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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\session}{2026}
\newcommand{\annee}{2026}
\newcommand{\serie}{Spécialité}
\newcommand{\lieu}{Métropole}
\newcommand{\jour}{12}
\newcommand{\mois}{juin}
\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\codesujet}{26-MATSPEGEME1}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3}
\setsepchar{,}
\def\repartpts{6,14,5,5,4}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
  {Probabilités},
  {Vrai--Faux},
  {Géométrie analytique / Produit scalaire}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}

\title{\nomfichier}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate[1]{font=\bfseries}
\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}

\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily \codesujet}
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\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}

\NewDocumentCommand\eamreponsesautom{ O{2} D<>{0.975\linewidth} m m m m }{%
  \ExamReponsesQCM%
    [Filets,NbCols=#1,PoliceLabels={\bfseries},Labels={a.},Largeur=#2,Swap]%
    {{#3},{#4},{#5},{#6}}%
    <rowsep=4pt,colsep=8pt>
}

\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
  \begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
    \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
    \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
    \foreach \i in {1,...,#1}{%
      \xdef\j{\inteval{\i+2}}%
      \hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
      \hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
    }%
  \end{tcolorbox}%
  \vspace*{0.25cm}
  \settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1cm]{memo}}}%
  \begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.75\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1cm]{memo}} ;}]
    La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
    Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
  \end{tcolorbox}%
  \vspace*{0.75cm}
  \hfill\pictostamp[radius=2cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}

\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
  \tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
  \textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}

  \smallskip
}%
{%
  \endtcolorbox%
}

\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
  \hypertarget{exon#1}{}%
  \tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
  \textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}

  \medskip
}%
{%
  \endtcolorbox%
}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=4cm]{metropole}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{EAM \og \serie{} \fg, \lieu, \mois{} \annee}

\vspace{0.25cm}

\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques.

\medskip

Durée : 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{tcolorbox}

\vspace{0.25cm}

\sujetbaclabelexos{3}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================

\smallskip

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reporter son numéro sur la copie et indiquer la réponse.}

\medskip

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\medskip

\begin{AutomatQuestEAM}{1}
La forme développée de l'expression $(3x - 2)^2$ est :

\smallskip

\eamreponsesautom[2]{$9x^2 - 4$}{$3x^2 - 12x + 4$}{$9x^2 - 12x + 4$}{$6x - 4$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{2}
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-6mm]
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.85cm,y=0.85cm,Xmin=-1.6,Xmax=3.6,Xgrilles=1,Xgrilles=0.2,Ymin=-1.4,Ymax=3.2,Ygrilles=1,Ygrilles=0.2]
  \TracerAxesGrilles[Police=\tiny]{}{}
  \MarquerPts[Style=+]{(1,0)/$I$/below,(0,1)/$J$/left,(0,0)/$O$/above right}
  \TracerCourbe[Couleur=red]{-x+2}
  \node[red,font=\small] at (-0.5,2) {$(\Delta)$};
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}

Dans le repère $(O,I,J)$ ci-contre, la droite $(\Delta)$ a pour équation :

\smallskip

\eamreponsesautom[1]<\linewidth-5cm>{$y = 2x + 2$}{$y = -2x + 2$}{$y = -x + 2$}{$y = x + 2$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{3}
Dans une classe de première, $75\,\%$ des élèves étudient le grec. Les autres élèves étudient le latin : ils sont $9$.

Le nombre d'élèves de cette classe de première est égal à :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$24$}{$30$}{$34$}{$36$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{4}
Le prix d'un article augmente de $15\,\%$. Cela signifie que le prix de cet article a été multiplié par :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$\dfrac{15}{100}$}{$1{,}15$}{$0{,}85$}{$1{,}115$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{5}
Parmi les réponses proposées, la valeur la plus proche de $\dfrac{150\,000}{3\,200}$ est :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$5$}{$50$}{$500$}{$5\,000$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{6}
Une vidéo, d'une durée de $1$ minute et $40$ secondes, contient $2\,400$ images.

Le nombre d'images par seconde est égal à :

\smallskip

\eamreponsesautom[2]{$60$ images/seconde}{$24$ images/seconde}{$120$ images/seconde}{$15$ images/seconde}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{7}
On considère une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 0{,}5(x-3)^2 + 10$.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

Un seul des quatre points ci-dessous appartient à la courbe $\mathcal{C}$. Lequel ?

