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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\mois}{Janvier}
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\def\repartpts{6,14,X,X}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
	{Suites / Tableur},
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\title{\nomfichier}
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%transcription principale faite par mistral.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily 26-MATEASPEDEUX}
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%divers
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\newcommand\Rijk{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)}
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\forestset{
	fleche/.style = {edge={thick}},
	aproba/.style = {edge label = {node[above=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
	bproba/.style = {edge label = {node[below=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids en-dessous
}
\tikzset{
	ptcroix/.pic = {
		\draw[rotate = 45] (-#1,0) -- (#1,0);
		\draw[rotate = 45] (0,-#1) -- (0, #1);
	}
}
\newcommand\qcmun[5][1]{%
	\begin{tblr}{width=#1\linewidth,colspec={X[m,l]}}
		\textbf{a)}~~#2 \\
		\textbf{b)}~~#3 \\
		\textbf{c)}~~#4 \\
		\textbf{d)}~~#5 \\
	\end{tblr}
}
\newcommand\qcmdeux[5][1]{%
	\begin{tblr}{width=#1\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
		\textbf{a)}~~#2 & \textbf{b)}~~#3 \\
		\textbf{c)}~~#4 & \textbf{d)}~~#5 \\
	\end{tblr}
}

\newcommand\qcm[5][1]{%
	\begin{tblr}{width=#1\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
		\textbf{a)}~~#2 & \textbf{b)}~~#3 & \textbf{c)}~~#4 & \textbf{d)}~~#5 \\
	\end{tblr}
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\newcommand\qcmgraph[5][1]{%
	\begin{tblr}{width=#1\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}},row{2}={c}}
		\textbf{a)} & \textbf{b)} & \textbf{c)} & \textbf{d)} \\
		#2 & #3 & #4 & #5 \\
	\end{tblr}
}

\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
	\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
		\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
		%
		\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
		\foreach \i in {1,...,#1}{%
			\xdef\j{\inteval{\i+2}}%
			\hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
			\hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
		}%
	\end{tcolorbox}%
}

\newcommand\automatquest[1]{%
	\underline{\textbf{$\blacktriangleright$~Question #1}}
	
	\smallskip
}

\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
	\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill]
	\textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}
	
	\smallskip
}%
{%
	\endtcolorbox%
}

\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
	\hypertarget{exon#1}{}%
	\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill]
	\textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}
	
	\medskip
}%
{%
	\endtcolorbox%
}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\hfill\twemoji[height=5cm]{bullseye}\hfill\null

\part*{Épreuve anticipée de mathématiques \og \serie{} \fg,\\\mois{} \annee, sujet \numsujet}

\vspace{1cm}

\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie générale : candidats suivant l’enseignement de spécialité de mathématiques.

\medskip

Durée : 2 heures. L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé.
\end{tcolorbox}

\vspace{1cm}

\sujetbaclabelexos{2}

\pagebreak

\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)} %exoautomaqcm

\smallskip

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

\medskip

\begin{AutomatQuestEAM}{1}
\begin{wrapstuff}[r,leftsep=7.5mm,abovesep=-6.5mm]
	\ArbreProbasTikz<scale=0.667>{$A$/\num{0.4}/above,$B$/\num{0.3}/above,$\overline{B}$//above,$\overline{A}$//below,$B$//above,$\overline{B}$/\num{0.9}/below}
\end{wrapstuff}

On considère l'arbre de probabilité ci-contre.

On cherche la probabilité de l'événement $B$.

\smallskip

On a :

\smallskip

\qcm[0.725]{$p(B)=0,18$}{$p(B)=0,12$}{$p(B)=0,66$}{$p(B)=0,3$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{2}
Une tablette coûte 200 euros. Son prix diminue de $30\,\%$. Le prix après cette diminution est :

\smallskip

\qcm{140 euros}{170 euros}{194 euros}{197 euros}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{3}
Une réduction de $50\,\%$ suivie d'une augmentation de $50\,\%$ équivaut à :

\smallskip

\qcm{{une réduction\\de $50\,\%$}}{{une réduction\\de $25\,\%$}}{{une augmentation\\de $25\,\%$}}{{une augmentation\\de $75\,\%$}}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{4}
Dans un lycée, le quart des élèves sont internes, parmi eux, la moitié sont des filles. La proportion des filles internes par rapport à l'ensemble des élèves du lycée est égale à :

\smallskip

\qcm{$4\,\%$}{$12,5\,\%$}{$25\,\%$}{$50\,\%$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{5}
On considère le nombre $N=\dfrac{10^{7}}{5^{2}}$. On a :

\smallskip

\qcm{$N=2^{5}$}{$N=\num{20000}$}{$N=\dfrac{1}{10^{5}}$}{$N=4 \times 10^{5}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{6}
Un appareil a besoin d'une énergie de $7,5 \times 10^{6}$ Joules (J) pour se mettre en route.

