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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\session}{2026}
\newcommand{\annee}{2026}
\newcommand{\serie}{Spécialité}
\newcommand{\lieu}{Centres Étrangers}
\newcommand{\jour}{8}
\newcommand{\mois}{juin}
\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\codesujet}{26-MATSPEGEG11}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3}
\setsepchar{,}
\def\repartpts{6,14,5,3,6}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
  {Suites},
  {Géométrie / Produit scalaire},
  {Fonctions / Dérivées}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}

\title{\nomfichier}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate[1]{font=\bfseries}
\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}

\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily \codesujet}
\rfoot{\scriptsize\sffamily - \thepage{}/{}\pageref{LastPage} -}
\setlength{\parindent}{0pt}
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}

\NewDocumentCommand\eamreponsesautom{ O{2} D<>{0.975\linewidth} m m m m }{%
  \ExamReponsesQCM%
    [Filets,NbCols=#1,PoliceLabels={\bfseries},Labels={a.},Largeur=#2,Swap]%
    {{#3},{#4},{#5},{#6}}%
    <rowsep=4pt,colsep=8pt>
}

\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
  \begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
    \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
    \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
    \foreach \i in {1,...,#1}{%
      \xdef\j{\inteval{\i+2}}%
      \hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
      \hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
    }%
  \end{tcolorbox}%
  \vspace*{0.25cm}
  \settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1cm]{memo}}}%
  \begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.75\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1cm]{memo}} ;}]
    La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
    Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
  \end{tcolorbox}%
  \vspace*{0.75cm}
  \hfill\pictostamp[radius=2cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}

\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
  \tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
  \textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}
  \smallskip
}%
{\endtcolorbox}

\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
  \hypertarget{exon#1}{}%
  \tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
  \textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}
  \medskip
}%
{\endtcolorbox}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=4cm]{ce.v2}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{EAM \og \serie{} \fg, \lieu, \mois{} \annee}

\vspace{0.25cm}

\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques.

\medskip

Durée : 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{tcolorbox}

\vspace{0.25cm}

\sujetbaclabelexos{3}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================

\smallskip

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reporter son numéro sur la copie et indiquer la réponse.}

\medskip

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\medskip

\begin{AutomatQuestEAM}{1}
\def\ArbreQun{
  $A$/\num{0.4}/,
  $B$/\num{0.2}/,
  $\overline{B}$/\num{0.8}/,
  $\overline{A}$/\num{0.6}/,
  $B$/\num{0.7}/,
  $\overline{B}$/\num{0.3}/
}
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-8mm]
\ArbreProbasTikz[EspaceNiveau=2,EspaceFeuille=0.95]{\ArbreQun}
\end{wrapstuff}

Soient $A$ et $B$ deux événements.
On donne l'arbre de probabilités ci-contre.

On peut alors affirmer que $P(\bar{A} \cap B)$ est égale à :

\smallskip

\eamreponsesautom[2]<\linewidth-5.25cm>{$1{,}3$}{$0{,}42$}{$0{,}7$}{$0{,}18$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{2}
Dans un lycée, $150$ élèves de première générale suivent la spécialité Mathématiques ce qui représente $\dfrac{3}{5}$ de l'ensemble des élèves de première générale.

\smallskip

Le nombre d'élèves en première générale dans ce lycée est :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$90$}{$200$}{$250$}{$300$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{3}
On considère les nombres $A = \dfrac{1}{3}$ et $B = \dfrac{5}{6}$.

