% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex

\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
\usepackage[margin=2cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage{ProfLycee}
\useproflyclib{ecritures,tikz2d,tikz3d,cas}
\RequirePackage[upright]{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb,amstext}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand\ttdefault{lmtt}
\usepackage{cabin,decimalcomma,ibrackets,esvect,bm,postit}
\usepackage{hyperref,lastpage,enumitem,fancyhdr}
\usepackage{tabularx,multicol,wrapstuff,twemojis,logoetalab}
\usepackage[nonpgfplots]{tkz-grapheur}
\usepackage[pastableur]{customenvs}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{hobby}
\usepackage{babel}

\newcommand{\session}{2026}
\newcommand{\annee}{2026}
\newcommand{\serie}{Spécialité}
\newcommand{\lieu}{Antilles-Guyane}
\newcommand{\jour}{12}
\newcommand{\mois}{juin}
\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\codesujet}{26-MATSPEGEAG1}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3}
\setsepchar{,}
\def\repartpts{6,14,5,5,4}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
  {Suites / Python},
  {Probabilités},
  {Vrai--Faux}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}

\title{\nomfichier}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate[1]{font=\bfseries}
\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}

\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily \codesujet}
\rfoot{\scriptsize\sffamily - \thepage{}/{}\pageref{LastPage} -}
\setlength{\parindent}{0pt}
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}

\NewDocumentCommand\eamreponsesautom{ O{2} D<>{0.975\linewidth} m m m m }{%
  \ExamReponsesQCM%
    [Filets,NbCols=#1,PoliceLabels={\bfseries},Labels={a.},Largeur=#2,Swap]%
    {{#3},{#4},{#5},{#6}}%
    <rowsep=4pt,colsep=8pt>
}

\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
  \begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
    \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
    \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
    \foreach \i in {1,...,#1}{%
      \xdef\j{\inteval{\i+2}}%
      \hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
      \hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
    }%
  \end{tcolorbox}%
  \vspace*{0.25cm}
  \settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1cm]{memo}}}%
  \begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.75\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1cm]{memo}} ;}]
    La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
    Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
  \end{tcolorbox}%
  \vspace*{0.75cm}
  \hfill\pictostamp[radius=2cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}

\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
  \tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
  \textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}

  \smallskip
}%
{%
  \endtcolorbox%
}

\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
  \hypertarget{exon#1}{}%
  \tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
  \textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}

  \medskip
}%
{%
  \endtcolorbox%
}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=4cm]{reunion.v1}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{EAM \og \serie{} \fg, \lieu, \mois{} \annee}

\vspace{0.25cm}

\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques.

\medskip

Durée : 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{tcolorbox}

\vspace{0.25cm}

\sujetbaclabelexos{3}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================

\smallskip

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

\medskip

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\medskip

\begin{AutomatQuestEAM}{1}
Une forme factorisée de l'expression $9x^2 - \dfrac{1}{9}$ est :

\smallskip

\eamreponsesautom[2]%
  {$\left(3x - \dfrac{1}{3}\right)^2$}%
  {$\left(3x - \dfrac{1}{3}\right)\left(3x + \dfrac{1}{3}\right)$}%
  {$\left(9x - \dfrac{1}{3}\right)^2$}%
  {$\left(9x - \dfrac{1}{3}\right)\left(9x + \dfrac{1}{3}\right)$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{2}
On considère la relation $E = \dfrac{x - y}{zt}$.