À combien de kiloWatts-heure (kWh) cela correspond-il ?


\hfill{}\underline{\textit{Données}} : $1 \text{kWh}=3,6 \times 10^{6}~ \text{J}$.

\smallskip

\qcm{$0,5 \text{kWh}$}{$2,08 \text{kWh}$}{$5,3 \text{kWh}$}{$20,35 \text{kWh}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{7}
Le plan est muni d'un repère orthogonal. On note $d$ la droite passant par les points $A(0 ;-1)$ et $B(2 ; 5)$. Le coefficient directeur de la droite $d$ est égal à :

\smallskip

\qcm{$-\frac{1}{2}$}{2}{3}{$\frac{1}{3}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{8}
\begin{wrapstuff}[r,leftsep=7.5mm,abovesep=-6.5mm]
	\begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=0.8cm,Xmin=-1.25,Xmax=1.1,Ymin=-1.5,Ymax=1.75]
		\TracerAxesGrilles[Origine,Grille=false]{}{}
		\TracerCourbe[Couleur=red]{-2*x}
		\PlacerTexte[Couleur=red]{(-0.175,0.8)}{$D$}
	\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}

On a représenté ci-contre une droite $D$. Parmi les quatre équations ci-dessous, la seule susceptible de représenter la droite $D$ est :

\smallskip

\qcm[0.825]{$2 x-y=0$}{$2 x+y+1=0$}{$y=x^{2}-(x+1)^{2}+1$}{$y=2 x-1$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{9}
On note $\mathcal{S}$ l'ensemble des solutions de l'équation $x^{2}=10$ sur $\R$. On a :

\smallskip

\qcm{$\mathcal{S}=\{-5 ; 5\}$}{$\mathcal{S}=\{-\sqrt{5} ; \sqrt{5}\}$}{$\mathcal{S}=\{-\sqrt{10} ; \sqrt{10}\}$}{$\mathcal{S}=\emptyset$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{10}
La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(3 x-15)(x+2)$ admet pour tableau de signes :

\smallskip

\newcommand\gentblsg[3]{%
	\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
		\tkzTabInit[lgt=1.5,espcl=1.5]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-\infty$,$#1$,$#2$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{#3}
	\end{tikzpicture}%
}
\qcmdeux%
	{\gentblsg{-2}{5}{,+,z,-,z,+,}}%
	{\gentblsg{-2}{5}{,-,z,+,z,-,}}%
	{\gentblsg{-5}{2}{,+,z,-,z,+,}}%
	{\gentblsg{-5}{2}{,-,z,+,z,-,}}%
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{11}
L'expression développée de $(2 x+0,5)^{2}$ est :

\smallskip

\qcm{$4 x^{2}+x+0,25$}{$4 x^{2}+4 x+2$}{$4 x^{2}+2 x+0,25$}{$4 x^{2}+2 x+1$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{12}
Lorsqu'un point mobile suit une trajectoire circulaire de rayon $R$, en mètre (m), son accélération centripète $a$ (en $\text{m}/\text{s}^{2}$) s'exprime en fonction de la vitesse $v$ (en $\text{m}/\text{s}$) de la manière suivante : \[
a=\frac{v^{2}}{R}. \]

L'expression permettant, à partir de cette formule, d'exprimer la vitesse $v$ est :

\smallskip

\qcm{$v=a R^{2}$}{$v=\sqrt{a R}$}{$v=\sqrt{\frac{a}{R}}$}{$v=\frac{a^{2}}{R}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\pagebreak

\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)} %exos

\begin{ExerciceEAM}{1}
En 2020, une ville comptait \num{10000} habitants.

