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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\mois}{juin}
\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\codesujet}{26-MATSPEGEJA1}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2}
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\def\repartpts{6,14,7,7}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
  {Suites / Python / Fonctions exponentielle},
  {Géométrie analytique / Produit scalaire}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}

\title{\nomfichier}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate[1]{font=\bfseries}
\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}

\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
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\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}

\NewDocumentCommand\eamreponsesautom{ O{2} D<>{0.975\linewidth} m m m m }{%
  \ExamReponsesQCM%
    [Filets,NbCols=#1,PoliceLabels={\bfseries},Labels={A.},Largeur=#2,Swap]%
    {{#3},{#4},{#5},{#6}}%
    <rowsep=4pt,colsep=8pt>
}

\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
  \begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
    \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
    \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
    \foreach \i in {1,...,#1}{%
      \xdef\j{\inteval{\i+2}}%
      \hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
      \hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
    }%
  \end{tcolorbox}%
  \vspace*{0.25cm}
  \settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1cm]{memo}}}%
  \begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.75\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1cm]{memo}} ;}]
    La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
    Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
  \end{tcolorbox}%
  \vspace*{0.75cm}
  \hfill\pictostamp[radius=2cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}

\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
  \tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
  \textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}

  \smallskip
}%
{%
  \endtcolorbox%
}

\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
  \hypertarget{exon#1}{}%
  \tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
  \textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}

  \medskip
}%
{%
  \endtcolorbox%
}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=4cm]{asie.v1}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{EAM \og \serie{} \fg, \lieu, \mois{} \annee}

\vspace{0.25cm}

\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques.

\medskip

Durée : 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{tcolorbox}

\vspace{0.25cm}

\sujetbaclabelexos{2}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================

\smallskip

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reporter son numéro sur la copie et indiquer la réponse.}

\medskip

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\medskip

\begin{AutomatQuestEAM}{1}
On considère la fonction $f$ définie sur $\IntervalleFF{-5}{4}$ représentée dans le repère ci-dessous :

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.8cm,y=0.8cm,Xmin=-5.5,Xmax=4.5,Xgrilles=1,Ymin=-5.5,Ymax=6.5,Ygrilles=1]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\scriptsize]{-5,-4,...,4}{-5,-4,...,6}
  \GenererPolynomeLagrange{-5,-4,-3.1,-2,0,1,2,3,4}{-2,2,5,5,3,1,-3,-4,2}
  \TracerCourbe[Couleur=violet,Debut=-5,Fin=4]{polylagrange(x)}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\medskip

Sur $\IntervalleFF{-5}{4}$, l'équation $f(x) = -1$ admet :

\smallskip

\eamreponsesautom[2]%
  {zéro solution.}%
  {une seule solution.}%
  {deux solutions.}%
  {trois solutions.}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{2}
Multiplier un nombre par $0{,}6$ revient à le diminuer de :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]%
  {$4\,\%$}%
  {$6\,\%$}%
  {$40\,\%$}%
  {$60\,\%$}
\end{AutomatQuestEAM}

\pagebreak

\begin{AutomatQuestEAM}{3}
\hfill\begin{GraphiqueTikz}[x=0.8cm,y=0.8cm,Xmin=-0.6,Xmax=8.6,Xgrilles=0.2,Ymin=-1.4,Ymax=3.6,Ygrilles=0.2]<Theme=gris>
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\scriptsize]{0,1,...,8}{-1,0,...,3}
  \TracerCourbe[Couleur=blue!50!black]{-x/3+2}
\end{GraphiqueTikz}\hfill\null

\medskip

L'équation réduite de la droite représentée dans le repère ci-dessus est :

\smallskip

\eamreponsesautom[1]{$y = -2x+6$}{$y = 6x+2$}{$y = -\dfrac{1}{3}x+2$}{$y = -3x+2$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{4}
Un club de sport possède $200$ adhérents répartis comme l'indique le tableau ci-dessous :

\medskip

\hfill%
\begin{tblr}{width=0.85\linewidth,vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid},hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid},colspec={X[m,c]X[m,c,1.5]X[m,c,1.5]X[m,c]}}
  & Volley-ball & Basket-ball & Total \\
  Enfant & $80$ & $50$ & $130$ \\
  Adulte & $30$ & $40$ & $70$ \\
  Total & $110$ & $90$ & $200$ \\
\end{tblr}%
\hfill\null

\medskip

On choisit au hasard un adhérent du club. On note les évènements suivants :

\begin{itemize}
  \item $E$ : \og La personne choisie est un enfant \fg{} ;
  \item $V$ : \og La personne choisie pratique le volley-ball \fg.
\end{itemize}

On note $P_E(V)$ la probabilité que la personne choisie pratique le volley-ball sachant que c'est un enfant.

\smallskip

La probabilité $P_E(V)$ est égale à :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$\dfrac{8}{13}$}{$\dfrac{8}{11}$}{$\dfrac{8}{20}$}{$\dfrac{11}{13}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\pagebreak

\begin{AutomatQuestEAM}{5}
Soient $A$ et $B$ deux évènements.

