% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex

\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
\usepackage[margin=2cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage{ProfLycee}
\useproflyclib{ecritures,tikz2d,tikz3d,cas}
\RequirePackage[upright]{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb,amstext}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand\ttdefault{lmtt}
\usepackage{cabin,decimalcomma,ibrackets,esvect,bm}
\usepackage{hyperref,lastpage,enumitem,fancyhdr}
\usepackage{tabularx,multicol,wrapstuff,twemojis,logoetalab}
\usepackage[nonpgfplots]{tkz-grapheur}
\usepackage[pastableur]{customenvs}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{hobby}
\usepackage{babel}

\newcommand{\session}{2026}
\newcommand{\annee}{2026}
\newcommand{\serie}{Sans spécialité}
\newcommand{\lieu}{Polynésie}
\newcommand{\jour}{12}
\newcommand{\mois}{juin}
\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\codesujet}{26-MATGEPO1}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3}
\setsepchar{,}
\def\repartpts{6,14,6,4,4}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
  {Suites / Tableur},
  {Probabilités},
  {Fonctions / Dérivation}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}

\title{\nomfichier}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate[1]{font=\bfseries}
\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}

\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily \codesujet}
\rfoot{\scriptsize\sffamily - \thepage{}/{}\pageref{LastPage} -}
\setlength{\parindent}{0pt}
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}

\NewDocumentCommand\eamreponsesautom{ O{2} D<>{0.975\linewidth} m m m m }{%
  \ExamReponsesQCM%
    [Filets,NbCols=#1,PoliceLabels={\bfseries},Labels={A.},Largeur=#2,Swap]%
    {{#3},{#4},{#5},{#6}}%
    <rowsep=4pt,colsep=8pt>
}

\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
  \begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
    \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
    \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
    \foreach \i in {1,...,#1}{%
      \xdef\j{\inteval{\i+2}}%
      \hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
      \hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
    }%
  \end{tcolorbox}%
  \vspace*{0.25cm}
  \settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1cm]{memo}}}%
  \begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.75\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1cm]{memo}} ;}]
    La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
    Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
  \end{tcolorbox}%
  \vspace*{0.75cm}
  \hfill\pictostamp[radius=2cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}

\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
  \tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
  \textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}

  \smallskip
}%
{%
  \endtcolorbox%
}

\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
  \hypertarget{exon#1}{}%
  \tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
  \textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}

  \medskip
}%
{%
  \endtcolorbox%
}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=4cm]{poly}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{EAM \og \serie{} \fg, \lieu, \mois{} \annee}

\vspace{0.25cm}

\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie générale : candidats ne suivant pas l’enseignement de spé. de mathématiques.

\medskip

Durée : 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{tcolorbox}

\vspace{0.25cm}

\sujetbaclabelexos{3}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================

\smallskip

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

\medskip

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\medskip

\begin{AutomatQuestEAM}{1}
Le nombre $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{6}{5} - \dfrac{1}{5}$ est égal à :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$\dfrac{1}{3}$}{$\dfrac{5}{10}$}{$\dfrac{1}{5}$}{$\dfrac{5}{3}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{2}
Dans l'ensemble des nombres réels, l'équation $3x + 2 = -5x + 4$ a pour solution :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$x = -1$}{$x = -6$}{$x = \dfrac{1}{4}$}{$x = 4$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{3}
Pour tout nombre réel $x$, $(2x-3)(2x+3)$ est égal à :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$2x^2 - 9$}{$2x^2 - 6$}{$4x^2 - 12x + 9$}{$4x^2 - 9$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{4}
Dans un parc animalier, on compte $20$ singes, ce qui représente $5\,\%$ de l'effectif total des animaux de ce parc. L'effectif total des animaux du parc animalier est égal à :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$4\,000$}{$400$}{$1\,000$}{$100$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{5}
Une voiture parcourt une distance de $30$~km à une vitesse moyenne de $60$~km/h.

La durée du trajet, en minutes, est égale à :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$30$}{$60$}{$120$}{$18$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{6}
Une entreprise augmente sa production de $5\,\%$ par an. Après $3$ ans, la production initiale a été multipliée par :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$1{,}15$}{$1{,}05^3$}{$3 \times 1{,}05$}{$0{,}05^3$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{7}
Dans le repère du plan ci-dessous, on a tracé la droite $(d)$.

\begin{Centrage}
  \begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=1cm,Xmin=-1.25,Xmax=6.5,Xgrilles=1,Ymin=-1.5,Ymax=2.5,Ygrilles=1]
    \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-1,0,...,6}{-1,0,1,2}
    \TracerCourbe[Couleur=blue]{0.25*x-1}
    \node[font=\small,blue] at (3,-1) {$(d)$};
  \end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

L'équation réduite de la droite $(d)$ est :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$y = 4x - 1$}{$y = \dfrac{1}{4}x - 1$}{$y = x - \dfrac{1}{4}$}{$y = \dfrac{1}{4}x + 1$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{8}
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-8mm]
\begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=0.5cm,Xmin=-2.25,Xmax=3.25,Xgrilles=0.2,Ymin=-4.5,Ymax=4.75,Ygrilles=0.2]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-2,-1,...,3}{-4,-3,...,4}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Debut=-2,Fin=3]{-1*(x-2)*(x+1)}
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}

On considère une fonction $f$ définie sur $[-2;3]$, dont la courbe représentative est donnée ci-contre.

