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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\session}{2026}
\newcommand{\annee}{2026}
\newcommand{\serie}{Gé.}
\newcommand{\lieu}{Polynésie}
\newcommand{\jour}{16}
\newcommand{\mois}{juin}
\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\codesujet}{26-MATJ1PO1}% code provisoire, en attente de la version officielle
\newcommand{\nomfichier}{[BAC \serie{} \annee{}] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3,4}
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\def\repartpts{5,5,5,5}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
  {Probabilités / Dénombrement},
  {Vrai\&{}Faux},
  {Suites},
  {Géométrie dans l'espace}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}

\title{\nomfichier}

\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \lieu{} - Sujet \numsujet}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
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\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)}
\newcommand\intervOO[2]{\left]#1;#2\right[}
\newcommand\intervFF[2]{\left[#1;#2\right]}
\newcommand\intervOF[2]{\left]#1;#2\right]}
\newcommand\intervFO[2]{\left[#1;#2\right[}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
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\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
  \begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
    \foreach \i in {1,...,#1}{%
      \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
      \hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
    }%
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  \begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.625\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1.5cm]{memo}} ;}]
    L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
    L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
    La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie.\\
    Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
  \end{tcolorbox}%
  \vspace*{0.5cm}
  \hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}

%% ---------------------------------------------------------------
\begin{document}
%% ---------------------------------------------------------------

\pagestyle{fancy}

\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{poly.v1}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}

\vspace{1cm}

\sujetbaclabelexos{4}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================

\medskip

Une école de surf travaille avec des planches en mousse pour les cours débutants, et d'autres en résine pour les cours de perfectionnement. Les planches en mousse représentent $80\,\%$ du stock de l'école.

La gérante observe qu'après chaque saison~:
\begin{itemize}[noitemsep]
  \item $75\,\%$ des planches en mousse sont en bon état et réutilisables la saison suivante. Les autres sont recyclées (et donc non réutilisables)~;
  \item $60\,\%$ des planches en résine sont en bon état, les autres sont soit consolidées, soit recyclées.
\end{itemize}

Après une saison, on choisit une planche au hasard et on s'intéresse aux évènements suivants~:
\begin{itemize}[noitemsep]
  \item $M$ : \og La planche est en mousse \fg~;
  \item $B$ : \og La planche est en bon état \fg~;
  \item $R$ : \og La planche sera recyclée \fg~;
  \item $C$ : \og La planche sera consolidée \fg.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter sur la copie l'arbre pondéré ci-dessous avec les données de l'énoncé.

  Il sera complété au fur et à mesure de l'exercice.

  \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[
    x=2.75cm, y=0.85cm,
    edge from parent/.style={semithick,draw,-},
    every node/.style={font=\small}
  ]
    % Niveau 0 (racine)
    \coordinate (r) at (0,0) ;
    % Niveau 1
    \node (M)  at (1, 1.5) {$M$};
    \node (Mb) at (1,-1.5) {$\overline{M}$};
    % Niveau 2 — branche M
    \node (MB) at (2, 2.5) {$B$};
    \node (MR) at (2, 0.5) {$R$};
    % Niveau 2 — branche M̄
    \node (MbB) at (2,-0.5) {$B$};
    \node (MbR) at (2,-1.8) {$R$};
    \node (MbC) at (2,-3.0) {$C$};
    % Traits
    \draw (r) -- (M) ;
    \draw (r) -- (Mb) ;
    \draw (M)  -- (MB) ;
    \draw (M)  -- (MR) ;
    \draw (Mb) -- (MbB) ;
    \draw (Mb) -- (MbR) ;
    \draw (Mb) -- (MbC) ;
  \end{tikzpicture}
  \end{center}

  \item On sait que $P{\big(\overline{M} \cap R\big)} = 0{,}05$.
  \begin{enumerate}
    \item Interpréter cette égalité dans le contexte de l'exercice.
    \item On a choisi une planche en résine. Démontrer que la probabilité que cette planche soit consolidée pour la saison suivante est $0{,}15$.
  \end{enumerate}

  \item La gérante affirme qu'après une saison, au moins $\dfrac{3}{4}$ des planches sont en bon état. A-t-elle raison~?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La gérante du club de surf envisage de proposer à certains clients une remise pour la saison suivante.