En s'appuyant sur l'arbre pondéré ci-dessous, calculer $P(B)$.

\def\ArbreExoCinq{
  $A$/0{,}4/,
  $B$/0{,}3/,
  $\overline{B}$/0{,}7/,
  $\overline{A}$/0{,}6/,
  $B$/0{,}1/,
  $\overline{B}$/0{,}9/
}
\hfill\ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto,Type=2x2,EspaceFeuille=0.95,EspaceNiveau=2.25]{\ArbreExoCinq}\hfill\null

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$0{,}4$}{$0{,}18$}{$0{,}72$}{$0{,}03$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{6}
On a représenté une fonction affine $f$ et une fonction polynôme du second degré $g$ définies sur $\mathbb{R}$.

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=1cm,Xmin=-2.75,Xmax=4.75,Xgrilles=0.5,Ymin=-2.25,Ymax=3.75,Ygrilles=0.5]
  \TracerAxesGrilles*[Police=\tiny]{-2.5,-2,...,4.5}{-2,-1.5,...,3.5}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue]{-x+0.5}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=orange]{0.5*(x-3)*(x+1)}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\medskip

L'ensemble $S$ des solutions de l'inéquation $f(x) < g(x)$ est :

\smallskip

\eamreponsesautom[2]{$S = \IntervalleOO{-2}{2}$}{$S = \IntervalleOO{-\infty}{-2}\cup\IntervalleOO{2}{+\infty}$}{$S = \IntervalleOO{-1}{0{,}5}\cup\IntervalleOO{3}{+\infty}$}{$S = \IntervalleOO{-1}{3}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{7}
Pour $y$ réel non nul, on définit $x$ par : $x = 3 + \dfrac{5}{y}$.

On peut affirmer que :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$y = \dfrac{x}{8}$}{$y = \dfrac{x-3}{5}$}{$y = \dfrac{8}{x}$}{$y = \dfrac{5}{x-3}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\pagebreak

\begin{AutomatQuestEAM}{8}
On considère la série statistique suivante :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
  \hline
  Valeur & $0$ & $10$ & $20$ & $30$ & $100$ \\
  \hline
  Effectif & $3$ & $1$ & $2$ & $2$ & $2$ \\
  \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

On note $Me$ sa médiane et $\overline{x}$ sa moyenne. On peut affirmer que :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$Me = \overline{x}$}{$Me > \overline{x}$}{$Me < \overline{x}$}{$Me > 30$}
\end{AutomatQuestEAM}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================

\begin{ExerciceEAM}{1}
Un lac qui alimente une région en électricité voit son niveau d'eau baisser depuis le début des années 2000.

En 2020, le niveau du lac était d'environ $1\,100$ mètres au-dessus du niveau de la mer. En dessous de $1\,020$ mètres, le niveau du lac est insuffisant pour permettre la production d'énergie hydroélectrique.

\medskip

\textbf{Partie A -- Étude d'un modèle discret}

\medskip

Dans cette partie, on estime que le niveau du lac, mesuré au-dessus du niveau de la mer, baisse de $1\,\%$ tous les ans.

On définit la suite $\suiten[u]$ telle que $u_n$ représente le niveau du lac en mètres $n$ années après 2020, c'est-à-dire en $2020+n$.

On a alors $u_0 = 1\,100$.

\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-2mm]
\begin{tcolorbox}[enhanced,colback=gray!12,colframe=gray!12,size=small,boxrule=0pt,sharp corners,width=4cm]
\textbf{Aide aux calculs :}

\smallskip

$1\,100 \times 0{,}99 = 1\,089$

$1\,100 \times 0{,}01 = 11$

$1\,100 \times 0{,}9 = 990$
\end{tcolorbox}
\end{wrapstuff}

\begin{enumerate}
  \item Calculer $u_1$ et interpréter ce résultat.
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
    \item En déduire la nature de la suite $\suiten[u]$. On précisera sa raison.
  \end{enumerate}
  \item Pour tout entier naturel $n$, en déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
  \item Écrire le calcul qui permet d'estimer le niveau du lac en 2028. \textit{On ne demande pas d'effectuer ce calcul.}
  \item Recopier et compléter le programme écrit en langage Python ci-dessous afin qu'il affiche le nombre d'années après 2020 à partir duquel le niveau du lac sera insuffisant pour produire de l'énergie hydroélectrique.

\begin{Centrage}
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=6cm]{center}
u = 1100
n = 0
while ............... :
    n = n + 1
    u = ...................
print(n)
\end{CodePythonLstAlt}
\end{Centrage}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B -- Étude d'un modèle continu}

\medskip

Dans cette partie, l'évolution du niveau du lac est modélisée par une fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par :
\[
  f(t) = 1\,050\,\e^{-0{,}01t} + 50
\]
où $f(t)$ est le niveau du lac en mètres et $t$ le temps écoulé en années, depuis 2020.