On peut dire que :

\smallskip

\eamreponsesautom[1]<\linewidth-6cm>{$f$ est croissante sur $[-2;0]$}{$f$ est positive sur $[-2;0]$}{$f$ est décroissante sur $[0;3]$}{$f$ est négative sur $[0;3]$}
\end{AutomatQuestEAM}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================

\begin{ExerciceEAM}{1}
Deux entreprises A et B souhaitent réduire leurs déchets plastiques.
\begin{itemize}
  \item L'entreprise A réduit ses déchets de $15$ tonnes chaque année. Elle produit $500$ tonnes de déchets en 2020.
  \item L'entreprise B réduit ses déchets de $8\,\%$ chaque année. Elle produit $600$ tonnes de déchets en 2020.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On a représenté ci-dessous les quantités annuelles estimées de déchets plastiques des entreprises A et B entre 2020 et 2030, en prenant l'année 2020 comme année de rang 0.

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.9cm,y=0.0075cm,Xmin=0,Xmax=10.5,Xgrille=1,Xgrilles=1,Ymin=0,Ymax=710,Ygrille=100,Ygrilles=100]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\small]{0,1,...,10}{0,100,...,700}
  \PlacerTexte[Police=\footnotesize,Position=above left]{(10.5,0)}{Quantité de déchets (en tonnes)}
  \PlacerTexte[Police=\footnotesize,Position=below right]{(0,710)}{Rang de l'année}
  \foreach \n in {0,...,10}{
    \MarquerPts*[Style=x,Couleur=blue,Taillex=2.5pt]{(\n,{500-15*\n})}
    \MarquerPts*[Style=o,Couleur=red]{(\n,{600*0.92^\n})}
  }
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
  \item Justifier que la quantité de déchets produits par l'entreprise A est représentée par les points marqués d'une croix.
  \item Déterminer graphiquement à partir de quelle année l'entreprise B produit moins de déchets que l'entreprise A.
  \item L'entreprise A atteindra-t-elle son objectif de réduire au moins de moitié ses déchets plastiques en 2030 ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
  \item On note $u_n$ la quantité de déchets plastiques, en tonnes, produits par l'entreprise A lors de l'année $2020 + n$, où $n$ est un entier naturel. Ainsi, $u_0 = 500$.
  \begin{enumerate}
    \item Calculer $u_1$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
    \item Justifier que la suite $\suiten$ est arithmétique. Préciser sa raison.
  \end{enumerate}

  On a utilisé un tableur pour calculer les termes de la suite $\suiten$. Un extrait de la feuille de calcul est donné ci-dessous.

  \medskip

  \hfill%
  \storewidthtolength[4mm]{Quantité de déchets $u_n$ (en tonnes)}{\pastableurcolC}%
  \begin{tikzpicture}
    \tableur*[23]{A/1.5cm,B/1.8cm,C/\pastableurcolC}
    \celfusion[width=\pastableurcolC+3.2cm,align=center]{A-1}{C-1}{Déchêts produtis par l'entreprise A}
    \celtxt*[align=center]{A}{2}{$\strut$Année}
    \celtxt*[align=center]{B}{2}{$\strut$Rang $n$}
    \celtxt*[align=center,width=\pastableurcolC]{C}{2}{$\strut$Quantité de déchets $u_n$ (en tonnes)}
    \colonnetxt*[align=center]{A}<3>{2020,2021,2022,2023,2024,2025,2026,2027,2028,2029,2030,2031,2032,2033,2034,2035,2036,2037,2038,2039,2040}
    \colonnetxt*[align=center]{B}<3>{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
    \colonnetxt*[align=center]{C}<3>{500,485,470,455,440,425,410,395,380,365,350,335,320,305,290,275,260,245,230,215,200}
  \selecCell{C}{4}
  \end{tikzpicture}%
  \hfill\null

  \begin{enumerate}[resume]
    \item Dans la cellule \textsf{C4}, quelle formule doit-on saisir puis recopier vers le bas, afin d'obtenir les termes de la suite $\suiten$ ?
    \item Déterminer au bout de combien d'années l'entreprise A atteindra son objectif de réduire au moins de moitié ses déchets plastiques.
  \end{enumerate}

  \item On note $v_n$ la quantité de déchets plastiques, en tonnes, produits par l'entreprise B lors de l'année $2020 + n$, où $n$ est un entier naturel. Ainsi, $v_0 = 600$.
  \begin{enumerate}
    \item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 0{,}92\,v_n$.
    \item La suite $\suiten[v]$ est-elle arithmétique ou géométrique ? Préciser sa raison.
    \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    \item Au bout de combien d'années l'entreprise B aura-t-elle atteint son objectif de réduire au moins de moitié ses déchets plastiques ? Justifier votre réponse à l'aide du tableau ci-dessous.
  \end{enumerate}

