% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex

\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\session}{2026}
\newcommand{\annee}{2026}
\newcommand{\serie}{Sans spécialité}
\newcommand{\lieu}{Amérique du Nord}
\newcommand{\jour}{1}
\newcommand{\mois}{juin}
\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\codesujet}{26-MATNSPEGEAN1}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3}
\setsepchar{,}
\def\repartpts{6,14,5,5,4}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
  {Suites / Tableur},
  {Probabilités},
  {Fonctions / Dérivées}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}

\title{\nomfichier}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate[1]{font=\bfseries}
\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}

\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par mistral.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily \codesujet}
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%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}

% Réponses QCM avec labels minuscules
\NewDocumentCommand\eamreponsesautom{ O{2} D<>{0.975\linewidth} m m m m }{%
  \ExamReponsesQCM%
    [Filets,NbCols=#1,PoliceLabels={\bfseries},Labels={a.},Largeur=#2,Swap]%
    {{#3},{#4},{#5},{#6}}%
    <rowsep=4pt,colsep=8pt>
}

\newcommand\eamreponsesautomgraph[5]{%
  \begin{tblr}{hlines,vlines,width=#1\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}},row{2}={c}}
    \textbf{a.} & \textbf{b.} & \textbf{c.} & \textbf{d.} \\
    #2 & #3 & #4 & #5 \\
  \end{tblr}
}

\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
  \begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
    \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
    %
    \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
    \foreach \i in {1,...,#1}{%
      \xdef\j{\inteval{\i+2}}%
      \hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
      \hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
    }%
  \end{tcolorbox}%

  \vspace*{0.25cm}

  \settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1cm]{memo}}}%
  \begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.75\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1cm]{memo}} ;}]
    La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
    Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
  \end{tcolorbox}%

  \vspace*{0.75cm}

  \hfill\pictostamp[radius=2cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}

\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
  \tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
  \textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}

  \smallskip
}%
{%
  \endtcolorbox%
}

\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
  \hypertarget{exon#1}{}%
  \tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
  \textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}

  \medskip
}%
{%
  \endtcolorbox%
}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=4cm]{amnord}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{EAM \og \serie{} \fg, \lieu, \mois{} \annee}

\vspace{0.25cm}

\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie générale : candidats ne suivant pas l'enseignement de spé. de mathématiques.

\medskip

Durée : 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{tcolorbox}

\vspace{0.25cm}

\sujetbaclabelexos{3}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)} %exoautomaqcm
%===============================================================

\smallskip

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reporter son numéro sur la copie et indiquer la réponse.}

\medskip

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\medskip

\begin{AutomatQuestEAM}{1}
On veut comparer deux nombres réels notés $A$ et $B$.
On sait que la différence $A - B$ est strictement positive. Alors :

\smallskip

\eamreponsesautom[2]{$A < B$}{$A > B$}{$A = B$}{On ne peut pas savoir.}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{2}
On considère le nombre : $C = \dfrac{1}{2} + 3 \times \dfrac{5}{6}$. On a :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$C = 2$}{$C = \dfrac{35}{12}$}{$C = \dfrac{31}{2}$}{$C = 3$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{3}
On considère le nombre : $D = 3 \times 2^5 \times 2^3$. On a :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$D = 3 \times 2^{8}$}{$D = 6^{8}$}{$D = 3 \times 2^{15}$}{$D = 7^{8}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{4}
On considère le nombre : $E = 999 \times 1\,001$. Un ordre de grandeur de $E$ est :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$1\,000$}{$10\,000$}{$100\,000$}{$1\,000\,000$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{5}
Quand on développe $(x+2)^2$, on obtient :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$x^2 + 4x + 4$}{$2x + 4$}{$x^2 + 4$}{$x^2 - 4$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{6}
L'équation $3x - 5 = x + 3$ a pour solution :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$x = -4$}{$x = 8$}{$x = 6$}{$x = 4$}
\end{AutomatQuestEAM}

\pagebreak

\begin{AutomatQuestEAM}{7}
Dans une boîte de $60$ chocolats, $40\,\%$ sont des chocolats au lait.
Combien y a-t-il de chocolats au lait dans la boîte ?

