T$/\num{0.85}/,
    $\bar{T}$/\num{0.15}/
  }

  \begin{Centrage}
  \ArbreProbasTikz{\ArbreExoUn}
  \end{Centrage}

  \item Déterminer $P(A \cap \bar{T})$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

  \item Démontrer que la probabilité que la lame testée soit conforme est de $0{,}892$.

  \item Sachant que la lame testée n'est pas conforme, déterminer la probabilité qu'elle provienne du fournisseur $B$. \textit{On donnera la valeur arrondie au millième.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

D'après la \textbf{partie A}, la probabilité qu'une lame de l'équipementier ne soit pas conforme est égale à $0{,}108$.
Lors d'une compétition d'escrime, l'équipementier apporte un échantillon de $75$ lames provenant de son stock. On considère qu'il les a choisies au hasard et de manière indépendante. De plus son stock de lames est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.
On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lames non conformes dans cet échantillon.

\begin{enumerate}
  \item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
  \item Calculer la probabilité que 6 lames exactement soient non conformes dans cet échantillon. \textit{On arrondira le résultat au millième.}
  \item L'équipementier affirme que la probabilité qu'il y ait strictement plus de 8 lames non conformes dans cet échantillon est inférieure à $50\,\%$. A-t-il raison ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $n$ un entier strictement positif désignant le nombre de compétitions durant lesquelles l'équipementier est présent.
Il apporte à chaque fois un échantillon de $75$ lames. Les variables aléatoires $X_1, \ldots, X_n$, que l'on considère indépendantes, donnent pour chaque échantillon le nombre de lames non conformes.
On pose $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$.

\begin{enumerate}
  \item Déterminer l'espérance $E(M_n)$ et la variance $V(M_n)$ de la variable aléatoire $M_n$.
  \item Justifier l'inégalité suivante, pour tout entier naturel $n$ non nul :
  \[ P\!\left(|M_n - 8{,}1| \geqslant 2\right) \leqslant \frac{1{,}8063}{n} \]
  \item Déterminer une valeur de l'entier $n$ à partir de laquelle $P\!\left(|M_n - 8{,}1| < 2\right) \geqslant 0{,}95$.
  Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================

\medskip

\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item On considère l'équation différentielle suivante où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
  \[ (E)\ :\ y' + y = 2\cos(x) \]

  \textbf{Affirmation 1 :} La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 4\e^{-x} + \cos(x) + \sin(x)$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

  \item On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x$ et $g(x) = \sin(x)$.
  On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère et $\mathcal{C}_g$ celle de la fonction $g$.

  \textbf{Affirmation 2 :} Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ont un seul point d'intersection.

  \item On considère la suite $\suiten[v]$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
  \[ v_n = \frac{2n + \sin(n)}{n+1} \]

  \textbf{Affirmation 3 :} La suite $\suiten[v]$ diverge.

  \item On considère la suite $\suiten$ définie par $u_1 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$ :
  \[ u_{n+1} = u_n + 2n + 1 \]

  \textbf{Affirmation 4 :} Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$ on a $u_n = n^2$.

  \item On considère la suite $\suiten$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = \e^{-n}$.
  On pose, pour tout entier naturel $n$, $S_n = u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_n$.

  \textbf{Affirmation 5 :} $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n = \dfrac{\e}{\e - 1}$.
\end{enumerate}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)}
%===============================================================

\medskip

On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous.

\begin{Centrage}
\begin{EnvTikzEspace}
  \PaveTikzTriDim[Cube,Largeur=3,AffLabel]
  \PlacePointsEspace{K/0,0,1.5/g I/1.5,0,3/bd J/0,1.5,3/hg}
  \MarquePointsEspace[StyleMarque=x]{I,J,K}
\end{EnvTikzEspace}
\end{Centrage}

On munit l'espace du repère orthonormal $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

Soit $I$ le milieu du segment $[EF]$, $J$ le milieu de $[EH]$ et $K$ le milieu de $[AE]$.

\begin{enumerate}
  \item Donner les coordonnées des points $I$, $J$ et $K$.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer la valeur du produit scalaire $\vect{AI} \cdot \vect{AJ}$.
    \item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{IAJ}$ arrondie au dixième de degré.
  \end{enumerate}

