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%% ---------------------------------------------------------------
%% Métadonnées sujet
%% ---------------------------------------------------------------
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  {Probabilités / Bienaymé-Tchebychev},
  {Fonctions logarithme / Suite / Python},
  {Géométrie dans l'espace},
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\title{\nomfichier}

\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \lieu{} - Sujet \numsujet}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
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\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
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    \foreach \i in {1,...,#1}{%
      \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
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    L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
    L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.\\
    Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée.\\
    La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie.\\
    Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
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\begin{document}
%% ---------------------------------------------------------------

\pagestyle{fancy}

\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{poly.v1}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}

\vspace{1cm}

\sujetbaclabelexos{4}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================

\medskip

Dans cet exercice, on s'intéresse à la part des filles et des garçons s'orientant vers des études scientifiques après avoir suivi un enseignement de spécialité mathématiques en terminale.

\medskip

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans une académie donnée, la population est constituée d'élèves de terminale ayant choisi la spécialité mathématiques. On souhaite analyser leurs choix d'orientation, notamment vers les études supérieures en ingénierie.

Les répartitions sont les suivantes :
\begin{itemize}
  \item $40\,\%$ sont des filles ; $60\,\%$ sont des garçons ;
  \item parmi les filles, $33{,}75\,\%$ envisagent des études d'ingénieur ;
  \item parmi les garçons, $54{,}25\,\%$ envisagent des études d'ingénieur.
\end{itemize}

On interroge uniformément au hasard un élève de terminale ayant choisi la spécialité mathématiques de cette académie et on considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
  \item $F$ : \og L'élève est une fille \fg~;
  \item $I$ : \og L'élève envisage des études d'ingénieur \fg.
\end{itemize}

Pour un évènement $E$ quelconque, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire et $P(E)$ la probabilité de $E$.

\begin{enumerate}
  \item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

  \item Calculer la probabilité que l'élève choisi au hasard soit une fille envisageant des études d'ingénieur.

  \item Démontrer que la probabilité que l'élève choisi au hasard envisage des études d'ingénieur est égale à $0{,}4605$.

  \item L'élève interrogé envisage des études d'ingénieur. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une fille ?

  \textit{Donner une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on considère un entier naturel $n$ non nul.

On interroge uniformément au hasard dans cette académie $n$ filles en terminale, qu'elles suivent ou non la spécialité mathématiques. On suppose que ce nombre de filles est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à des tirages indépendants avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui modélise le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure qu'elle suive ou non la spécialité mathématiques.

On admet que la probabilité qu'une fille souhaite devenir ingénieure est égale à $0{,}15$.

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale.
    \item Exprimer en fonction de $n$ l'espérance de $X$.
  \end{enumerate}

  \item En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit nombre de lycéennes qu'il faut interroger pour que la probabilité de l'évènement \og Au moins une fille parmi celles interrogées souhaite devenir ingénieure \fg{} soit supérieure ou égale à $0{,}99$.

  \item Dans cette question, on choisit un échantillon de $n = 29$ filles.

  Déterminer la probabilité qu'au moins le quart des filles interrogées souhaite devenir ingénieure. \textit{Donner une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On s'intéresse à dix académies françaises de tailles comparables numérotées de $1$ à $10$.

On considère $X_1$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $1\,500$ lycéennes de l'académie n°$1$, associe le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure.

On définit de la même façon les variables aléatoires $X_2$, \ldots, $X_{10}$ pour les académies $2$ à $10$.

On admet que les variables aléatoires $X_1$, $X_2$, \ldots, $X_{10}$ sont indépendantes entre elles et qu'elles admettent la même espérance égale à $225$ et la même variance égale à $191{,}25$.

On considère la variable aléatoire $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{10}$.

\begin{enumerate}
  \item Que représente la variable aléatoire $S$ pour les $15\,000$ lycéennes interrogées sur l'ensemble des dix académies ?

  \item Calculer l'espérance et la variance de $S$.

  \item On considère l'ensemble des $15\,000$ lycéennes formé par les échantillons issus des dix académies.

  Argumenter pour dire si l'affirmation suivante est vraie, fausse ou si on ne peut pas savoir : \og \textit{La probabilité que le nombre total de filles envisageant de devenir ingénieure soit strictement compris entre $2\,000$ et $2\,500$ est supérieure à $0{,}95$} \fg.
\end{enumerate}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout $x \in \intervFF{4}{10}$ par $f(x) = \ln(8x^3 - 1)$.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\intervFF{4}{10}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
  \item Montrer pour tout $x \in \intervFF{4}{10}$, on a :
  \[
    f'(x) = \frac{24x^2}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}.
  \]

  \item
  \begin{enumerate}
    \item En déduire que $f$ est croissante sur $\intervFF{4}{10}$.
    \item Montrer que, pour tout $x \in \intervFF{4}{10}$, on a :
    \[
      4 \leqslant f(x) \leqslant 10.
    \]
  \end{enumerate}

  \item On définit la fonction $g$ définie pour tout $x \in \intervFF{4}{10}$ par $g(x) = f(x) - x$.