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$20$}{$24$}{$25$}{$40$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{8}
Le taux d'évolution équivalent à une baisse de $10\,\%$ suivie d'une baisse de $20\,\%$ est :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$-38\,\%$}{$-30\,\%$}{$-28\,\%$}{$-18\,\%$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{9}
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-8mm]
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.575cm,y=0.575cm,Xmin=-2,Xmax=3,Xgrilles=0.5,Ymin=-3,Ymax=5,Ygrilles=0.5]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\tiny]{-2,-1,...,3}{-3,-2,...,5}
  \TracerCourbe[Couleur=red]{-2*x+3}
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}

Une droite est représentée ci-contre.

L'équation réduite de cette droite est :

\smallskip

\eamreponsesautom[1]<\linewidth-3.5cm>{$y = -2x + 3$}{$y = 3x + 1{,}5$}{$y = -0{,}5x + 3$}{$y = -2x + 1{,}5$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{10}
En physique, l'énergie cinétique d'un véhicule est donnée par la formule :%
\[ \mathrm{E} = \frac{1}{2}\,mv^2 \]%
où $m$ représente la masse du véhicule et $v$ sa vitesse.
On souhaite exprimer $v$ en fonction de $\mathrm{E}$ et $m$. Une expression de $v$ est :

\smallskip

\eamreponsesautom{$v = \sqrt{\dfrac{2\mathrm{E}}{m}}$}{$v = \dfrac{2\mathrm{E}}{m}$}{$v = \sqrt{\mathrm{E} - \dfrac{1}{2}m}$}{$v = \sqrt{2m\mathrm{E}}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\pagebreak

\begin{AutomatQuestEAM}{11}
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-8mm]
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.6cm,y=0.6cm,Xmin=-3.5,Xmax=4.5,Xgrilles=1,Xgrilles=0.5,Ymin=-4.5,Ymax=4]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Elargir=2.5mm,Police=\scriptsize]{-3,-2,...,4}{-4,-3,...,4}
  \DefinirCourbeInterpo[Nom=interpotest,Couleur=violet,Trace,Tension=0.75]%
    {(-3,3)(-2,2)(-1,0)(0,-4)(1,0)(2,2)(2.5,3.5)(3,2)(4,-4)}
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}

Une fonction $h$ définie sur $[-3;4]$ est représentée ci-contre.

L'équation $h(x) = 2$ a pour ensemble solution :

\smallskip

\eamreponsesautom[1]<\linewidth-5.75cm>{$\mathcal{S} = \{2\}$}{$\mathcal{S} = \{-2;2;3\}$}{$\mathcal{S} = [-2;3]$}{$\mathcal{S} = \{-0{,}5;0{,}5\}$}

\vspace*{0.5cm}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{12}
Un élève a obtenu une série de trois notes $9$~;~$11$~;~$13$ en mathématiques. Il a déterminé la moyenne et la médiane de cette série.

Il a obtenu deux nouvelles notes : $10$ et $17$ et obtient ainsi une nouvelle série de notes : $9$~;~$10$~;~$11$~;~$13$~;~$17$.

Laquelle des quatre propositions est vraie ?

\smallskip

\eamreponsesautom[1]{Les moyennes des deux séries sont égales et les médianes sont égales.}{Les moyennes des deux séries sont égales et les médianes sont différentes.}{Les moyennes des deux séries sont différentes et les médianes sont égales.}{Les moyennes des deux séries sont différentes et les médianes sont différentes.}
\end{AutomatQuestEAM}

\bigskip

%===============================================================
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)} %exos
%===============================================================

\begin{ExerciceEAM}{1}

En juin 2019, une population de $200$ marmottes a été introduite dans un massif montagneux où cette espèce était absente. Un zoologue en charge de ce projet souhaite modéliser l'évolution de cette population en fonction du temps.
Il constate qu'entre juin 2019 et juin 2020, la population a augmenté de $20$ individus.

\medskip

\textbf{Partie A : Premier modèle}

\medskip

Le zoologue propose un premier modèle où la population augmente de $20$ individus tous les ans.

On note alors $u_n$ la population de marmottes que l'on peut estimer à l'aide de ce modèle en juin $2019 + n$. On a donc $u_0 = 200$.

\begin{enumerate}
  \item Quelle est la nature de la suite $\suiten$ ? Préciser sa raison.
  \item À combien peut-on estimer le nombre de marmottes en juin 2025 ?
  \item En juin 2025, un nouveau décompte a permis de savoir que la population était de $355$ individus. Ce premier modèle semble-t-il être adapté à la situation ?
\end{enumerate}

\pagebreak

\textbf{Partie B : Second modèle}

\smallskip

\begin{enumerate}
  \item On rappelle que la population de marmottes était de $200$ individus en juin 2019 et de $220$ individus en juin 2020.