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que le vecteur $\vect{KC}$ est un vecteur normal au plan $(AIJ)$.
    \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(AIJ)$ est $x + y - \dfrac{1}{2}z = 0$.
  \end{enumerate}

  \item Soit $L$ le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $(AIJ)$.
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer les coordonnées du point $L$.
    \item En déduire que la distance du point $C$ au plan $(AIJ)$ est égale à $\dfrac{4}{3}$.
  \end{enumerate}

  \item Soit $M$ un point de la droite $(FG)$.
  On admet que les coordonnées de $M$ sont $(1;m;1)$ avec $m$ appartenant à $\mathbb{R}$.
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(IM)$ est :
    \[ \begin{cases} x = \dfrac{1}{2}s + \dfrac{1}{2} \\ y = ms \\ z = 1 \end{cases}, \quad s \in \mathbb{R} \]
    \item Peut-on affirmer que les droites $(IM)$ et $(KC)$ sont coplanaires quelle que soit la valeur de $m$ ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)}
%===============================================================

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x^2}$.

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.
    \item Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
  \end{enumerate}

  \item Pour tout réel strictement positif $x$, démontrer que :
  \[ f'(x) = \frac{1 - 2\ln(x)}{x^3} \]

  \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites et les valeurs exactes des éventuels extremums de la fonction.

  \item Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$, tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $1$.

  \item Vérifier que pour tout réel strictement positif $x$, on a :
  \[ f''(x) = \frac{-5 + 6\ln(x)}{x^4} \]

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Étudier la convexité de la fonction $f$ en précisant les coordonnées des éventuels points d'inflexion.
    \item En déduire que, pour tout réel $x$ appartenant à $\intervOF{0}{\e^{5/6}}$, on a $x - 1 \geqslant \dfrac{\ln(x)}{x^2}$.
  \end{enumerate}

  \item Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $\intervFF{\e^{5/6}}{+\infty}$, on a aussi $x - 1 \geqslant \dfrac{\ln(x)}{x^2}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\suiten[I]$ définie, pour tout entier naturel non nul $n$, par :
\[ I_n = \int_1^n \frac{\ln(x)}{x^2}\,\dx \]

\begin{enumerate}
  \item Donner une interprétation graphique de $I_n$ pour $n$ un entier naturel non nul.

  \item Démontrer que la suite $\suiten[I]$ est croissante.

  \item On souhaite calculer une approximation de $\displaystyle\int_1^{10} f(x)\,\dx$ en déterminant la somme des aires des rectangles tracés dans le graphique ci-dessous.

  \begin{Centrage}
    \begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=20cm,Xmin=0,Xmax=11.8,Xgrilles=1,Ymin=-0.04,Ymax=0.24,Ygrille=0.05,Ygrilles=0.05]
      \TracerAxesGrilles[Derriere]{0,1,...,11}{0,0.05,0.10,0.15,0.2}
      \DefinirCourbe[Nom=cf,Debut=0.5,Trace,Couleur=red]<f>{ln(x)/x^2}
      \RepresenterMethodeIntegrale[Couleur=teal,NbSubDiv=8,Opacite=0.5]<f>{2}{10}
      \draw[pflfigureintegr] (1,0) rectangle++ (1,{1/(2*exp(1))}) ;
      \TrouverMaximum[Debut=1,Fin=2]{f}[cf-max]
      \MarquerPts*[Couleur=blue,Style=x]{(cf-max)}
      \PlacerTexte[Police=\large,Couleur=red]{(10.5,0.0375)}{$\mathcal{C}_f$}
      \TracerAxesGrilles*[Devant,Origine]{0,1,...,11}{0,0.05,0.10,0.15,0.2}
    \end{GraphiqueTikz}
  \end{Centrage}

  Pour cela, on utilise le script suivant, écrit en langage \textsf{Python}.

  \medskip

  \CodePythonLstFichierAlt*[8cm]{center}{cee2026j1exo4.py}

  \medskip

  Recopier et compléter ce script afin qu'il réponde au problème posé.

  \item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$ :
  \[ I_n = \frac{n - 1 - \ln(n)}{n} \]

  \item Calculer la limite de la suite $\suiten[I]$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}

\end{document}