Le nombre $\dfrac{A}{B} + 1$ est égal à :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$\dfrac{7}{5}$}{$\dfrac{3}{5}$}{$\dfrac{23}{18}$}{$\dfrac{7}{3}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{4}
Dans un repère orthonormé $(O;\vect{\imath},\vect{\jmath})$, la droite $d$ d'équation réduite $y = \dfrac{1}{3}x + 1$ est représentée par :

\smallskip

\newcommand\jasujetAgrapheam[5]{%
  \begin{GraphiqueTikz}[x=0.85cm,y=0.85cm,Xmin=#1,Xmax=#2,Xgrilles=1,Ymin=#3,Ymax=#4,Ygrilles=1]
    \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{}
    \draw[pflcourbe,->,>=latex] (0,0) -- (1,0) node[midway,below,font=\footnotesize] {$\vect{\imath}$} ;
    \draw[pflcourbe,->,>=latex] (0,0) -- (0,1) node[midway,left,font=\footnotesize] {$\vect{\jmath}$} ;
    \TracerCourbe[Couleur=red]{#5}
  \end{GraphiqueTikz}
}

\eamreponsesautom[2]%
  {\\[4pt]\jasujetAgrapheam{-4}{2}{-1}{5}{x+3}}%
  {\\[4pt]\jasujetAgrapheam{-3}{3}{-2}{4}{3x+1}}%
  {\\[4pt]\jasujetAgrapheam{-2}{4}{-2}{4}{1/3*x+1}}%
  {\\[4pt]\jasujetAgrapheam{-3}{3}{-2}{4}{2x+1}}

\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{5}
La forme développée de $(x^3-1)^2$ est :

\smallskip

\eamreponsesautom[2]{$x^6 - 1$}{$x^6 - 2x^3 + 1$}{$x^5 - 2x^3 + 1$}{$x^6 + 2x^3 - 1$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{6}
L'évolution globale correspondant à une hausse de $20\,\%$ puis une baisse de $50\,\%$, est une baisse de :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$10\,\%$}{$30\,\%$}{$40\,\%$}{$60\,\%$}
\end{AutomatQuestEAM}

\pagebreak

\begin{AutomatQuestEAM}{7}
Ce tableau donne les résultats partiels d'un sondage dans une classe de première comptant $25$ élèves :

\medskip

\hfill%
\begin{tblr}{vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid},hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid},width=0.6\linewidth,colspec={X[m,c]X[m,c]X[m,c]},cells={font=\small}}
  & 16 ans ou moins & Plus de 16 ans \\
  Suivent la spé. Maths & $8$ & \\
  Ne suivent pas la spé. Maths & $7$ & $4$ \\
\end{tblr}%
\hfill\null

\medskip

On interroge un élève de cette classe au hasard.

La probabilité que ce soit un élève qui suive la spécialité Mathématiques sachant qu'il est âgé de plus de 16 ans est :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$\dfrac{3}{7}$}{$\dfrac{6}{25}$}{$6$}{$\dfrac{3}{5}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{8}
Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs tels que : $x = \dfrac{5}{2+y}$

On peut affirmer que :

\smallskip

\eamreponsesautom[2]{$y = \dfrac{10}{2x-5}$}{$y = \dfrac{5}{2+x}$}{$y = 5 - 2x$}{$y = \dfrac{5}{x} - 2$}
\end{AutomatQuestEAM}

\bigskip

%===============================================================
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================

\begin{ExerciceEAM}{1}

Un maire souhaite végétaliser sa ville. Pour cela, il décide de planter des mûriers platanes dans les différents parcs.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Au moment de la plantation, un mûrier platane mesure 1 mètre.
On suppose que chaque année la hauteur de l'arbre augmente de 40 cm.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la hauteur de l'arbre, en mètres, $n$ années après sa plantation. Ainsi $u_0 = 1$.

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Calculer $u_1$.
    \item Quelle sera la hauteur de l'arbre deux années après sa plantation ?
  \end{enumerate}
  \item Quelle est la nature de la suite $\suiten$ ? Justifier.
  \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
  \item Au bout de combien d'années le mûrier atteindra-t-il 9 mètres de haut ?
\end{enumerate}

\pagebreak

\textbf{Partie B}

\smallskip

Au moment de la plantation, l'arbre possède un tronc et deux branches.
Un an après la plantation, on observe 4 nouvelles branches.
Deux ans après la plantation, on observe 8 nouvelles branches.