  \medskip

  \hfill%
  \begin{tblr}{hlines,vlines,width=0.925\linewidth,colspec={Q[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]},cells={font=\small}}
    $n$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ \\
    $0{,}92^n$ (arrondi au centième) & $0{,}92$ & $0{,}85$ & $0{,}78$ & $0{,}72$ & $0{,}66$ & $0{,}61$ & $0{,}56$ & $0{,}51$ & $0{,}47$ & $0{,}43$ \\
  \end{tblr}%
  \hfill\null
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\bigskip

\begin{ExerciceEAM}{2}
Un stock de $1\,000$ graines comporte des graines de basilic et des graines d'estragon. Une fois semées, certaines graines germent, d'autres ne germent pas. On donne ci-dessous la répartition des $1\,000$ graines.

\medskip

\hfill%
\begin{tblr}{vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid},hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid},colspec={Q[m,l]Q[m,c]Q[m,c]Q[m,c]},cells={font=\small}}
  & Graines de basilic & Graines d'estragon & Total \\
  Graines qui germent & $x$ & $100$ & $250$ \\
  Graines qui ne germent pas & $450$ & $y$ & $750$ \\
  Total & $600$ & $400$ & $1\,000$ \\
\end{tblr}%
\hfill\null

\medskip

\begin{enumerate}
  \item Déterminer les valeurs de $x$ et $y$. Interpréter ces résultats dans le contexte de l'exercice.

  \item On sème au hasard une graine de ce stock.

  On note les événements :
  \begin{itemize}
    \item $B$ : \og la graine est une graine de basilic \fg{} ;
    \item $E$ : \og la graine est une graine d'estragon \fg{} ;
    \item $G$ : \og la graine germe \fg{} ;
    \item $\overline{G}$ : l'événement contraire de $G$.
  \end{itemize}

  \begin{enumerate}
    \item Déterminer les probabilités $P(B)$ et $P(E)$.
    \item Définir à l'aide d'une phrase l'événement $E \cap G$, puis calculer sa probabilité.
    \item Sachant que la graine semée a germé, quelle est la probabilité que ce soit une graine d'estragon ?
    \item Sachant que la graine semée est une graine d'estragon, quelle est la probabilité qu'elle germe ?
    \item Un jardinier affirme : \og Le fait qu'une graine germe ne dépend pas du type de graine semée (basilic ou estragon). \fg{}

    Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\newpage

\begin{ExerciceEAM}{3}
\begin{tcolorbox}[width=0.7\linewidth,colframe=gray,colback=gray!5]
\textbf{Aide au calcul pour cet exercice :} $8^3 = 512$ ; $12 \times 8^2 = 768$
\end{tcolorbox}

\medskip

Dans une ville, l'évolution d'une épidémie en fonction du temps écoulé $x$, exprimé en semaines depuis le début de l'épidémie, est modélisée par une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;12]$. Pour tout nombre réel $x$ compris entre $0$ et $12$, $f(x)$ désigne le nombre de malades observés à l'instant $x$.

La courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$, est donnée dans le repère du plan ci-dessous.

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=0.025cm,Xmin=0,Xmax=13,Xgrille=1,Xgrilles=0.2,Ymin=0,Ymax=280,Ygrille=40,Ygrilles=8]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\small,Elargir=2.5mm]{0,1,...,13}{0,40,...,280}
  \PlacerTexte[Couleur=black,Police=\small,Position=below right]{(0,280)}{Nombre de malades}
  \PlacerTexte[Couleur=black,Police=\small,Position=below left]{(13,-15)}{Temps écoulé (en semaines)}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Debut=0,Fin=12]{-x^3+12*x^2+4}
  \PlacerTexte[Couleur=blue]{(6.5,250)}{$\mathcal{C}_f$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
  \item Lecture graphique
  \begin{enumerate}
    \item Avec la précision permise par le graphique, lire $f(5)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
    \item Déterminer graphiquement la semaine où a eu lieu le pic de l'épidémie. Avec la précision permise par le graphique, déterminer le nombre de malades cette semaine-là.
  \end{enumerate}

  \item On admet que la fonction $f$ représentée ci-dessus est définie par :
  \[
    f(x) = -x^3 + 12x^2 + 4.
  \]
  \begin{enumerate}
    \item Calculer $f(1)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
    \item Vérifier que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;12]$, $f'(x) = 3x(-x + 8)$.
    \item Compléter le tableau suivant :

    \begin{Centrage}
      \begin{tikzpicture}
        \tkzTabInit[lgt=3.5,espcl=7.5]{$x$/0.8,Signe de $3x$/0.8,Signe de $(-x+8)$/0.8,Signe de $f'(x)$/0.8,Variations de $f$/1.5}{$0$,$12$}
      \end{tikzpicture}
    \end{Centrage}
    \item Déterminer la valeur exacte du nombre de malades la semaine où a eu lieu le pic de l'épidémie.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\end{document}
