% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex

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\newcommand{\serie}{Gé.}
\newcommand{\lieu}{Métropole}
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\newcommand{\codesujet}{26-MATJ1ME1}
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\def\repartpts{5,4,6,5}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
  {Probabilités / Variables aléatoires / Bienaymé-Tchebychev},
  {Vrai\&{}Faux},
  {Équations différentielles / Suites / Python},
  {Logarithme / Variations / Convexité / Intégration}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}

\title{\nomfichier}

\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \lieu{} - Sujet \numsujet}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
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\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
  \begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
    \foreach \i in {1,...,#1}{%
      \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
      \hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
    }%
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  \vspace*{0.5cm}
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  \begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.625\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1.5cm]{memo}} ;}]
    L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
    L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
    La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
    Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
  \end{tcolorbox}%
  \vspace*{0.5cm}
  \hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}

% Script Python exercice 3
\begin{scontents}[overwrite,write-out=me2026j1exo3.py]
def marche() :
    n = 0
    u = 20
    while ... :
        u = ...
        n = ...
    return n
\end{scontents}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{fr.v1}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}

\vspace{1cm}

\sujetbaclabelexos{4}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================

\medskip

Un navire assure la liaison entre deux ports de la Méditerranée. Lors d'une traversée, une famille a la possibilité de réserver une cabine ainsi qu'un emplacement pour un véhicule.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Parmi l'ensemble des familles effectuant la traversée, on constate que $30\,\%$ réservent un emplacement pour un véhicule et, parmi ces dernières, $80\,\%$ réservent une cabine.

On sait par ailleurs que $75\,\%$ des familles effectuant la traversée réservent une cabine.

On choisit au hasard une famille effectuant la traversée, et on considère les événements suivants :
\begin{itemize}
  \item $V$ : \og la famille réserve un emplacement pour un véhicule \fg{} ;
  \item $C$ : \og la famille réserve une cabine \fg.
\end{itemize}

Pour un événement quelconque $E$, on désigne par $\overline{E}$ son évènement contraire et par $P(E)$ sa probabilité.

\begin{wrapstuff}[r]
\def\ArbreExoUn{
  $V$/\numdots/,
  $C$/\numdots/,
  $\overline{C}$/\numdots/,
  $\overline{V}$/\numdots/,
  $C$/\numdots/,
  $\overline{C}$/\numdots/
}
\ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto,EspaceNiveau=1.75]{\ArbreExoUn}
\end{wrapstuff}

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Donner $P(C)$.

    \item Reproduire l'arbre ci-contre et compléter les quatre pointillés.
  \end{enumerate}

  \item Calculer la probabilité qu'une famille réserve un emplacement pour un véhicule et une cabine.

  \item Une famille a réservé une cabine. Déterminer la probabilité qu'elle réserve un emplacement pour un véhicule.

  \item Déterminer $P_{\overline{V}}(C)$. On arrondira le résultat à $10^{-2}$.

  Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Sur ce trajet, la réservation d'une cabine et d'un emplacement pour un véhicule sont facturés en supplément du coût de la traversée.

Ces suppléments sont d'un montant de :
\begin{itemize}
  \item $100$~€ pour une cabine ;
  \item $70$~€ pour l'emplacement d'un véhicule.
\end{itemize}

On suppose qu'une famille peut réserver au maximum une cabine et au maximum un emplacement pour un véhicule.

À ces suppléments peuvent s'ajouter le prix payé pour des extras (repas, boissons, etc.).

On note $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les suppléments.

On donne ci-dessous la loi de probabilité de $X$.

\medskip

\hfill%
\begin{tblr}{hlines,vlines,width=0.6\linewidth,colspec={X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]}}
  $x_i$           & $0$    & $70$   & $100$  & $170$ \\
  $P(X = x_i)$ & $0{,}19$ & $0{,}06$ & $0{,}51$ & $0{,}24$ \\
\end{tblr}%
\hfill\null

\medskip

On note $Y$ la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les extras.

On admet que la variable aléatoire $Y$ a pour espérance $\Esper{X} = 104$ et pour variance $\Varianc{X} = 1\,686$.

On suppose que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes.

\begin{enumerate}
  \item Justifier que $\Esper{X} = 96$ et que $\Varianc{X} = 3\,114$.

  \item À titre exceptionnel, la compagnie propose une remise de $40\,\%$ sur les suppléments et les extras.