  De quel pourcentage la population a-t-elle augmenté entre ces deux dates ?
\end{enumerate}

Le zoologue propose un second modèle où la population augmente de ce même pourcentage tous les ans. Dans ce modèle, on représente la population de marmottes en juin $2019 + n$ par $v_n$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 1{,}1 \times v_n$.

\begin{enumerate}[resume]
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Quelle est la nature de la suite $\suiten[v]$ ? Préciser sa raison et son premier terme.
    \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
  \end{enumerate}

  \item On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite $\suiten[v]$.

  \medskip

  \hfill%
  \begin{tikzpicture}
    \newlength\tableurcol\setlength\tableurcol{1.1cm}
    \tableur*[2]{A/\tableurcol,B/\tableurcol,C/\tableurcol,D/\tableurcol,E/\tableurcol,F/\tableurcol,G/\tableurcol,H/\tableurcol,I/\tableurcol,J/\tableurcol,K/\tableurcol,L/\tableurcol}
    \lignetxt[align=center]{1}{$n$,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
    \lignetxt[align=center]{2}{$v(n)$,200,220,242,266,293,322,354,390,429,472,519}
  \end{tikzpicture}%
  \hfill\null
  \begin{enumerate}
    \item Selon ce nouveau modèle, à combien peut-on estimer le nombre de marmottes en juin 2025 ?
    \item En utilisant la donnée fournie dans la question \textbf{3.} de la partie \textbf{A}, ce nouveau modèle semble-t-il pertinent ?
    \item Au mois de juin de quelle année la population de marmottes de ce massif montagneux aura-t-elle dépassé $400$ individus, selon ce modèle ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\bigskip

\begin{ExerciceEAM}{2}

Les $200$ adhérents d'une salle de sport ne pratiquent qu'une seule activité parmi les deux activités suivantes : le step et le crossfit. La répartition des adhérents est donnée dans le tableau suivant.

\medskip

\hfill%
\begin{tblr}{vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid},hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid},width=0.6\linewidth,colspec={X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]},cells={font=\small}}
  & Step & Crossfit & Total \\
  Homme & $20$ & $80$ & $100$ \\
  Femme & $60$ & $40$ & $100$ \\
  Total & $80$ & $120$ & $200$ \\
\end{tblr}%
\hfill\null

\medskip

On choisit un adhérent au hasard parmi les $200$ adhérents.
On considère les événements suivants :
\begin{itemize}
  \item $F$ : « l'adhérent est une femme » ;
  \item $H$ : « l'adhérent est un homme » ;
  \item $S$ : « l'adhérent pratique le step » ;
  \item $C$ : « l'adhérent pratique le crossfit ».
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \item Déterminer la probabilité $P(F)$ de l'événement $F$.
  \item Déterminer la probabilité que l'adhérent soit un homme qui pratique le step.
  \item Déterminer la probabilité de l'événement $F \cap S$.
  \item Les événements $F$ et $S$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
  \item On choisit au hasard une femme parmi les adhérents.

  Quelle est la probabilité qu'elle pratique le crossfit ?
  \item Déterminer la probabilité $P_C(F)$.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\bigskip

\begin{ExerciceEAM}{3}

On considère ci-dessous la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $[-2;4]$. On a également tracé sa tangente au point $A$ d'abscisse $-1$.

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=1cm,Xmin=-2.5,Xmax=4.5,Xgrilles=0.5,Ymin=-1,Ymax=10,Ygrilles=0.5]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-2,-1,...,4}{1,2,...,9}
  \TracerCourbe[Couleur=blue]{-x^2+2*x+8}
  \TracerCourbe[Couleur=red]{4*x+9}
  \MarquerPts[Couleur=black]{(-1,5)/$A$/above left}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
  \item Par lecture graphique, donner la valeur de :
  \begin{enumerate}
    \item $f(3)$
    \item $f'(-1)$
  \end{enumerate}

  \item On admet que la fonction $f$ est définie sur $[-2;4]$ par $f(x) = -x^2 + 2x + 8$.
  \begin{enumerate}
    \item Calculer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $[-2;4]$.
    \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[-2;4]$.
  \end{enumerate}

  \item Donner les variations de $f$ sur $[-2;4]$.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\end{document}