\smallskip

Chaque année, le nombre de nouvelles branches double.

\begin{Centrage}
  \begin{tikzpicture}
    %arbre Gauche
    \draw[ultra thick] (0,0) -- (0,1.5) ;
    \draw[thick] (0,0) -- (0,1.5) -- (1,2.25) (0,1.5) -- (-1,2.25) ;
    \draw[thin,black,fill=darkgray] (0,0) circle[radius=2pt] (0,1.5) circle[radius=2pt] (-1,2.25) circle[radius=2pt] (1,2.25) circle[radius=2pt];
    \draw (0,0.125) node[font=\small\sffamily,above left] {tronc} ;
    \draw (0,1.625) node[font=\small\sffamily,left=10pt] {branche} ;
    \draw (0,1.562) node[font=\small\sffamily,right=10pt] {branche} ;
    %arbre Milieu
    \begin{scope}[shift={(4.25,0)}]
      \draw[ultra thick] (0,0) -- (0,1.5) ;
      \draw[thick] (0,0) -- (0,1.5) -- (1,2.25) (0,1.5) -- (-1,2.25) (-1,2.25) -- (-1.5,2.75) (-1,2.25) -- (-0.5,2.75) (1,2.25) -- (0.5,2.75) (1,2.25) -- (1.5,2.75) ;
      \draw[thin,black,fill=darkgray] (0,0) circle[radius=2pt] (0,1.5) circle[radius=2pt] (-1,2.25) circle[radius=2pt] (1,2.25) circle[radius=2pt] (-1.5,2.75) circle[radius=2pt] (-0.5,2.75) circle[radius=2pt] (0.5,2.75) circle[radius=2pt] (1.5,2.75) circle[radius=2pt];
    \end{scope}
    %arbre Droit
    \begin{scope}[shift={(9.25,0)}]
      \draw[ultra thick] (0,0) -- (0,1.5) ;
      \draw[thick] (0,0) -- (0,1.5) -- (1,2.25) (0,1.5) -- (-1,2.25) (-1,2.25) -- (-1.5,2.75) (-1,2.25) -- (-0.5,2.75) (1,2.25) -- (0.5,2.75) (1,2.25) -- (1.5,2.75) ;
      \draw[thick] (-1.5,2.75) -- ({-1.5-0.375},3.5)
                   (-1.5,2.75) -- ({-1.5+0.375},3.5) ;
      \draw[thick] (-0.5,2.75) -- ({-0.5-0.375},3.5)
                   (-0.5,2.75) -- ({-0.5+0.375},3.5) ;
      \draw[thick] (0.5,2.75) -- ({0.5-0.375},3.5)
                   (0.5,2.75) -- ({0.5+0.375},3.5) ;
      \draw[thick] (1.5,2.75) -- ({1.5-0.375},3.5)
                   (1.5,2.75) -- ({1.5+0.375},3.5) ;
      \draw[thin,black,fill=darkgray] (0,0) circle[radius=2pt] (0,1.5) circle[radius=2pt] (-1,2.25) circle[radius=2pt] (1,2.25) circle[radius=2pt] (-1.5,2.75) circle[radius=2pt] (-0.5,2.75) circle[radius=2pt] (0.5,2.75) circle[radius=2pt] (1.5,2.75) circle[radius=2pt] ({-1.5-0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({-1.5+0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({-0.5-0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({-0.5+0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({0.5-0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({0.5+0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({1.5-0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({1.5+0.375},3.5) circle[radius=2pt] ;
    \end{scope}
    \draw[blue!75!black,very thick] (-2.5,0) -- (12.5,0) ;
    \draw (0,0) node[below,text width=3cm,align=center] {\vphantom{(qÉ)}au moment\\de la plantation\\(année 0)} ;
    \draw (4.25,0) node[below,text width=3cm,align=center] {\vphantom{(qÉ)}un an après\\la plantation\\(année 1)} ;
    \draw (9.25,0) node[below,text width=3cm,align=center] {\vphantom{(qÉ)}deux ans après\\la plantation\\(année 2)} ;
  \end{tikzpicture}
\end{Centrage}

Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le nombre de nouvelles branches $n$ années après la plantation. À la plantation, l'arbre possède 2 branches, ainsi on pose $v_0 = 2$.

\begin{enumerate}
  \item Quelle est la nature de la suite $\suiten[v]$ ? Justifier.
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Un an après la plantation, l'arbre a produit 4 nouvelles branches. Il possède alors un nombre total de branches égal à 6.