Pour cela, elle imagine le jeu suivant qui sera proposé à chaque client~:

Une urne contient $5$ boules noires et un nombre $n$ de boules rouges.

Les boules sont indiscernables au toucher.

Le client tire simultanément deux boules dans l'urne.

Si les deux boules sont de même couleur, le client gagne une remise ; sinon, il perd le jeu et n'obtient pas de remise.

\begin{enumerate}
  \item Justifier que la probabilité $p$ de gagner une remise est~:
  \[
    p = \dfrac{\dbinom{5}{2} + \dbinom{n}{2}}{\dbinom{n+5}{2}}.
  \]

  \item En déduire que la probabilité $p$ peut s'écrire~:
  \[
    p = \dfrac{20 + n(n-1)}{(n+5)(n+4)}.
  \]

  \item La gérante souhaite s'assurer que la probabilité de gagner est inférieure à $\dfrac{1}{2}$.

  Déterminer pour cela l'ensemble des valeurs possibles du nombre $n$ de boules rouges qu'elle peut mettre dans l'urne.
\end{enumerate}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================

\medskip

\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.}

\textit{Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\textit{Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x + 1)\,\e^{-x}$.

  \textbf{Affirmation 1~:} La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.

  \item On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x\,\e^x$.

  \textbf{Affirmation 2~:} La fonction $g$ est convexe sur l'intervalle $\intervFO{-2}{+\infty}$.

  \item \textbf{Affirmation 3~:} Une intégration par parties permet d'obtenir~:
  \[
    \int_{0}^{\pi} x\sin x \dx = -\pi.
  \]

  \item On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y' = 2y - 5$ et la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

  $h(x) = -\dfrac{3}{2}\,\e^{2x} + \dfrac{5}{2}$.

  \textbf{Affirmation 4~:} La fonction $h$ est la solution de $(E)$ qui vaut $1$ en $0$.

  \item On considère la fonction \texttt{mystere} définie ci-dessous en \textsf{Python}~:

\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=6cm]{center}
def mystere(n) :
    f = 1
    for k in range(1, n+1) :
        f = f * k
    return f
\end{CodePythonLstAlt}

  \textbf{Affirmation 5~:} Le nombre renvoyé lors de l'exécution de \texttt{mystere(5)} est $120$.
\end{enumerate}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)}
%===============================================================

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\intervFO{0}{+\infty}$ par :%
\[
  f(x) = \ln(3x^2 + 1).
\]
On admet que la fonction $f$ est croissante sur $\intervFO{0}{+\infty}$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la suite $\suiten[u]$ définie par~:
\[
  u_0 = 2 \text{ et pour tout entier } n \geqslant 0,~ u_{n+1} = \ln{\left(3u_n^2 + 1\right)}.
\]

\begin{enumerate}
  \item Calculer $u_1$.

  \item La suite $\suiten[u]$ est représentée ci-dessous. Émettre des conjectures sur le sens de variation et la convergence de la suite $\suiten[u]$.

  \begin{Centrage}%à voir si tkz-grapheur...
    \begin{GraphiqueTikz}[x=0.8cm,y=1.3cm,Xmin=0,Ymin=0,Xmax=13.5,Xgrille=2,Xgrilles=2,Ymax=4.3,Ygrilles=1]
      \TracerAxesGrilles*[Origine]{0,2,...,12}{0,1,...,4}
      \ifdef{\TracerNuageSuiteF}%compatibilité dernière version ;-)
        {%
          \TracerNuageSuiteF*[CouleurNuage=red,Style=o,Debut=0,Fin=13]{2}{ln(3*x^2+1)}
        }%
        {%
          \foreach \pt/\val in {
            0/2, 1/2.565, 2/3.032, 3/3.353, 4/3.547, 5/3.657,
            6/3.717, 7/3.748, 8/3.765, 9/3.773, 10/3.778,
            11/3.780, 12/3.781, 13/3.782
          } {
            \filldraw[red] (\pt,\val) circle(1.75pt);
          }
        }%
      \PlacerTexte[Position=right]{(axeox-ee)}{$n$}
      \PlacerTexte[Position=above right]{(axeoy-nn)}{$u_n$}
    \end{GraphiqueTikz}
  \end{Centrage}