  On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque famille effectuant la traversée, associe le montant total pour les suppléments et les extras, en euro, payé par cette famille après réduction.

  \begin{enumerate}
    \item Justifier que $Z = 0{,}6(X + Y)$.
    \item En déduire que $\Esper{Z} = 120$ et que $\Varianc{Z} = 1\,728$, où $\Esper{Z}$ est l'espérance de la variable aléatoire $Z$ et $\Varianc{Z}$ sa variance.
  \end{enumerate}

  \item On note $n$ un entier naturel non nul et on choisit au hasard un échantillon de $n$ familles effectuant cette traversée bénéficiant de la réduction exceptionnelle définie en question \textbf{2}.

  On admet que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise.

  On désigne par $Z_1$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la première famille, $Z_2$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la deuxième famille et ainsi de suite, $Z_n$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la $n$-ième famille.

  On considère la variable aléatoire $M_n = \dfrac{Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n}{n}$ donnant le prix total moyen pour les suppléments et les extras, payé par ces familles.

  On admet que les variables $Z_1$, $Z_2$, \ldots, $Z_n$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire $Z$.

  \begin{enumerate}
    \item Montrer que l'espérance $\Esper{M_n}$ de la variable $M_n$ est égale à $120$, et que sa variance $\Varianc{M_n}$ est égale à $\dfrac{1\,728}{n}$.
    \item Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que $P(114 < M_n < 126) \geqslant 0{,}85$.

    Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================

\medskip

\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$.

  On considère :

  \begin{itemize}
    \item la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est :
    \[
      \begin{cases} x = t \\ y = -1{,}5 - t \\ z = 2 - 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} \,;
    \]
    \item les points $A(3\,;\,0\,;\,2)$ et $B(2\,;\,1\,;\,-3)$ ;
    \item le plan $(P)$ d'équation : $-x + y - 5z - 0{,}5 = 0$.
  \end{itemize}

  \begin{enumerate}
    \item \textbf{Affirmation 1 :} Le plan $(P)$ est orthogonal à la droite $(AB)$, et passe par le milieu du segment $[AB]$.

    \item \textbf{Affirmation 2 :} Les droites $(d)$ et $(AB)$ sont sécantes.

    \item On considère le point $C$ de coordonnées $(1{,}5\,;\,-3\,;\,-1)$.

    \textbf{Affirmation 3 :} La mesure de l'angle $\widehat{ACB}$, arrondie à $10^{-1}$, est égale à $70{,}5°$.
  \end{enumerate}

  \item Titouan et Clotilde participent à un escape game. Ils se retrouvent dans une salle possédant deux portes de sortie, A et B, chacune protégée par un digicode équipé de $8$ touches portant des symboles différents :
  \begin{itemize}
    \item le digicode de la porte A utilise un code de $3$ symboles différents devant être saisis dans l'ordre ;
    \item celui de la porte B utilise un code de $4$ symboles différents qui peuvent être saisis dans n'importe quel ordre.
  \end{itemize}

  N'étant pas parvenus à obtenir d'indices, ils décident de procéder au hasard à la saisie des codes. Clotilde choisit un code pour la porte A, et Titouan choisit un code pour la porte B.

  On considère que les choix des codes sont équiprobables.

  \textbf{Affirmation 4 :} Titouan a plus de chances d'ouvrir sa porte que Clotilde.
\end{enumerate}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)}
%===============================================================

\medskip

On étudie le fonctionnement d'un système de chauffage installé dans une pièce.

Ce système se déclenche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à 18°C (degrés Celsius), et s'éteint lorsqu'elle atteint 20°C.

\medskip

\textbf{Partie A : Phase de chauffage}

\medskip

Pour une température de la pièce variant de 18°C à 20°C, le système de chauffage fonctionne en continu. La température de la pièce augmente progressivement.

Dans cette partie, on modélise la température de la pièce, en degré Celsius, à l'instant $t$, exprimé en dizaines de minutes, par une fonction $T$ définie sur $\intervFO{0}{+\infty}$.

On admet que la fonction $T$ est :
\begin{itemize}
  \item dérivable sur $\intervFO{0}{+\infty}$ ;
  \item solution de l'équation différentielle $(E)$ : $y' = -0{,}035\,y + 0{,}91$ où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $\intervFO{0}{+\infty}$.
\end{itemize}

On note $T'$ la fonction dérivée de la fonction $T$.

On suppose qu'au début de l'étude, la température de la pièce est de 18°C. Ainsi $T(0) = 18$.

\begin{enumerate}
  \item Donner les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $\intervFO{0}{+\infty}$.