    Montrer que, trois ans après sa plantation, l'arbre possède un nombre total de branches égal à 30.
    \item On donne le programme \textsf{Python} suivant :

    \begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=8cm]{center}
v = 2
total = 2
for i in range(10) :
  v = 2 * v
  total = total + v
print(total)
    \end{CodePythonLstAlt}%
    \hfill\null

    \medskip

    La valeur affichée par ce programme est $4\,094$.

    Dans le contexte de l'exercice, que représente la valeur $4\,094$ affichée par ce programme ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{ExerciceEAM}

\pagebreak

\begin{ExerciceEAM}{2}

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé.
On considère les points $A(-1;5)$, $B(3;5)$ et $C(4;0)$.

\begin{wrapstuff}[r]
\begin{PostIt}[Rendu=tikzv2,Attache=Scotch,Largeur=4cm]
  {\small\underline{\bfseries\sffamily Aide aux calculs} :}

  \smallskip

  \hfill{\small $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$}\hfill\null

  \hfill{\small $\dfrac{5}{\sqrt{50}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$}\hfill\null
\end{PostIt}
\end{wrapstuff}

\begin{enumerate}
  \item

  \begin{enumerate}
    \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.

    \item En déduire la valeur du produit scalaire $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$.

  \end{enumerate}

  \item

  \begin{enumerate}
    \item Montrer que $AC = 5\sqrt{2}$.

    On admet que $AB = 4$.

    \item Écrire l'expression permettant de calculer le produit scalaire $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$ en fonction de l'angle $\widehat{BAC}$.

    \item En déduire une mesure, en radian, de l'angle $\widehat{BAC}$.

  \end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{ExerciceEAM}

\bigskip

\begin{ExerciceEAM}{3}

Soit $f$ une fonction définie sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$.

On a tracé dans un repère la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ et la droite $T_A$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ de coordonnées $(1;20)$.

La droite $T_A$ passe par le point $B$ de coordonnées $(3;10)$.

\begin{Centrage}
  \begin{GraphiqueTikz}[x=1.5cm,y=0.1cm,Xmin=-0.5,Xmax=7.25,Ygrille=1,Xgrilles=1,Ymin=-5,Ymax=55,Ygrille=10,Ygrilles=10]
    \TracerAxesGrilles{0,1,...,7}{0,10,...,50}
    \DefinirCourbe[Trace,Couleur=red,Debut=0.1,Nom=cf]{(4x^2+7x+9)/x}
    \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Nom=Ta]{-5x+25}
    \MarquerPts[Style=x]{(1,20)/A/above right}
    \MarquerPts[Style=x]{(3,10)/B/above right}
    \PlacerTexte[Couelur=blue]{(4.5,5)}{$T_A$}
  \end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Donner $f(1)$.
    \item Déterminer la valeur de $f'(1)$.
    \item Justifier que l'équation réduite de la tangente $T_A$ à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ est : $y = -5x + 25$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

Pour la suite de l'exercice, la fonction $f$ est définie sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par $f(x) = \dfrac{4x^2+7x+9}{x}$.

On admet que $f$ est dérivable sur cet intervalle.

\begin{enumerate}[resume]
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que pour tout $x \in \IntervalleOO{0}{+\infty}$, on a $f'(x) = \dfrac{(2x-3)(2x+3)}{x^2}$.
    \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$.
    \item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$.
  \end{enumerate}
  \item Existe-t-il une tangente à $\mathcal{C}_f$ parallèle à la droite d'équation $y = 3x + 5$ ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\end{ExerciceEAM}

\end{document}