  \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$~:
  \[
    2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4.
  \]

  \item En déduire que la suite $\suiten[u]$ est convergente.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $\ell$ la limite de la suite $\suiten[u]$.

Le but de cette partie est de trouver une valeur approchée de la limite $\ell$.

On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur $\intervFO{0}{+\infty}$ par~:
\[
  g(x) = \ln(3x^2+1) - x.
\]

\begin{enumerate}
  \item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$.

  Démontrer que pour tout réel $x \in \intervFO{0}{+\infty}$~:
  \[
    g'(x) = \dfrac{-3x^2 + 6x - 1}{3x^2 + 1}.
  \]

  \item Démontrer que la fonction $g$ est strictement décroissante sur $\intervFF{2}{4}$.

  \item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\intervFF{2}{4}$ et en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

  \item Justifier que $\ell = \alpha$.
\end{enumerate}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)}
%===============================================================

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$.

On considère les points $A(1;2;-1)$, $B(0;3;2)$, $C(-2;4;0)$ et $D(8;2;-11)$.

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
    \item Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\8\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $5x + 8y - z - 22 = 0$.
    \item Vérifier que le point $D$ n'appartient pas au plan $(ABC)$.
  \end{enumerate}

  \item
  \begin{enumerate}
    \item On considère la droite $\Delta$, orthogonale au plan $(ABC)$ et passant par $D$.

    Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est~:
    \[
      \begin{cases}
        x = \phantom{-}8 + 5t \\
        y = \phantom{-}2 + 8t \\
        z = -11 - t
      \end{cases},\quad\text{avec } t \in \mathbb{R}.
    \]

    \item On appelle $E$ le point d'intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.

    Démontrer que le point $E$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{11}{2};-2;-\dfrac{21}{2}\right)$.

    \item En déduire la valeur exacte de la longueur $DE$, distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
  \end{enumerate}

  \item On note $H$ le point de coordonnées $\left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{10}{3};\dfrac{4}{3}\right)$.

  On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(BC)$ est~:
  \[
    \begin{cases}
      x = -2k \\
      y = \phantom{-}3 + k \\
      z = \phantom{-}2 - 2k
    \end{cases},\quad\text{avec } k \in \mathbb{R}.
  \]

  Avec un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats suivants~:

  \begin{Centrage}
    \begin{CalculFormelGeogebra}[Largeur=12]
      \LigneCalculsGeogebra{\ttfamily (-2/3-1)*(-2)+(10/3-2)*1+(4/3-(-1))*(-2)}{\ttfamily\textrightarrow~~0}
      \LigneCalculsGeogebra{\ttfamily Résoudre système(-2k=-2/3, 3+k=10/3, 2-2k=4/3)}{\ttfamily\textrightarrow~~k=-1/3}
      \LigneCalculsGeogebra{\ttfamily (-2/3-1)\^{}2+(10/3-2)\^{}2+(4/3+1)\^{}2}{\ttfamily\textrightarrow~~RacineCarrée(10)}
      \LigneCalculsGeogebra{\ttfamily RacineCarrée((-2-0)\^{}2+(4-3)\^{}2+(0-2)\^{}2)}{\ttfamily\textrightarrow~~3
      }
    \end{CalculFormelGeogebra}
  \end{Centrage}

  \begin{enumerate}
    \item En utilisant les deux premiers résultats obtenus avec la feuille de calculs ci-dessus, justifier que le point $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(BC)$.
    \item En exploitant les autres résultats obtenus avec la feuille de calculs ci-dessus, déterminer le volume du tétraèdre $ABCD$.

    On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur relative à cette base.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