On modélise l'évolution du nombre d'habitants de cette ville par la suite $(u_{n})$ définie ainsi : \[ \begin{cases} u_{n+1}=1,08 u_{n}-300,~n \in \N \\ u_{0}=\num{10000} \end{cases}~;\]
%
où $u_{n}$ représente le nombre d'habitants pour l'année $2020+n$.

\begin{enumerate}
	\item Indiquer ce que représente $u_{1}$ et calculer sa valeur.
	\item On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=u_{n}-\num{3750}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $v_{0}$.
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1}=1,08 v_{n}$.
		\item En déduire la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n}=\num{6250} \times 1,08^{n}+3750$.
	\end{enumerate}
	\item Le tableau ci-contre, extrait d'une feuille automatisée de calcul, a été obtenu par recopie vers le bas après avoir saisi la formule suivante dans la cellule \AffVignette[Type=sheet,Police=\footnotesize\sffamily]{B2} :
	
	\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-5mm]
		\begin{tikzpicture}[scale=0.875,transform shape]
			\tableur*[21]{A/1cm,B/3cm}
			\celtxt*[align=center,font=\bfseries]{A}{1}{n}
			\colonnetxt*[align=center]{A}<2>{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}
			\celtxt*[align=center,font=\bfseries]{B}{1}{Un}
			\colonnetxt*[align=center]{B}<2>{10000,10500,11040,{11623,2},{12253,056},{12933,30048},{13667,96452},{14461,40168},{15318,31381},{16243,77892},{17243,28123},{18322,74373},{19488,56323},{20747,64829},{22107,46015},{23576,05696},{25162,14152},{26875,11284},{28725,12187},{30723,13162}}
		\end{tikzpicture}
	\end{wrapstuff}
	
	\hfill\AffVignette[Type=sheet,Police=\footnotesize\sffamily]{=6250*1,08\textasciicircum{}A2+3750}\hfill\null
	
	La municipalité envisage d'ouvrir une nouvelle école maternelle dès que la population atteindra \num{19000} habitants.
	
	La construction d'un tel établissement nécessitant deux ans, déterminer l'année à partir de laquelle la construction de l'école doit commencer.
\end{enumerate}

\vspace*{4cm}

\underline{\textbf{Aide au calcul}} :

$\num{10000}-\num{3750}=\num{6250}$ ;

$1,08 \times \num{4050} = \num{4374}$ ;

\smallskip

$\dfrac{\num{4050}}{\num{1.08}} = \num{3750}$ ;

\smallskip

$\num{3750} \times 1,08 = \num{4050}$.
\end{ExerciceEAM}

\pagebreak

\begin{ExerciceEAM}{2}
Le plan est muni d'un repère orthogonal.

\medskip

\textbf{\underline{Partie A}}

\medskip

On considère la fonction $P$ définie sur l'intervalle $[-5 ; 3]$ par : \[ P(x)=2 x^{2}+x-10. \]

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les racines de $P$.
		\item En déduire l'axe de symétrie de la parabole d'équation $y=P(x)$.
	\end{enumerate}
	\item Établir le tableau de signe de la fonction $P$ sur l'intervalle $[-5 ; 3]$.
\end{enumerate}

\textbf{\underline{Partie B}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5 ; 3]$ dont on donne ci-dessous la courbe représentative $C_{f}$.

\begin{Centrage}
	\begin{GraphiqueTikz}[x=1.5cm,y=0.22cm,Xmin=-5.3,Xmax=3.4,Xgrille=0.5,Xgrilles=0.1,Ymin=-14,Ymax=23,Ygrille=5,Ygrilles=1]
		\TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\scriptsize]{-5,-4.5,...,3}{-10,-5,...,20}
		\DefinirCourbe[Nom=T,Trace,Couleur=blue]< d >{(4*2^2-14*2+8)*exp(0.5*2)}
		\DefinirCourbe[Nom=cf,Debut=-5,Fin=3,Trace,Couleur=red]< f >{(4*x^2-14*x+8)*exp(0.5*x)}
		\PlacerTexte[Couleur=red]{(-4.75,17)}{$C_{f}$}
		\PlacerTexte[Couleur=blue]{(-4.75,-10)}{$T$}
		\MarquerPts{(2,{4*2^2-14*2+8)*exp(0.5*2)})/A/below}
	\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

La tangente $T$ à la courbe $C_{f}$ au point $A$ d'abscisse 2 est horizontale.

\begin{enumerate}
	\item Donner la valeur du nombre dérivé $f^{\prime}(2)$.
	\item Résoudre, avec la précision permise par le graphique, l'inéquation $f^{\prime}(x)<0$.
	\item On sait que la fonction $f$ a pour expression sur l'intervalle $[-5 ; 3]$ : \[ f(x)=\left(4 x^{2}-14 x+8\right) \mathrm{e}^{0,5 x}. \]
	%
	Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-5 ; 3]$, on a : \[ f^{\prime}(x)=P(x) \e^{0,5 x}. \]
	\item En utilisant les résultats de la \textbf{partie A}, dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-5 ; 3]$. \textit{(Il n'est pas demandé de calculer les images)}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\end{document}