\begin{enumerate}
  \item Le modèle proposé est-il cohérent avec le niveau du lac en 2020 ? \textit{Justifier votre réponse.}
  \item Montrer que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$, $f'(t) = -10{,}5\,\e^{-0{,}01t}$.
  \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. \textit{Justifier.}
  \item On donne ci-dessous $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

  \begin{Centrage}
  \begin{GraphiqueTikz}[x=1.4cm,y=0.07cm,Xmin=0,Xmax=9.75,Xgrille=5,Xgrilles=0.5,Origy=1000,Ymin=1000,Ymax=1112.5,Ygrille=10,Ygrilles=10]
    \TracerAxesGrilles[Police=\footnotesize]{0,1,...,9}{1000,1010,...,1110}
    \DefinirCourbe[Trace,Couleur=red]{1050*exp(-0.01*x)+50}
    \PlacerTexte[Couleur=red]{(1.5,1080)}{$\mathcal{C}_f$}
  \end{GraphiqueTikz}
  \end{Centrage}

  \medskip

  Lire, avec la précision permise par le graphique, l'année à partir de laquelle le niveau du lac sera insuffisant pour produire de l'énergie hydroélectrique.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\pagebreak

\begin{ExerciceEAM}{2}
On se place dans un repère orthonormé $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ pour l'ensemble de l'exercice.

\medskip

\textbf{Partie A -- Étude d'un cercle}

\textit{Cette partie est indépendante des parties B et C qui suivent.}

\medskip

On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $A(3;1)$ et de rayon $r = \dfrac{\sqrt{37}}{2}$.

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=1cm,Xmin=-1.25,Xmax=6.75,Xgrilles=1,Ymin=-2.5,Ymax=4.5,Ygrilles=1]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-1,0,...,6}{-2,-1,...,4}
  \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0)--(1,0) node[midway,below,font=\footnotesize] {$\vec{\imath}$} ;
  \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0)--(0,1) node[midway,left,font=\footnotesize] {$\vec{\jmath}$} ;
  \draw[black,thick] (3,1) circle ({sqrt(37)/2});
  \MarquerPts[Style=x,Taillex=2pt]{(3,1)/$A$/below left,(6,0.5)/$B$/above right}
  \PlacerTexte[]{(5.3,3.5)}{$\mathcal{C}$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\medskip

\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-2mm]
\begin{tcolorbox}[enhanced,colback=gray!12,colframe=gray!12,size=small,boxrule=0pt,sharp corners,width=4cm]
\textbf{Aide aux calculs :}

\medskip

$9{,}25 = \dfrac{37}{4}$

$8{,}75 = \dfrac{35}{4}$

$0{,}5^2 = 0{,}25$
\end{tcolorbox}
\end{wrapstuff}

\begin{enumerate}
  \item Justifier que le cercle $\mathcal{C}$ admet pour équation :
  \[
    (x-3)^2 + (y-1)^2 = \dfrac{37}{4}.
  \]
  \item Démontrer que le point $B(6;0{,}5)$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\medskip

Pour la suite de l'exercice, on considère la figure ci-dessous et les données suivantes :

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=1cm,Xmin=-1.25,Xmax=10.5,Xgrilles=1,Ymin=-1.25,Ymax=3.75,Ygrilles=1]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-1,0,...,10}{-1,0,...,3}
  \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0)--(1,0) node[midway,below,font=\footnotesize] {$\vec{\imath}$} ;
  \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0)--(0,1) node[midway,left,font=\footnotesize] {$\vec{\jmath}$} ;
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=black,Debut=0.7]{3/x}
  \MarquerPts[Style=x,Taillex=2pt]{(3,1)/$A$/below left,(6,0.5)/$B$/above right,(4,2)/$D$/above right}
  \PlacerTexte[Couleur=black]{(8.75,0.75)}{$\mathcal{H}$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{itemize}[noitemsep]
  \item l'équation de la courbe $\mathcal{H}$ est : $y = \dfrac{3}{x}$ pour $x$ strictement positif ;
  \item les coordonnées des points sont : $A(3;1)$, $B(6;0{,}5)$ et $D(4;2)$.
\end{itemize}

\medskip

On considère un point $M$ mobile sur la courbe $\mathcal{H}$, d'abscisse $x > 0$.

L'objectif des deux parties suivantes est de démontrer qu'il n'existe qu'un seul point $M$ tel que l'angle $\widehat{DAM}$ soit droit.

\medskip

\textbf{Partie B -- Étude d'un cas particulier}

\begin{enumerate}
  \item Justifier que le point $B$ appartient à la courbe $\mathcal{H}$.
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{AD}$ et $\vect{AB}$.
    \item En déduire le produit scalaire $\vect{AD} \cdot \vect{AB}$.
    \item L'angle $\widehat{DAB}$ est-il droit ? \textit{Justifier.}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C -- Étude du cas général}

\begin{enumerate}
  \item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^2 - 4x + 3 = 0$.
  \item On rappelle que $M$ est un point sur la courbe $\mathcal{H}$ d'abscisse $x > 0$.

  Démontrer qu'il n'existe qu'un seul point $M$ tel que l'angle $\widehat{DAM}$ est droit.

  \hfill\textit{Toute trace de recherche pourra être valorisée.}\hfill\null
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\end{document}