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$A(-3\,;\,10)$}{$B(3\,;\,10{,}5)$}{$C(3\,;\,10)$}{$D(0\,;\,19{,}5)$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{8}
On considère le nombre $A = \dfrac{10^{201} \times 10^{-4}}{(10^2)^{100}}$.

On peut affirmer que :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$A = -0{,}001$}{$A = 0{,}0001$}{$A = 0{,}001$}{$A = 1\,000$}
\end{AutomatQuestEAM}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================

\begin{ExerciceEAM}{1}
Un loueur de bicyclettes propose deux types de bicyclettes : des bicyclettes traditionnelles et des bicyclettes électriques. Il incite ses clients à prendre une assurance. On dispose des informations suivantes.
\begin{itemize}
  \item $60\,\%$ des clients ont loué une bicyclette traditionnelle, les autres ont loué une bicyclette électrique.
  \item Parmi ceux qui ont loué une bicyclette traditionnelle, $25\,\%$ ont pris une assurance.
  \item $20\,\%$ de l'ensemble des clients ont pris une assurance.
\end{itemize}

On choisit un client au hasard et on note les événements :

$T$ : \og le client a loué une bicyclette traditionnelle \fg{} ; \quad $A$ : \og le client a pris une assurance \fg.

\begin{enumerate}
  \item Recopier l'arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.

  \medskip

  \def\ArbreExoUn{
    $T$/\numdots/,
    $A$/\numdots/,
    $\overline{A}$/\numdots/,
    $\overline{T}$/\numdots/,
    $A$//,
    $\overline{A}$//
  }

  \begin{Centrage}
  \ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{\ArbreExoUn}
  \end{Centrage}

  \item Donner, par simple lecture de l'énoncé, la probabilité de l'événement $A$.
  \item Montrer que la probabilité que le client ait loué une bicyclette traditionnelle et qu'il ait pris une assurance est égale à $0{,}15$.
  \item En déduire que la probabilité $P(\overline{T} \cap A)$ est égale à $0{,}05$.
  \item Déterminer la probabilité que le client ait pris une assurance sachant qu'il a loué une bicyclette électrique. On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\pagebreak

\begin{ExerciceEAM}{2}
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.

\medskip

\hfill\textit{Les trois questions sont indépendantes.}\hfill\null

\begin{enumerate}
  \item On considère un réel $u$. On considère sur $\mathbb{R}$ l'équation :%
  \[
    (E) \quad x^2 + x - u^2 = 0.
  \]
  \textbf{Affirmation :} Quelle que soit la valeur du réel $u$, l'équation $(E)$ possède deux solutions réelles distinctes.

  \item On considère la suite $\suiten$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 2^{-n}$.

  \textbf{Affirmation :} La suite $\suiten$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

  \item On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \e^x - 1$.
  On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.
  On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
  On note $A$ le point de coordonnées $(3\,;\,3)$.

  \textbf{Affirmation :} le point $A$ appartient à la tangente $T$.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\bigskip

\begin{ExerciceEAM}{3}
Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on considère les points $P(4\,;\,0)$ et $K(1\,;\,0)$.

On considère un réel $x$ et on note $M$ le point de coordonnées $(x\,;\,3)$.

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1.1cm,y=1.1cm,Xmin=-0.5,Xmax=5,Xgrilles=1,Ymin=-0.5,Ymax=3.5,Ygrilles=1]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\small]{0,1,...,4}{0,1,...,3}
  \MarquerPts[Couleur=black,Style=o]{(1,0)/$K$/above right,(4,0)/$P$/above right,(2.2,3)/$M$/above right}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
  \item Donner les coordonnées du vecteur $\vect{KP}$ ainsi que sa norme.
  \item Exprimer en fonction de $x$ les coordonnées du vecteur $\vect{KM}$ ainsi que sa norme.
  \item Montrer que le produit scalaire $\vect{KP} \cdot \vect{KM}$ est égal à $3x - 3$.
  \item Montrer que si l'angle $\widehat{PKM}$ est égal à $\dfrac{\pi}{3}$, alors le réel $x$ est solution de l'équation
  \[
    (E) \quad \sqrt{(x-1)^2 + 9} = 2x - 2.
  \]
  \item Vérifier que le réel $1 + \sqrt{3}$ est solution de l'équation $(E)$.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\end{document}