\smallskip

Lorsque $x = 3$, $y = -2$, $z = -3$, $t = -4$, on a :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$E = \dfrac{1}{12}$}{$E = -\dfrac{5}{12}$}{$E = \dfrac{5}{12}$}{$E = -\dfrac{1}{12}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{3}
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-8mm]
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.55cm,y=0.5cm,Xmin=-5.5,Xmax=9.5,Xgrilles=1,Ymin=-2.5,Ymax=3.75,Ygrilles=1]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-5,-4,...,9}{-2,-1,...,3}
  \DefinirCourbeInterpo[Couleur=blue,Trace,Tension=0.6]{(-5,3)(-3,0)(-1,-2)(2,0)(4,2)(6,0)(9,-2)}
  \MarquerPts*[Style=x,Taillex=2.5pt,Couleur=blue]{(-5,3),(-3,0),(-1,-2),(2,0),(4,2),(6,0),(9,-2)}
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}

On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-5;9]$. On a représenté ci-contre sa courbe représentative dans un repère orthogonal.


\smallskip

On note $A = \dfrac{f(-4)}{f(-1)}$.

Laquelle de ces propositions est vraie ?

\smallskip

\eamreponsesautom[2]{$A = 0$}{$A < 0$}{$A > 0$}{On ne peut pas connaître le signe de $A$.}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{4}
On considère l'inéquation sur $\mathbb{R}$ : \[ (I)\ -2x + 2 \geqslant 0. \]
%
On note $S$ l'ensemble des solutions de l'inéquation $(I)$.

On peut affirmer que :

\smallskip

\eamreponsesautom[2]{$S = \left]-\infty;1\right]$}{$S = \left[1;+\infty\right[$}{$S = \left[-1;+\infty\right[$}{$S = \left]-\infty;-1\right]$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{5}
On considère ci-dessous le tableau de signes d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.

\medskip

\begin{Centrage}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2.5]{$x$/0.6,$f(x)$/0.6}{$-\infty$,$-3$,$2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{Centrage}

Une expression possible de $f(x)$ est :

\smallskip

\eamreponsesautom[2]{$f(x)=(x+3)(2-x)$}{$f(x)=(x+2)(x-3)$}{$f(x)=(x-2)(x+3)$}{$f(x)=(x+2)(3+x)$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{6}
Le prix d'un article baisse de $50\,\%$ puis augmente de $40\,\%$.

Ces deux variations sont équivalentes à :

\smallskip

\eamreponsesautom[2]{une baisse de $0\,\%$}{une baisse de $70\,\%$}{une baisse de $10\,\%$}{une baisse de $30\,\%$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{7}
On s'intéresse aux adhérents d'une association. On sait que $40\,\%$ d'entre eux sont des hommes et qu'il y a $30$ femmes.

Le nombre total d'adhérents de cette association est égal à :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$70$}{$40$}{$75$}{$50$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{8}
On considère un réel $a$ quelconque, différent de $0$.

Une seule de ces égalités est vraie. Laquelle ?

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$\dfrac{a^8}{a^{-5}} = a^3$}{$\dfrac{a^{30}}{a^2} = a^{15}$}{$(a^{10})^3 = a^{13}$}{$\dfrac{a \times a^5}{a^2} = a^4$}
\end{AutomatQuestEAM}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================

\begin{ExerciceEAM}{1}
On s'intéresse à l'évolution de la valeur d'une voiture.

En janvier 2025, la valeur de la voiture est égale à $10\,000$~euros. On suppose qu'ensuite, chaque année, la valeur diminue de $10\,\%$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la valeur de la voiture, en euros, au mois de janvier de l'année $2025 + n$. On a donc $u_0 = 10\,000$.

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Calculer la valeur de la voiture en janvier 2026.
    \item Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n$.
  \end{enumerate}
  \item En déduire la nature de la suite $\suiten$ et préciser sa raison.
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer le terme $u_n$ en fonction de $n$.\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay,baseline=(postit-ref.base)]\node[inner sep=0pt](postit-ref){\strut};\end{tikzpicture}
    \begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]\draw ([xshift=2.35cm]postit-ref) node {\begin{PostIt}[Rendu=tikzv2,Inclinaison=5,Attache=Non,Largeur=2.975cm]{\footnotesize \textbf{Aide au calcul}\\$0{,}9^4 = 0{,}6561$\\$0{,}9^5 = 0{,}59049$\\$0{,}9^6 = 0{,}531441$}\end{PostIt}} ;\end{tikzpicture}
    \item En déduire la valeur de la voiture en janvier 2030.