  \item En déduire que pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$, on a :
  \[
    T(t) = 26 - 8\e^{-0{,}035t}.
  \]

  \item Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps la pièce atteindra la température de 20°C. On exprimera le résultat en heures et minutes arrondi à la minute.

  \item Si une panne du système de chauffage l'empêche de s'éteindre lorsque la température de la pièce atteint 20°C, la température de la pièce pourra-t-elle dépasser 28°C selon ce modèle ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Phase de refroidissement}

\medskip

Lorsque la pièce atteint la température de 20°C, le système de chauffage s'éteint et la pièce refroidit.

On modélise la température de la pièce par la suite $\suiten$ définie par $u_0 = 20$ et pour tout entier naturel $n$ :%
\[
  u_{n+1} = 0{,}965\,u_n + 0{,}35 + 0{,}07\e^{-0{,}1n}
\]
où $n$ est un nombre entier exprimant le temps écoulé en dizaines de minutes.

\begin{enumerate}
  \item Montrer que $u_1 = 19{,}72$.

  \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n > 10$.

  On admet que la suite $\suiten$ est décroissante.

  \item En déduire que la suite $\suiten$ est convergente.

  \item On note $\ell$ la limite de la suite $\suiten$.
  \begin{enumerate}
    \item Justifier que cette limite est solution de l'équation $x = 0{,}965\,x + 0{,}35$.
    \item Déterminer $\ell$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
  \end{enumerate}

  \item On rappelle que le système de chauffage se met en marche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à $18°C$.
  \begin{enumerate}
    \item Recopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 du programme écrit en langage Python ci-dessous, afin qu'il renvoie le nombre de dizaines de minutes à partir duquel le système de chauffage se remettra en marche.

    \medskip

    \CodePythonLstFichierAlt[6cm]{center}{me2026j1exo3.py}

    \item Déterminer le temps, en dizaines de minutes, à partir duquel le système de chauffage se remettra en marche.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)}
%===============================================================

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOO{-1}{+\infty}$ par :
\[
  f(x) = a + \frac{b\,\ln(x+1)}{x+1},
\]
où $a$ et $b$ sont des réels, et $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\intervOO{-1}{+\infty}$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'objectif de cette partie est de déterminer les valeurs de $a$ et $b$ de sorte que la courbe représentative de la fonction $f$ sur $\intervFO{0}{+\infty}$ corresponde à celle tracée dans le repère orthonormé ci-dessous.

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1.125cm,y=1.125cm,Xmin=-0.5,Xmax=7.25,Xgrilles=1,Ymin=-0.75,Ymax=5.75,Ygrilles=1]
  \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{}
  \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1}
    \TracerCourbe[Couleur=teal,StyleTrace=dashed]{1+4*x}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue]{1+4*ln(x+1)/(x+1)}
  \MarquerPts[Couleur=black,Style=o]{(0,1)/$A$/below right}
  % Tangente en A : f'(0) = b, donc pente = b = 4
  \PlacerTexte[Couleur=teal]{(0.25,3.5)}{$T_A$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

On précise que la droite $T_A$ est la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A(0\,;\,1)$.

\begin{enumerate}
  \item Justifier que $a = 1$.

  \item En utilisant le graphique :
  \begin{enumerate}
    \item Donner la valeur de $f'(0)$. Justifier.
    \item Donner le signe de $f''(1)$. Justifier.
  \end{enumerate}

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $\intervOO{-1}{+\infty}$, on a :
    \[
      f'(x) = \frac{b(1 - \ln(x+1))}{(x+1)^2}.
    \]
    \item En déduire la valeur de $b$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet dans la suite de l'exercice que la fonction $f$ est définie sur $\intervOO{-1}{+\infty}$ par :
\[
  f(x) = 1 + \frac{4\ln(x+1)}{x+1}.
\]

\begin{enumerate}
  \item Justifier que la droite d'équation $y = 1$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$.

  \item Résoudre l'inéquation $1 - \ln(x+1) > 0$ sur $\intervOO{-1}{+\infty}$.

  \item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x) = -\infty$.

  Dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$ en indiquant la valeur exacte de son extremum. Justifier.

  \item Montrer que l'équation $f(x) = 1{,}5$ admet une unique solution dans l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$. En donner une valeur arrondie à $10^{-1}$.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que :
    \[
      \int_0^2 \frac{\ln(x+1)}{x+1}\,\dx = \frac{1}{2}(\ln 3)^2.
    \]
    \item En déduire l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction $f$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