  On admet que $g$ est strictement décroissante sur son ensemble de définition.

  \begin{enumerate}
    \item Montrer que, sur l'intervalle $\intervFF{4}{10}$, l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$.
    \item Déterminer un encadrement à $10^{-3}$ près de $\alpha$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet qu'on peut définir la suite $\suiten[u]$ par $u_0 = 5$ et pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = f(u_n)$, où $f$ est la fonction étudiée à la partie A.

\begin{enumerate}
  \item Donner une valeur approchée de $u_1$ à $10^{-1}$ près.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :
    \[
      4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 10.
    \]
    \item En déduire que la suite $\suiten[u]$ converge.
  \end{enumerate}

  \item Montrer que la suite $\suiten[u]$ converge vers le nombre $\alpha$, défini dans la partie A.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette partie, on admet que $8{,}4 \leqslant \alpha \leqslant 8{,}5$.

On a créé, en langage \textsf{Python}, la fonction \texttt{alpha} suivante.

On précise qu'en langage \textsf{Python}, l'instruction \texttt{log} correspond à $\ln$.

\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center}
def f(x) :
    return log(8*x**3 - 1)

def alpha(a) :
    n = 0
    u = 5
    while u < a :
        u = f(u)
        n = n + 1
    return n
\end{CodePythonLstAlt}

\begin{enumerate}
  \item On admet que \texttt{alpha(8.499)} renvoie la valeur $11$.

  Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

  \item Un utilisateur exécute \texttt{alpha(8.6)}.

  Expliquer pourquoi aucune valeur n'est alors renvoyée.
\end{enumerate}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)}
%===============================================================

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $\Rijk$, on considère les points $A(-1;1;1)$, $B(1;-6;-1)$ et $C(-5;2;3)$.

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    \item Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}6\\-2\\13\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
    \item En déduire que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne :
    \[
      6x - 2y + 13z - 5 = 0.
    \]
  \end{enumerate}

  \item On considère le plan $(P)$ d'équation cartésienne $8x - 2y - 4z + 18 = 0$.

  On admet que deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux.

  Démontrer que les plans $(ABC)$ et $(P)$ sont perpendiculaires.

  \item Soit $(d)$ une droite dont une représentation paramétrique est :
  \[
    \begin{cases}
      x = -4 + t \\
      y = -11 + 6t \\
      z = 2 - t
    \end{cases}
    \quad ; \quad t \in \mathbb{R}.
  \]

  Démontrer que la droite $(d)$ intersecte le plan $(ABC)$ en un unique point qu'on nommera $E$, et qui a pour coordonnées $E(-3;-5;1)$.

  \item Soit $H(-2;1;0)$.
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$.
    \item En déduire la distance du point $A$ à la droite $(d)$.
    \item Montrer que le triangle $AHE$ est rectangle et que son aire est égale à $\sqrt{19}$ unités d'aire.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)}
%===============================================================

\medskip

\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\begin{enumerate}
  \item On considère la fonction $f$ définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $f(x) = x\,\e^{\left(x^2\right)}$.

  \textbf{Affirmation 1~:} $f$ est concave sur $\intervOF{-\infty}{0}$.

  \item Un refuge spécialisé accueille $24$ rapaces numérotés de $1$ à $24$. Le refuge travaille avec trois vétérinaires. Afin d'administrer un soin à tous les oiseaux, le directeur veut donc former trois groupes, numérotés de $1$ à $3$, constitués chacun de $8$ rapaces.

  \textbf{Affirmation 2~:} Le nombre de façons de répartir les rapaces dans les groupes $1$ à $3$ est :
  \[
    \frac{24!}{(8!)^3}.
  \]

  \item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, solution de l'équation différentielle :
  \[
    y' = -y + 1 \quad \text{sur } \mathbb{R}.
  \]

  \textbf{Affirmation 3~:} La fonction $g$ définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $g(x) = f(x) - 1$ vérifie
  \[
    g' = -g.
  \]

  \item La suite $\suiten[u]$ est définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :
  \[
    u_n = \frac{\sin(n)}{n}.
  \]

  \textbf{Affirmation 4~:} La suite $\suiten[u]$ n'admet pas de limite.

  \item On a tracé ci-dessous la parabole d'équation $y = -x^2 + 4x + 1$ et la droite d'équation $y = x + 1$.

  \begin{Centrage}
  \begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=1cm,Xmin=-1,Xmax=5.5,Xgrilles=0.5,Ymin=-1.5,Ymax=5.5,Ygrilles=0.5]<AffCadre>
    \TracerAxesGrilles*[Origine]{0,...,5}{-1,0,...,5}
    \DefinirCourbe[Nom=cf]<f>{-x*x+4*x+1}
    \DefinirCourbe[Nom=cg]<g>{x+1}
    \TracerIntegrale%
      [Couleurs=lightgray,Style=remplissage,Type=fct/fct,Bornes=abs]%
      {f(x)}[g(x)]
      {0}{3}
    \TracerCourbe[Couleur=red]{f(x)}
    \TracerCourbe[Couleur=blue]{g(x)}
  \end{GraphiqueTikz}
  \end{Centrage}

  \textbf{Affirmation 5~:} L'aire du domaine grisé est égale à $6{,}5$ unités d'aire.
\end{enumerate}

\end{document}