    \textit{On pourra s'aider de l'aide au calcul ci-contre.}
  \end{enumerate}

  \item On considère le programme \textsf{Python} ci-dessous.

\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=7cm]{center}
def seuil(A) :
    N = 0
    U = 10000
    while ......... :
        U = .......
        N = N + 1
    return N
\end{CodePythonLstAlt}

  Recopier et compléter ce programme afin qu'il renvoie, après exécution, la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n < A$, où $A$ est un nombre réel strictement positif.
  \item L'exécution de ce programme, pour plusieurs valeurs de $A$, donne les résultats suivants :

\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=7cm]{center,title={\scriptsize\faCode} Console Python}
>>> seuil(7500)
3
>>> seuil(5000)
7
>>> seuil(2500)
14
>>> seuil(2000)
16
\end{CodePythonLstAlt}
  \begin{enumerate}
    \item Interpréter, dans le contexte de l'exercice, le résultat obtenu lors de l'appel \texttt{seuil(5000)}.
    \item Déterminer, en expliquant la démarche, l'année à partir de laquelle la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\pagebreak

\begin{ExerciceEAM}{2}
On s'intéresse à l'ensemble des spectateurs d'un cinéma.

On désigne par le terme \textit{JEUNE} un spectateur âgé de 18 ans ou moins.

On désigne par le terme \textit{ABONNÉ} un spectateur ayant souscrit un abonnement à ce cinéma.

Une étude a permis d'établir les résultats suivants :
\begin{itemize}
  \item $60\,\%$ des spectateurs sont abonnés ;
  \item parmi les spectateurs abonnés, $40\,\%$ sont jeunes ;
  \item parmi les spectateurs n'étant pas abonnés, $20\,\%$ sont jeunes.
\end{itemize}

On interroge au hasard un spectateur et on considère les événements suivants :

$A$ : \og le spectateur est abonné \fg{} ; \quad $J$ : \og le spectateur est jeune \fg.

\begin{enumerate}
  \item Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.

  \medskip

  \def\ArbreExoDeux{
    $A$/\numdots/,
    $J$/\numdots/,
    $\overline{J}$/\numdots/,
    $\overline{A}$/\numdots/,
    $J$/\numdots/,
    $\overline{J}$/\numdots/
  }

  \begin{Centrage}
  \ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{\ArbreExoDeux}
  \end{Centrage}

  \item Calculer la probabilité $P(A \cap J)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

  \item Démontrer que $P(J) = 0{,}32$.

  \item On considère l'affirmation suivante :

  \og \textit{Si on interroge un spectateur jeune au hasard, il y a plus d'une chance sur deux qu'il soit abonné.} \fg

  Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.

  \item Le prix d'une place de cinéma est fixé selon les règles suivantes :
  \begin{itemize}
    \item un spectateur non abonné paie sa place $5$~euros, quel que soit son âge ;
    \item un spectateur abonné et n'étant pas jeune paie sa place $2$~euros ;
    \item un spectateur abonné et jeune ne paie pas sa place : c'est gratuit.
  \end{itemize}

  On note $X$ la variable aléatoire qui, à un spectateur choisi au hasard, donne le prix qu'il doit payer pour sa place de cinéma.

  \begin{enumerate}
    \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
    \item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\pagebreak

\begin{ExerciceEAM}{3}
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.

\begin{center}
  \textit{Les deux questions sont indépendantes.}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé on considère les points \[A(2;0)\text{, }B(3;2) \text{ et } C(0;4).\]
  %
  \textbf{Affirmation :} Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.

  \bigskip

  \item On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (3x-1)\e^x$.

  On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

  On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

  \begin{enumerate}
    \item \textbf{Affirmation :} la fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
    \item \textbf{Affirmation :} La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y = 2x - 1$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\end{document}
